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第1講　功、功率　機車啟動問題
目標要求 　1.理解功的概念，會判斷某個力做功的正、負，會計算功的大小.2.理解功率的概念，并會對功率進行分析和計算.3.會分析、解決機車啟動的兩類問題．
考點一　恒力做功的分析和計算
基礎(chǔ)回扣
1．做功的兩個要素
(1)作用在物體上的力．
(2)物體在力的方向上發(fā)生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力與位移方向之間的夾角，l為物體的位移．
(2)該公式只適用于恒力做功．
3．功的正負
(1)當0≤α＜π2時，W＞0，力對物體做正功．
(2)當α＝π2時，W＝0，力對物體不做功．
(3)當π2＜α≤π時，W＜0，力對物體做負功，或者說物體克服這個力做了功．
技巧點撥
1．判斷力做功與否以及做功正負的方法
判斷依據(jù) 適用情況
根據(jù)力與位移的方向的夾角判斷 常用于恒力做功的判斷
根據(jù)力與瞬時速度方向的夾角α判斷：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做負功 常用于質(zhì)點做曲線運動時做功的判斷

2.計算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α計算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功．
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3…，再應(yīng)用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用動能定理W合＝Ek2－Ek1.
例1 　如圖1所示，完全相同的四個木塊放于水平地面上，在大小相等的恒力F作用下沿水平地面發(fā)生了相同的位移．關(guān)于力F做功，下列表述正確的是(　　)


圖1
A．圖甲中，因為木塊與地面間沒有摩擦力，所以力F做的功最少
B．圖乙中，力F做的功等于摩擦力對木塊做的功
C．圖丙中，力F做的功等于木塊重力所做的功
D．圖丁中，力F做的功最少
答案　D
解析　由W＝Flcos α可知，F(xiàn)、l相同，α越大，力F做的功越少，D正確．

1．(做功情況的判斷)(2020·廣東惠州一中月考)圖2甲為一女士站在臺階式自動扶梯上勻速上樓(忽略扶梯對手的作用)，圖乙為一男士站在履帶式自動扶梯上勻速上樓，兩人相對扶梯均靜止．下列關(guān)于做功的判斷中正確的是(　　)

圖2
A．圖甲中支持力對人做正功
B．圖甲中摩擦力對人做負功
C．圖乙中支持力對人做正功
D．圖乙中摩擦力對人做負功
答案　A
解析　題圖甲中，人勻速上樓，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，與速度方向的夾角為銳角，則支持力做正功，故A正確，B錯誤；題圖乙中，支持力與速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向與速度方向相同，做正功，故C、D錯誤．
2.(恒力做功的計算)(2020·寧夏石嘴山市月考)如圖3所示，質(zhì)量為m的小車在與豎直方向成α角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向左運動一段距離l.在此過程中，小車受到的阻力大小恒為Ff，則(　　)

圖3
A．拉力對小車做功為Flcos α
B．支持力對小車做功為Flsin α
C．阻力對小車做功為－Ffl
D．重力對小車做功為mgl
答案　C
解析　根據(jù)力做功的公式：W＝Flcos θ，其中θ為力與位移的夾角，所以拉力做功為：W＝Flsin α，阻力做功為：Wf＝－Ffl，故A錯誤，C正確．支持力和重力的方向與運動方向垂直，所以不做功，故B、D錯誤．
考點二　變力做功的分析和計算
方法 以例說法
應(yīng)用動能定理 　用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F(xiàn)做功為WF，則有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
微元法 　質(zhì)量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運動，運動一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
圖象法 　一水平拉力拉著一物體在水平面上運動的位移為x0，圖線與橫軸所圍面積表示拉力所做的功，W＝F0＋F12x0

平均值法 　當力與位移為線性關(guān)系，力可用平均值F＝F1＋F22表示，代入功的公式得W＝kΔx2·Δx

等效轉(zhuǎn)換法 　恒力F把物塊從A拉到B，繩子對物塊做功W＝F·(hsin α－h(huán)sin β)



