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[!--downpath--]注意數(shù)學(xué)定理、公式的適用條件和應(yīng)用范圍
注意數(shù)學(xué)定理、公式的適用條件和應(yīng)用范圍
數(shù)學(xué)定理和公式通常都是在一定的理想化模型下構(gòu)建或推論下來的，都只在一定條件下和一定范圍內(nèi)才適用，因而應(yīng)用數(shù)學(xué)定理和公式來剖析、解決實際問題時，必須注意其適用條件和應(yīng)用范圍。但是，這點卻常常被中學(xué)生所忽略，她們在各類練習(xí)中往往不加剖析地從題給數(shù)據(jù)出發(fā)，亂套亂用數(shù)學(xué)公式來求答案，有的還對數(shù)學(xué)定理和公式盲目地作不合理的外推，得出錯誤的推論。為了克服中學(xué)生亂套亂用數(shù)學(xué)公式的毛病，使她們能正確、靈活運用數(shù)學(xué)定理、公式來剖析、解決實際問題，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中注意了如下幾個方面。
一、闡明數(shù)學(xué)公式的類型、適用條件和應(yīng)用范圍
高中數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)公式有如下三種類型，它們各有其適用條件和應(yīng)用范圍。
（一）實驗公式。數(shù)學(xué)學(xué)是一門以實驗為基礎(chǔ)的學(xué)科，對一些實驗得到的規(guī)律性推論常用公式的方式抒發(fā)下來，這類數(shù)學(xué)公式稱作實驗公式。諸如，玻意耳一馬略特定理、查理定理、蓋.呂薩克定理和庫侖定理，應(yīng)當(dāng)強調(diào)實驗是通過實驗和剖析總結(jié)下來的。班主任在進(jìn)行教學(xué)時要捉住這一特性，突出公式的適用條件。諸如，講解玻意耳一馬略特定理時，在演示實驗的過程中，就要突出實驗裝置本身和實驗過程所反映的這一定理的適用條件，把數(shù)學(xué)定理和它的適用條件融合為有機的整體，進(jìn)而使中學(xué)生弄清這一定理必須是一定質(zhì)量的二氧化碳（理想二氧化碳）在等溫條件下的變化才適用，即實驗公式只適用于得到推論的范圍。
一些通過實驗總結(jié)下來的數(shù)學(xué)定理，其適用范圍絕不能盲目外推到極端。比如真空中庫侖定理的公式等，只適用于真空中兩個相對靜止的點電荷，但這種中學(xué)生常常從“純物理化”觀念來看待數(shù)學(xué)公式，對點電荷的數(shù)學(xué)含義缺少正確的理解，進(jìn)而得出當(dāng)時，的謬論。之所以形成這些謬論。1．因為把r不合理地外推到趨近于零；2。沒有真正理解點電荷的含意。由于當(dāng)時，兩電荷Q1和Q2早已足夠大，不能再把它們看成點電荷了，而應(yīng)看成是帶電體。這時Q1、Q2的互相作用很復(fù)雜，庫侖定理描述不了它們之間的互相作用，因此庫侖定理就不適用了。又如，對查理定理和蓋·呂薩克定律有些中學(xué)生也因為不合理外推到體溫達(dá)到絕對零度，得出二氧化碳的浮力與容積都等于零的謬論。形成錯誤的緣由，在于沒有真正理解二氧化碳的氣溫根本不可能達(dá)到絕對零度。根據(jù)分子運動論，二氧化碳分子無規(guī)則的熱運動永遠(yuǎn)不會停止。這么二氧化碳分子對器壁總有碰撞，因此總有浮力；另外，二氧化碳分子有一定容積，無論二氧化碳被冷卻到哪些程度，二氧化碳分子本身的容積也不可能等于零。為此，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)使中學(xué)生弄清二氧化碳三定理和理想二氧化碳的狀態(tài)多項式，是對一定質(zhì)量的理想二氧化碳在常溫常壓或低溫低壓下而言的，不要盲目外推到高溫或高壓因而形成差錯。
