免費下載！
[!--downpath--]注意數學定理、公式的適用條件和應用范圍
數學定理和公式通常都是在一定的理想化模型下構建或推論下來的，都只在一定條件下和一定范圍內才適用，因而應用數學定理和公式來剖析、解決實際問題時，必須注意其適用條件和應用范圍。但是，這點卻常常被中學生所忽略，她們在各類練習中往往不加剖析地從題給數據出發，亂套亂用數學公式來求答案，有的還對數學定理和公式盲目地作不合理的外推，得出錯誤的推論。為了克服中學生亂套亂用數學公式的毛病，使她們能正確、靈活運用數學定理、公式來剖析、解決實際問題，我們在數學教學中注意了如下幾個方面。
一、闡明數學公式的類型、適用條件和應用范圍
高中數學中常見的數學公式有如下三種類型，它們各有其適用條件和應用范圍。
（一）實驗公式。數學學是一門以實驗為基礎的學科，對一些實驗得到的規律性推論常用公式的方式抒發下來，這類數學公式稱作實驗公式。諸如，玻意耳一馬略特定理、查理定理、蓋.呂薩克定理和庫侖定理，應當強調實驗是通過實驗和剖析總結下來的。班主任在進行教學時要捉住這一特性，突出公式的適用條件。諸如，講解玻意耳一馬略特定理時，在演示實驗的過程中，就要突出實驗裝置本身和實驗過程所反映的這一定理的適用條件，把數學定理和它的適用條件融合為有機的整體，進而使中學生弄清這一定理必須是一定質量的二氧化碳（理想二氧化碳）在等溫條件下的變化才適用，即實驗公式只適用于得到推論的范圍。
一些通過實驗總結下來的數學定理，其適用范圍絕不能盲目外推到極端。比如真空中庫侖定理的公式等，只適用于真空中兩個相對靜止的點電荷，但這種中學生常常從“純物理化”觀念來看待數學公式，對點電荷的數學含義缺少正確的理解，進而得出當時，的謬論。之所以形成這些謬論。1．因為把r不合理地外推到趨近于零；2。沒有真正理解點電荷的含意。由于當時，兩電荷Q1和Q2早已足夠大，不能再把它們看成點電荷了，而應看成是帶電體。這時Q1、Q2的互相作用很復雜，庫侖定理描述不了它們之間的互相作用，因此庫侖定理就不適用了。又如，對查理定理和蓋·呂薩克定律有些中學生也因為不合理外推到體溫達到絕對零度，得出二氧化碳的浮力與容積都等于零的謬論。形成錯誤的緣由，在于沒有真正理解二氧化碳的氣溫根本不可能達到絕對零度。根據分子運動論，二氧化碳分子無規則的熱運動永遠不會停止。這么二氧化碳分子對器壁總有碰撞，因此總有浮力；另外，二氧化碳分子有一定容積，無論二氧化碳被冷卻到哪些程度，二氧化碳分子本身的容積也不可能等于零。為此，在教學中應當使中學生弄清二氧化碳三定理和理想二氧化碳的狀態多項式，是對一定質量的理想二氧化碳在常溫常壓或低溫低壓下而言的，不要盲目外推到高溫或高壓因而形成差錯。
（二）定義公式。
引用新數學量自然要給它下定義，由此把該化學量所反映的客觀事物的本質屬性或物質的運動規律闡明下來。定義一個數學量要符合下列兩個要求：1．定義的結果能從量的方面反映出事物的化學性質或特點，即定義的結果應當跟引用該量的目的一致上去；2．定義本身符合事物的客觀實際，即定義所得到的量值受客觀事物的本質屬性或物質的運動規律所阻礙。在大多數情況下，數學量的定義還用物理方式抒發下來，這就是數學量的定義公式。諸如電場硬度是描述電場的力的性質的數學量；電勢是表征電場的能的性質的數學量。用物理工具對這種概念進行確切地描述，于是得到、這些公式都是定義公式，也是量度公式。通常情況下定義公式的適用范圍就是在研究物質的本質屬性或物質的運動規律時所設的條件范圍，但絕大多數定義公式都是普遍適用的。