　　　　　 圖象法求變力做功

例2 　如圖4甲所示，質(zhì)量為4 kg的物體在水平推力作用下開始運動，推力大小F隨位移大小x變化的情況如圖乙所示，物體與地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，g取10 m/s2，則(　　)

圖4
A．物體先做加速運動，推力減小到零后才開始做減速運動
B．運動過程中推力做的功為200 J
C．物體在運動過程中的加速度先變小后不變
D．因推力是變力，無法確定推力做功的大小
答案　B
解析　滑動摩擦力Ff＝μmg＝20 N，物體先加速運動，當推力減小到20 N時，加速度減小為零，之后推力逐漸減小，物體做加速度增大的減速運動，當推力減小為零后，物體做勻減速運動，選項A、C錯誤；F－x圖象中圖線與橫軸所圍的面積表示推力做的功，W＝12×100×4 J＝200 J，選項B正確，D錯誤．

　　　　　 等效轉(zhuǎn)換法求變力做功

例3 　如圖5所示，固定的光滑豎直桿上套著一個滑塊，用輕繩系著滑塊繞過光滑的定滑輪，以恒定的拉力F拉繩，使滑塊從A點起由靜止開始上升．若從A點上升至B點和從B點上升至C點的過程中拉力F做的功分別為W1和W2，圖中AB＝BC，則(　　)

圖5
A．W1>W2
B．W1 C．W1＝W2
D．無法確定W1和W2的大小關(guān)系
答案　A
解析　輕繩對滑塊做的功為變力做功，可以通過轉(zhuǎn)換研究對象，將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功；因輕繩對滑塊做的功等于拉力F對輕繩做的功，而拉力F為恒力，W＝F·Δl，Δl為輕繩拉滑塊過程中力F的作用點移動的位移，大小等于定滑輪左側(cè)繩長的縮短量，由題圖及幾何知識可知，ΔlAB>ΔlBC，故W1>W2，A正確．

3．(微元法求變力做功)如圖6所示，在水平面上，有一彎曲的槽道AB，槽道由半徑分別為R2和R的兩個半圓構(gòu)成．現(xiàn)用大小恒為F的拉力將一光滑小球從A點沿槽道拉至B點，若拉力F的方向時時刻刻均與小球運動方向一致，則此過程中拉力所做的功為(　　)