（二）定義公式。
引用新數(shù)學(xué)量自然要給它下定義，由此把該化學(xué)量所反映的客觀事物的本質(zhì)屬性或物質(zhì)的運動規(guī)律闡明下來。定義一個數(shù)學(xué)量要符合下列兩個要求：1．定義的結(jié)果能從量的方面反映出事物的化學(xué)性質(zhì)或特點，即定義的結(jié)果應(yīng)當(dāng)跟引用該量的目的一致上去；2．定義本身符合事物的客觀實際，即定義所得到的量值受客觀事物的本質(zhì)屬性或物質(zhì)的運動規(guī)律所阻礙。在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)量的定義還用物理方式抒發(fā)下來，這就是數(shù)學(xué)量的定義公式。諸如電場硬度是描述電場的力的性質(zhì)的數(shù)學(xué)量；電勢是表征電場的能的性質(zhì)的數(shù)學(xué)量。用物理工具對這種概念進(jìn)行確切地描述，于是得到、這些公式都是定義公式，也是量度公式。通常情況下定義公式的適用范圍就是在研究物質(zhì)的本質(zhì)屬性或物質(zhì)的運動規(guī)律時所設(shè)的條件范圍，但絕大多數(shù)定義公式都是普遍適用的。
（三）誘導(dǎo)公式。有的數(shù)學(xué)公式是由一些已知的數(shù)學(xué)公式經(jīng)過一定方式的物理變換或推論而得到的，這類公式稱作誘導(dǎo)公式或?qū)牍健ＶT如，點電荷的電場硬度的公式：應(yīng)當(dāng)強調(diào)：誘導(dǎo)公式的適用范圍，通常受拿來推論的各化學(xué)公式的適用范圍的共同限制。上述推論過程中使用了電場強度的定義公式和庫侖定理，因為庫侖定理只能拿來估算相對靜止的點電荷。間的互相斥力，因而誘導(dǎo)公式也只適用于估算真空中靜止的點電荷的電場硬度。又如，勻強電場中的電場硬度的公式：按照上述同樣的道理，這一誘導(dǎo)公式“只適用于估算勻強電場中的電場硬度，但是d必須是A、B兩點沿電力線方向的距離。
綜上所述、、，這三個公式的適用范圍分別是，1．是定義公式，它對任何靜電場都是普遍適用的；2．能拿來估算真空中點電荷的電場硬度；3．只能拿來估算勻強電場中的電場硬度。這兒要指出條件是數(shù)學(xué)公式創(chuàng)立的重要根據(jù)，脫離數(shù)學(xué)公式存在的條件，去討論公式中的各量之間的關(guān)系，那是沒有意義的。
應(yīng)當(dāng)強調(diào)，上述三類公式的分辨并不是絕對的。有些定理表面看來可以由其他定理推論下來，但實際上也是實驗定理。諸如，動量守恒定理在熱學(xué)中似乎可以由牛頓第二、第三定理推論下來；并且可以依據(jù)牛頓第二定理和動量守恒定理推導(dǎo)入牛頓第三定理。但事實上，動量守恒定理跟牛頓運動定理一樣也是以實驗為基礎(chǔ)，通過對實驗的剖析、歸納推理而總結(jié)下來的。也就是說，牛頓運動定理和動量守恒定理都是實驗定理，它們是相互獨立的數(shù)學(xué)定理，但是動量守恒定理的適用范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了牛頓熱學(xué)的適用范圍。牛頓運動定理只適用于精典熱學(xué)的范圍，對微觀粒子的運動和高速運動的物體不適用。而動量守恒定理仍可應(yīng)用。因而在教學(xué)中既要把握數(shù)學(xué)規(guī)律的通常性，也要注意它們的特殊性。