（三）誘導公式。有的數學公式是由一些已知的數學公式經過一定方式的物理變換或推論而得到的，這類公式稱作誘導公式或導入公式。諸如，點電荷的電場硬度的公式：應當強調：誘導公式的適用范圍，通常受拿來推論的各化學公式的適用范圍的共同限制。上述推論過程中使用了電場強度的定義公式和庫侖定理，因為庫侖定理只能拿來估算相對靜止的點電荷。間的互相斥力，因而誘導公式也只適用于估算真空中靜止的點電荷的電場硬度。又如，勻強電場中的電場硬度的公式：按照上述同樣的道理，這一誘導公式“只適用于估算勻強電場中的電場硬度，但是d必須是A、B兩點沿電力線方向的距離。
綜上所述、、，這三個公式的適用范圍分別是，1．是定義公式，它對任何靜電場都是普遍適用的；2．能拿來估算真空中點電荷的電場硬度；3．只能拿來估算勻強電場中的電場硬度。這兒要指出條件是數學公式創立的重要根據，脫離數學公式存在的條件，去討論公式中的各量之間的關系，那是沒有意義的。
應當強調，上述三類公式的分辨并不是絕對的。有些定理表面看來可以由其他定理推論下來，但實際上也是實驗定理。諸如，動量守恒定理在熱學中似乎可以由牛頓第二、第三定理推論下來；并且可以依據牛頓第二定理和動量守恒定理推導入牛頓第三定理。但事實上，動量守恒定理跟牛頓運動定理一樣也是以實驗為基礎，通過對實驗的剖析、歸納推理而總結下來的。也就是說，牛頓運動定理和動量守恒定理都是實驗定理，它們是相互獨立的數學定理，但是動量守恒定理的適用范圍遠遠超出了牛頓熱學的適用范圍。牛頓運動定理只適用于精典熱學的范圍，對微觀粒子的運動和高速運動的物體不適用。而動量守恒定理仍可應用。因而在教學中既要把握數學規律的通常性，也要注意它們的特殊性。
二、用發展的觀點闡述數學定理和公式的適用范圍
客觀世界是絕對真理，而人類的認識只能是相對真理。為此，教學中必須注意以發展的觀點來闡述數學定理和公式，引導中學生在知識的不斷推進過程中，更好地理解數學定理和公式的適用范圍。諸如，教學質量守恒定理時，必須分辨低速下還是高速下的質量守恒。1．在低速下焦耳定律定義及公式，是靜止質量守恒，不考慮質能關系。即在低速下，兩樣東西并在一起，合成的質量就等于原先質量之和，不管發生哪些變化，最后的質量也是不變的。2．在高速下，則要依據相對論考慮動質量以及質能關系。像在高能核反應中，將發生質量巨虧，這時，就必須依據愛因斯坦的質能等式，由去查證質量守恒，結果質量依然遵照守恒定理。又如，教學能的轉化和守恒定理時，我們結合教學內容，讓中學生認識到能量是物體（或物體系）運動狀態的量度，物質運動的方式是多種多樣的，因而能量的方式也是多種多樣的。每種方式的能都是跟物質的某種方式的運動相對應的，能量既不會憑空形成，也不會陡然消失，它只能從一種方式轉化為另一種方式，或則從一個物體轉移到別的物體，在轉化或轉移過程中總能量保持不變。能的轉化和守恒定理反映了物質的運動不斷地由一種方式轉化為其他方式這一客觀規律。從這個意義上說，能的轉化和守恒定理是絕對真理。但是在認識發展的長河中，它也是相對真理。因為物質的無限多樣性，物質層次的無限可分性，物質運動方式的無限多樣性，因而，與之相對應的各類能量的方式及其轉化還有待于被發覺。從能量守恒定理發覺至今，早已又發覺了許多當時所不曉得的物質存在方式和能量方式，大大豐富和發展了能的轉化和守恒定理的內容，今后還必定發覺新的物質方式和對應的新的能量方式。從這個意義上說，能的轉化和守恒定理是還有待于進一步充實和建立的相對真理。