圖6
A．0 B．FR C.32πFR D．2πFR
答案　C
解析　雖然拉力方向時刻改變，但力與運動方向始終一致，用微元法，在很小的一段位移內(nèi)F可以看成恒力，小球的路程為πR＋π·R2，則拉力做的功為32πFR，故C正確．
4．(平均值法求變力做功)用鐵錘把小鐵釘釘入木板，設(shè)木板對釘子的阻力與釘進木板的深度成正比．已知鐵錘第一次將釘子釘進d，如果鐵錘第二次敲釘子時對釘子做的功與第一次相同，那么，第二次釘子進入木板的深度為(　　)
A．(3－1)d B．(2－1)d
C.?5－1?d2 D.22d
答案　B
解析　鐵錘每次敲釘子時對釘子做的功等于釘子克服阻力做的功．由于阻力與深度成正比，可用阻力的平均值求功，據(jù)題意可得
W＝F1d＝kd2d①
W＝F2d′＝kd＋k?d＋d′?2d′②
聯(lián)立①②式解得d′＝(2－1)d，故選B.
考點三　功率的分析和計算
基礎(chǔ)回扣
1．定義：功與完成這些功所用時間之比．
2．物理意義：描述力對物體做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝Wt，P描述時間t內(nèi)力對物體做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v為平均速度，則P為平均功率．
②v為瞬時速度，則P為瞬時功率．
③當力F和速度v不在同一直線上時，可以將力F分解或者將速度v分解．
技巧點撥
1．平均功率的計算方法
(1)利用P＝Wt.
(2)利用P＝F·vcos α，其中v為物體運動的平均速度．
2．瞬時功率的計算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v為t時刻的瞬時速度．
(2)P＝F·vF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度．
(3)P＝Fv·v，其中Fv為物體受到的外力F在速度v方向上的分力．
例4 　(多選)(2019·廣東汕頭中學(xué)檢測)質(zhì)量為m的物體從距地面H高處自由下落，經(jīng)歷時間t，則下列說法中正確的是(　　)
A．t時間內(nèi)重力對物體做功為12mg2t2
B．t時間內(nèi)重力的平均功率為mg2t
C．前t2末重力的瞬時功率與后t2末重力的瞬時功率之比為1∶2
D．前t2內(nèi)重力做功的平均功率與后t2內(nèi)重力做功的平均功率之比為1∶3
答案　ACD
解析　物體自由下落，t時間內(nèi)物體下落H＝12gt2，W＝mgH＝12mg2t2，故A正確；P＝Wt＝12mg2t2t＝12mg2t，故B錯誤；從靜止開始自由下落，前t2末與后t2末的速度之比為1∶2(因v＝gt∝t)，又有P＝Fv＝mgv∝v，故前t2末與后t2末功率瞬時值之比為P1∶P2＝1∶2，C正確；前t2與后t2下落的位移之比為1∶3，則重力做功之比為1∶3，故重力做功的平均功率之比為1∶3，D正確．

5．(瞬時功率)如圖7所示，細線的一端固定于O點，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在豎直平面內(nèi)由A點運動到B點．在此過程中拉力的瞬時功率的變化情況是(　　)

圖7
A．逐漸增大
B．逐漸減小
C．先增大，后減小
D．先減小，后增大
答案　A
解析　小球以恒定速率在豎直平面內(nèi)由A點運動到B點，對小球受力分析如圖，F(xiàn)＝mgtan θ，由P＝Fvcos θ，可得P＝mgvsin θ，θ逐漸增大，則功率P逐漸增大，A項正確．

6．(平均功率)(2018·天津卷·10)如圖8，我國自行研制、具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)的新一代大型噴氣式客機C919首飛成功后，拉開了全面試驗試飛的新征程，飛機在水平跑道上的滑跑可視作初速度為零的勻加速直線運動，當位移x＝1.6×103 m時才能達到起飛所要求的速度v＝80 m/s.已知飛機質(zhì)量m＝7.0×104 kg，滑跑時受到的阻力為自身重力的0.1倍，重力加速度g取10 m/s2.求飛機滑跑過程中

圖8
(1)加速度a的大小；
(2)牽引力的平均功率P.
答案　(1)2 m/s2　(2)8.4×106 W
解析　(1)飛機滑跑過程中做初速度為零的勻加速直線運動，由：v2＝2ax
解得a＝2 m/s2
(2)設(shè)飛機滑跑過程中的平均速度為v′，則v′＝v2；
F－0.1mg＝ma
在滑跑階段，牽引力的平均功率P＝Fv′
解得P＝8.4×106 W．
考點四　機車啟動問題
1．兩種啟動方式
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
P－t圖和v－t圖


OA段 過程分析 v↑?F＝P?不變?v↓?a＝F－F阻m↓
a＝F－F阻m不變?F不變?v↑P＝Fv↑直到P＝P額＝Fv1
運動性質(zhì) 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動，持續(xù)時間t0＝v1a

AB段 過程分析 F＝F阻?a＝0?vm＝PF阻
v↑?F＝P額v↓?a＝F－F阻m↓

運動性質(zhì) 以vm做勻速直線運動 加速度減小的加速直線運動
BC段 F＝F阻?a＝0?以vm＝P額F阻做勻速直線運動

2.三個重要關(guān)系式
(1)無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vm＝PFmin＝PF阻(式中Fmin為最小牽引力，其值等于阻力大小F阻)．
(2)機車以恒定加速度啟動的過程中，勻加速過程結(jié)束時，功率最大，但速度不是最大，v＝P額F (3)機車以恒定功率啟動時，牽引力做的功W＝Pt.由動能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式經(jīng)常用于求解機車以恒定功率啟動過程的位移大小和時間．