二、用發(fā)展的觀點闡述數(shù)學(xué)定理和公式的適用范圍
客觀世界是絕對真理，而人類的認(rèn)識只能是相對真理。為此，教學(xué)中必須注意以發(fā)展的觀點來闡述數(shù)學(xué)定理和公式，引導(dǎo)中學(xué)生在知識的不斷推進(jìn)過程中，更好地理解數(shù)學(xué)定理和公式的適用范圍。諸如，教學(xué)質(zhì)量守恒定理時，必須分辨低速下還是高速下的質(zhì)量守恒。1．在低速下焦耳定律定義及公式，是靜止質(zhì)量守恒，不考慮質(zhì)能關(guān)系。即在低速下，兩樣?xùn)|西并在一起，合成的質(zhì)量就等于原先質(zhì)量之和，不管發(fā)生哪些變化，最后的質(zhì)量也是不變的。2．在高速下，則要依據(jù)相對論考慮動質(zhì)量以及質(zhì)能關(guān)系。像在高能核反應(yīng)中，將發(fā)生質(zhì)量巨虧，這時，就必須依據(jù)愛因斯坦的質(zhì)能等式，由去查證質(zhì)量守恒，結(jié)果質(zhì)量依然遵照守恒定理。又如，教學(xué)能的轉(zhuǎn)化和守恒定理時，我們結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，讓中學(xué)生認(rèn)識到能量是物體（或物體系）運動狀態(tài)的量度，物質(zhì)運動的方式是多種多樣的，因而能量的方式也是多種多樣的。每種方式的能都是跟物質(zhì)的某種方式的運動相對應(yīng)的，能量既不會憑空形成，也不會陡然消失，它只能從一種方式轉(zhuǎn)化為另一種方式，或則從一個物體轉(zhuǎn)移到別的物體，在轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移過程中總能量保持不變。能的轉(zhuǎn)化和守恒定理反映了物質(zhì)的運動不斷地由一種方式轉(zhuǎn)化為其他方式這一客觀規(guī)律。從這個意義上說，能的轉(zhuǎn)化和守恒定理是絕對真理。但是在認(rèn)識發(fā)展的長河中，它也是相對真理。因為物質(zhì)的無限多樣性，物質(zhì)層次的無限可分性，物質(zhì)運動方式的無限多樣性，因而，與之相對應(yīng)的各類能量的方式及其轉(zhuǎn)化還有待于被發(fā)覺。從能量守恒定理發(fā)覺至今，早已又發(fā)覺了許多當(dāng)時所不曉得的物質(zhì)存在方式和能量方式，大大豐富和發(fā)展了能的轉(zhuǎn)化和守恒定理的內(nèi)容，今后還必定發(fā)覺新的物質(zhì)方式和對應(yīng)的新的能量方式。從這個意義上說，能的轉(zhuǎn)化和守恒定理是還有待于進(jìn)一步充實和建立的相對真理。
三、靈活運用數(shù)學(xué)定理和公式的適用條件
指出數(shù)學(xué)定理、公式的適用條件的同時，要引導(dǎo)中學(xué)生不要孤立地、片面地看問題，而應(yīng)當(dāng)與“科學(xué)具象”的思維方式聯(lián)系上去，或則采用“轉(zhuǎn)化”的方式，捉住事物的相互聯(lián)系來靈活地剖析、解決有關(guān)的問題。
（一）對適用條件隱蔽的數(shù)學(xué)定理和公式，要闡述其來龍去脈，并設(shè)計有針對性的課堂練習(xí)，引導(dǎo)中學(xué)生真正領(lǐng)會其適用條件，并據(jù)以剖析、解決有關(guān)的問題。