三、靈活運用數學定理和公式的適用條件
指出數學定理、公式的適用條件的同時，要引導中學生不要孤立地、片面地看問題，而應當與“科學具象”的思維方式聯系上去，或則采用“轉化”的方式，捉住事物的相互聯系來靈活地剖析、解決有關的問題。
（一）對適用條件隱蔽的數學定理和公式，要闡述其來龍去脈，并設計有針對性的課堂練習，引導中學生真正領會其適用條件，并據以剖析、解決有關的問題。
比如，對阿基米德定理，要使中學生從理論上懂得物體在液體中遭到的壓強是如何形成的—一物體在液體中遭到的向下的壓力比向上的壓力大，而這個壓力的差就是液體對物體的壓強，這樣她們能夠真正領會這個定理的適用條件，進而防止不考慮壓強形成的殺件而盲目地套用公式；諸如下邊這道課堂練習題：“河旁有一木樁，漏出地向的容積為。當退潮時，湖水把木樁全都吞沒，求此時水對木樁的壓強是多人？因為在題給的情況下，木樁并沒有遭到水對它向下的壓力，所以水對木樁的壓強為零。這時這個公式就不能應用。
（二）個別數學公式，盡管適用條件彼此不同，但在一定條件下可以統一上去，化繁為簡。諸如焦耳定理在純內阻電路中，、、三個關系可以通用而且在通常情況下這三個關系式是不能通用的。由于公式是電路中所消耗的總電能，其中有一部份轉變為內能，也可能有一部份轉變為其他方式的能（如電路中有直流電動機、電解槽、變壓器，則部份電能就轉變為機械能、化學能、磁場能），為此，要估算電壓通過電路時有多少電能轉變為熱時，就必須用Q＝UIt這一公式估算。它對一切電路部是適用的.。
（三）運用“轉化”的方式，捉住事物的相互聯系；靈活運用數學定理的適用條件。諸如講解運動的合成和分解的適用場合時，為了克服中學生解題時不認真剖析“適用條件”和孤立、片面地對待“適用條件”的毛病，應當通過課堂練習，讓中學生弄清運動的合成和分解跟相對運動是密切不可分的。有些運動的合成和分解的問題。實際上就是所選定參照物不同的問題。因而。研究運動的合成和分解的問題時，必須正確選定參照物，離開參照物的選取去討論合運動和分運動是沒有意義的。所以處理問題的關鍵在“抓參照物的正確選定，把研究相對運動跟研究運動的合成和分解結合上去，使中學生并明白。在選取參照物后，只有同一物體同時參與兩種或的種以上運動時，就能求其合運動（這也稱作合成、分解問題的同體性）；不同物體的兩個運動其實是同時進行的，也是不能合成的。但應當注意，有的問題表面看來是兩個物體的同時運動，卻可轉化為同一物體同時參與兩種運動，這樣就符合了運動的合成的適用場合，就可以求其合成運動。諸如，“船在靜水中的速率V船是2米／砂，水流速率V水是1米／秒；問河堤上靜上的人看船順水時的速率是多大？即求船岸邊的速率是多少？這個問題其實表面看來，船進V船和水速V水是不同物體的兩個運動，卻可轉化為同一物體（船）同時參與兩種運動──以河堤為參照物，船在流水中同時參與兩種運動：1．船速即船的航行速率，也就是船在靜水中的速率V船＝2米／秒。2．因為水流前進時，船亦急劇前進、因此船隨水流前進的速率（對河堤而言），它的量值和方向都跟水流速率相同，即2米／秒；所以可求其合速率V船岸＝2米／秒十1米／秒二3米／秒；。這樣既引導中學生養成剖析問題的習慣，又對“運動的合成和分解的適用場合獲得了透徹的理解。