　　　　　 機車啟動的圖象問題

例5 　汽車在平直公路上以速度v0勻速行駛，發(fā)動機功率為P.快進入鬧區(qū)時，司機減小了油門，使汽車的功率立即減小一半并保持該功率繼續(xù)行駛．下面四個圖象中，哪個圖象正確表示了從司機減小油門開始，汽車的速度與時間的關(guān)系(　　)


答案　C
解析　功率減小一半時，由于慣性汽車速度來不及變化，根據(jù)功率和速度關(guān)系公式P＝Fv，此時牽引力減小一半，小于阻力，汽車做減速運動，由公式P＝Fv可知，功率一定時，速度減小后，牽引力增大，則汽車所受合力減小，加速度減小，故汽車做加速度越來越小的減速運動，當牽引力增大到等于阻力時，汽車做勻速運動，C正確．

　　　　　 機車啟動的兩種方式

例6 　汽車發(fā)動機的額定功率為60 kW，汽車的質(zhì)量為5×103 kg，汽車在水平路面上行駛時，阻力是車重力的0.1倍(g取10 m/s2)，則：
(1)若汽車保持額定功率不變從靜止啟動，汽車所能達到的最大速度是多大？當汽車的加速度為2 m/s2時速度是多大？
(2)若汽車從靜止開始，保持以0.5 m/s2的加速度做勻加速直線運動，這一過程能維持多長時間？
答案　(1)12 m/s　4 m/s　(2)16 s
解析　(1)汽車運動中所受阻力大小為Ff＝0.1mg①
當a＝0時速度最大，牽引力F等于Ff的大小，
則最大速度vmax＝PF＝PFf②
聯(lián)立①②解得vmax＝12 m/s.
設(shè)汽車加速度為2 m/s2時牽引力為F1，
由牛頓第二定律得F1－Ff＝ma③
此時汽車速度v1＝PF1④
聯(lián)立①③④并代入數(shù)據(jù)得v1＝4 m/s.
(2)當汽車以加速度a′＝0.5 m/s2勻加速運動時，設(shè)牽引力為F2，
由牛頓第二定律得F2－Ff＝ma′⑤
汽車勻加速過程所能達到的最大速度vt＝PF2⑥
t＝vta′⑦
聯(lián)立①⑤⑥⑦并代入數(shù)據(jù)解得t＝16 s．
課時精練

1．(2020·廣東深圳中學(xué)月考)如圖1所示，自動卸貨車始終靜止在水平地面上，車廂在液壓機的作用下，θ角逐漸增大且貨物相對車廂靜止的過程中，下列說法中正確的是(　　)

圖1
A．貨物受到的支持力對貨物不做功
B．貨物受到的支持力對貨物做正功
C．貨物受到的重力對貨物不做功
D．貨物受到的摩擦力對貨物做負功
答案　B
解析　貨物受到的支持力的方向與運動方向時刻相同，做正功，故A錯誤，B正確；摩擦力的方向與其運動方向時刻垂直，不做功，故D錯誤；貨物位置升高，重力做負功，C錯誤．
2．(2020·江蘇卷·1)質(zhì)量為1.5×103 kg的汽車在水平路面上勻速行駛，速度為20 m/s，受到的阻力大小為1.8×103 N．此時，汽車發(fā)動機輸出的實際功率是(　　)
A．90 W B．30 kW C．36 kW D．300 kW
答案　C
解析　汽車勻速行駛，牽引力F等于阻力Ff，實際功率P＝Fv＝Ffv＝1.8×103×20 W＝3.6×104 W＝36 kW，故選項C正確．
3．(2020·四川棠湖中學(xué)高三下學(xué)期第四次月考)一滑塊在水平地面上沿直線滑行，t＝0時其速度為1 m/s，從此刻開始在滑塊運動方向上再施加一水平作用力F，力F、滑塊的速率v隨時間的變化規(guī)律分別如圖2甲和乙所示，設(shè)在第1 s內(nèi)、第2 s內(nèi)、第3 s內(nèi)力F對滑塊做的功分別為W1、W2、W3，則以下關(guān)系正確的是(　　)