比如，對阿基米德定理，要使中學(xué)生從理論上懂得物體在液體中遭到的壓強是如何形成的—一物體在液體中遭到的向下的壓力比向上的壓力大，而這個壓力的差就是液體對物體的壓強，這樣她們能夠真正領(lǐng)會這個定理的適用條件，進(jìn)而防止不考慮壓強形成的殺件而盲目地套用公式；諸如下邊這道課堂練習(xí)題：“河旁有一木樁，漏出地向的容積為。當(dāng)退潮時，湖水把木樁全都吞沒，求此時水對木樁的壓強是多人？因為在題給的情況下，木樁并沒有遭到水對它向下的壓力，所以水對木樁的壓強為零。這時這個公式就不能應(yīng)用。
（二）個別數(shù)學(xué)公式，盡管適用條件彼此不同，但在一定條件下可以統(tǒng)一上去，化繁為簡。諸如焦耳定理在純內(nèi)阻電路中，、、三個關(guān)系可以通用而且在通常情況下這三個關(guān)系式是不能通用的。由于公式是電路中所消耗的總電能，其中有一部份轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)能，也可能有一部份轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌绞降哪埽ㄈ珉娐分杏兄绷麟妱訖C、電解槽、變壓器，則部份電能就轉(zhuǎn)變?yōu)闄C械能、化學(xué)能、磁場能），為此，要估算電壓通過電路時有多少電能轉(zhuǎn)變?yōu)闊釙r，就必須用Q＝UIt這一公式估算。它對一切電路部是適用的.。
（三）運用“轉(zhuǎn)化”的方式，捉住事物的相互聯(lián)系；靈活運用數(shù)學(xué)定理的適用條件。諸如講解運動的合成和分解的適用場合時，為了克服中學(xué)生解題時不認(rèn)真剖析“適用條件”和孤立、片面地對待“適用條件”的毛病，應(yīng)當(dāng)通過課堂練習(xí)，讓中學(xué)生弄清運動的合成和分解跟相對運動是密切不可分的。有些運動的合成和分解的問題。實際上就是所選定參照物不同的問題。因而。研究運動的合成和分解的問題時，必須正確選定參照物，離開參照物的選取去討論合運動和分運動是沒有意義的。所以處理問題的關(guān)鍵在“抓參照物的正確選定，把研究相對運動跟研究運動的合成和分解結(jié)合上去，使中學(xué)生并明白。在選取參照物后，只有同一物體同時參與兩種或的種以上運動時，就能求其合運動（這也稱作合成、分解問題的同體性）；不同物體的兩個運動其實是同時進(jìn)行的，也是不能合成的。但應(yīng)當(dāng)注意，有的問題表面看來是兩個物體的同時運動，卻可轉(zhuǎn)化為同一物體同時參與兩種運動，這樣就符合了運動的合成的適用場合，就可以求其合成運動。諸如，“船在靜水中的速率V船是2米／砂，水流速率V水是1米／秒；問河堤上靜上的人看船順?biāo)畷r的速率是多大？即求船岸邊的速率是多少？這個問題其實表面看來，船進(jìn)V船和水速V水是不同物體的兩個運動，卻可轉(zhuǎn)化為同一物體（船）同時參與兩種運動──以河堤為參照物，船在流水中同時參與兩種運動：1．船速即船的航行速率，也就是船在靜水中的速率V船＝2米／秒。2．因為水流前進(jìn)時，船亦急劇前進(jìn)、因此船隨水流前進(jìn)的速率（對河堤而言），它的量值和方向都跟水流速率相同，即2米／秒；所以可求其合速率V船岸＝2米／秒十1米／秒二3米／秒；。這樣既引導(dǎo)中學(xué)生養(yǎng)成剖析問題的習(xí)慣，又對“運動的合成和分解的適用場合獲得了透徹的理解。