（四）運用等效方式確立“研究對象”，或則將個別數學公式經過物理演化后得出新的數學公式，使所研究的問題符合個別數學定理的適用條件，因而靈活地運用這種定理來解答問題。諸如理想二氧化碳的狀態等式只適用于一定質量的理想二氧化碳的情況，即只有在狀態變化過程中二氧化碳質量保持不變的情況下，這個公式才適用。若兩個狀態二氧化碳的質量不同，就不能簡單地套用這個公式，必須把“研究對象”轉化為一定質量二氧化碳后再用這個公式去解。一般是把“變質量”的氣態問題轉化為“定質量變容積”的氣態問題，或選擇相關連的局部的二氧化碳作為“研究對象”來處理。應當強調：氣態的實際問題有好多屬于發霉量問題，如排氣、漏氣、抽氣、進氣、打氣等等。關于排（漏）氣問題，可以構想把排（漏）出的二氧化碳仍包含在內的全部二氧化碳作為“研究對象”焦耳定律定義及公式，即“研究對象”的容積仍包括排（漏）出的二氧化碳的容積。同樣，關于進（打）氣問題也可采用類似方式。諸如：“有一筒打算作氣割用的二氧化碳，筒內的濕度是27℃，這時簡內二氧化碳的浮力是40＊105帕，這么，從筒內放出一半質量的氫氣之后，并使筒內剩余二氧化碳的氣溫增加到12℃時，求這種剩余二氧化碳的浮力是多大？”在運用等效方式確立“研究對象”時，應構想放出到筒外的一半質量的二氧化碳和筒內的二氧化碳經歷同樣的變化，因而在確立“研究對象”時，把簡內的二氧化碳和放出到筒外的氧氣合在一起（即把兩者構想為經歷相同的變化過程）作為“研究對象”，這樣“研究對象”如就成為一定質量的二氧化碳──如，得。
另外理想二氧化碳的狀態多項式經過物理演化即氣態密度多項式后，就可適用于同一種二氧化碳（理想二氧化碳）質量發生變化時的情況（不管質量有無改變均適用）。這就是說，經過物理演化后，不但公式抒發方式不同了，但是它所反映的數學意義也就不同了，因此公式的適用條件也隨著改變了。
（五）認真剖析條件的轉化，正確運用相應的數學定理來解答“變條件”的綜合題。在解答“變條件”的綜合題時，要認真剖析題目所反映的整個化學過程的不同階段（分過程）及其條件的轉化，條件變化后，所適用的數學定理和公式也要急劇改變。諸如“用沖擊擺測彈丸的速率”這一實驗（小學數學課本下冊P．336－P．339），要引導中學生弄清這道“變條件”綜合題所反映的整個化學過程，應分為兩個不同的運動階段來處理，并分別依照完全非彈性碰撞動量守恒（第一個運動階段）和沙箱（擺錘）。擺動過程機械能守恒（第二個運動階段）而得到了這一關系式（式中L為擺長），因而問題就迎刃而解了。通過這一“變條件”綜合題的剖析，中學生不但弄清了在解決碰撞問題時怎樣分別正確運用動量守恒定理和機械能守恒定理來剖析和解決問題，并且更好地把握了這兩個守恒定理各自的適用條件及其應用。
【注意化學定理、公式的適用條件和應用范圍】相關文章：
1.農地使用權抵押的條件和適用范圍
2.生育保險報銷范圍和條件
3.項目融資的適用范圍
4.B超檢測應用范圍及注意事項
5.工傷保險適用范圍
6.進口貨物適用稅率范圍
7.2017年國考補報條件和范圍
8.關于工傷保險的適用范圍
9.從庫侖定理談數學定理的教學論文