（四）運用等效方式確立“研究對象”，或則將個別數(shù)學(xué)公式經(jīng)過物理演化后得出新的數(shù)學(xué)公式，使所研究的問題符合個別數(shù)學(xué)定理的適用條件，因而靈活地運用這種定理來解答問題。諸如理想二氧化碳的狀態(tài)等式只適用于一定質(zhì)量的理想二氧化碳的情況，即只有在狀態(tài)變化過程中二氧化碳質(zhì)量保持不變的情況下，這個公式才適用。若兩個狀態(tài)二氧化碳的質(zhì)量不同，就不能簡單地套用這個公式，必須把“研究對象”轉(zhuǎn)化為一定質(zhì)量二氧化碳后再用這個公式去解。一般是把“變質(zhì)量”的氣態(tài)問題轉(zhuǎn)化為“定質(zhì)量變?nèi)莘e”的氣態(tài)問題，或選擇相關(guān)連的局部的二氧化碳作為“研究對象”來處理。應(yīng)當(dāng)強調(diào)：氣態(tài)的實際問題有好多屬于發(fā)霉量問題，如排氣、漏氣、抽氣、進(jìn)氣、打氣等等。關(guān)于排（漏）氣問題，可以構(gòu)想把排（漏）出的二氧化碳仍包含在內(nèi)的全部二氧化碳作為“研究對象”焦耳定律定義及公式，即“研究對象”的容積仍包括排（漏）出的二氧化碳的容積。同樣，關(guān)于進(jìn)（打）氣問題也可采用類似方式。諸如：“有一筒打算作氣割用的二氧化碳，筒內(nèi)的濕度是27℃，這時簡內(nèi)二氧化碳的浮力是40＊105帕，這么，從筒內(nèi)放出一半質(zhì)量的氫氣之后，并使筒內(nèi)剩余二氧化碳的氣溫增加到12℃時，求這種剩余二氧化碳的浮力是多大？”在運用等效方式確立“研究對象”時，應(yīng)構(gòu)想放出到筒外的一半質(zhì)量的二氧化碳和筒內(nèi)的二氧化碳經(jīng)歷同樣的變化，因而在確立“研究對象”時，把簡內(nèi)的二氧化碳和放出到筒外的氧氣合在一起（即把兩者構(gòu)想為經(jīng)歷相同的變化過程）作為“研究對象”，這樣“研究對象”如就成為一定質(zhì)量的二氧化碳──如，得。
另外理想二氧化碳的狀態(tài)多項式經(jīng)過物理演化即氣態(tài)密度多項式后，就可適用于同一種二氧化碳（理想二氧化碳）質(zhì)量發(fā)生變化時的情況（不管質(zhì)量有無改變均適用）。這就是說，經(jīng)過物理演化后，不但公式抒發(fā)方式不同了，但是它所反映的數(shù)學(xué)意義也就不同了，因此公式的適用條件也隨著改變了。
（五）認(rèn)真剖析條件的轉(zhuǎn)化，正確運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)定理來解答“變條件”的綜合題。在解答“變條件”的綜合題時，要認(rèn)真剖析題目所反映的整個化學(xué)過程的不同階段（分過程）及其條件的轉(zhuǎn)化，條件變化后，所適用的數(shù)學(xué)定理和公式也要急劇改變。諸如“用沖擊擺測彈丸的速率”這一實驗（小學(xué)數(shù)學(xué)課本下冊P．336－P．339），要引導(dǎo)中學(xué)生弄清這道“變條件”綜合題所反映的整個化學(xué)過程，應(yīng)分為兩個不同的運動階段來處理，并分別依照完全非彈性碰撞動量守恒（第一個運動階段）和沙箱（擺錘）。擺動過程機械能守恒（第二個運動階段）而得到了這一關(guān)系式（式中L為擺長），因而問題就迎刃而解了。通過這一“變條件”綜合題的剖析，中學(xué)生不但弄清了在解決碰撞問題時怎樣分別正確運用動量守恒定理和機械能守恒定理來剖析和解決問題，并且更好地把握了這兩個守恒定理各自的適用條件及其應(yīng)用。
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