圖2
A．W1＝W2＝W3 B．W1 C．W1 答案　B
解析　在第1 s內(nèi)，滑塊的位移大小為x1＝12×1×1 m＝0.5 m，力F做的功為W1＝F1x1＝1×
0.5 J＝0.5 J；第2 s內(nèi)，滑塊的位移大小為x2＝12×1×1 m＝0.5 m，力F做的功為W2＝F2x2＝3×0.5 J＝1.5 J；第3 s內(nèi)，滑塊的位移大小為x3＝1×1 m＝1 m，力F做的功為W3＝F3x3＝2×1 J＝2 J，所以W1 4.(多選)(2019·陜西西安市長安區(qū)模擬)如圖3所示，擺球質(zhì)量為m，懸線的長為l，把懸線拉到水平位置后放手．設(shè)在擺球從A點沿圓弧運動到B點的過程中空氣阻力F阻的大小不變，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)

圖3
A．重力做功為mgl B．繩的拉力做功為零
C．F阻做功為－mgl D．F阻做功為－12F阻πl(wèi)
答案　ABD
解析　小球下落過程中，重力做功為mgl，A正確；繩的拉力始終與速度方向垂直，拉力做功為零，B正確；空氣阻力F阻大小不變，方向始終與速度方向相反，故F阻做功為－F阻·12πl(wèi)，D正確．
5．(多選)(2020·天津卷·8)復(fù)興號動車在世界上首次實現(xiàn)速度350 km/h自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創(chuàng)新的又一重大標志性成果．如圖4所示，一列質(zhì)量為m的動車，初速度為v0，以恒定功率P在平直軌道上運動，經(jīng)時間t達到該功率下的最大速度vm，設(shè)動車行駛過程所受到的阻力F保持不變．動車在時間t內(nèi)(　　)

圖4
A．做勻加速直線運動
B．加速度逐漸減小
C．牽引力的功率P＝Fvm
D．牽引力做功W＝12mvm2－12mv02
答案　BC
解析　由P＝F牽v知，P不變，v變大，則F牽變小，由F牽－F＝ma知，a變小，故A錯誤，B正確；當F牽＝F時，動車的速度最大，可得牽引力的功率P＝F牽vm＝Fvm，故C正確；由動能定理可知W－W阻＝12mvm2－12mv02，所以牽引力做功W＝12mvm2－12mv02＋W阻，故D錯誤．
6．(2019·貴州安順市適應(yīng)性監(jiān)測(三))在一次跳繩體能測試中，一位體重約為50 kg的同學(xué)，一分鐘內(nèi)連續(xù)跳了140下，若該同學(xué)每次跳躍的騰空時間均為0.2 s，重力加速度g取10 m/s2，忽略空氣阻力，則他在這一分鐘內(nèi)克服重力做的功約為(　　)
A．3 500 J B．14 000 J C．1 000 J D．2 500 J
答案　A
解析　G＝mg＝500 N，騰空時間為0.2 s表示每次上升過程用時0.1 s，上升的高度為h＝12gt2＝0.05 m，則起跳一次克服重力做的功W0＝Gh＝500 N×0.05 m＝25 J．一分鐘內(nèi)連續(xù)跳了140下，則一分鐘內(nèi)克服重力做功W＝140W0＝140×25 J＝3 500 J，故選A.
7.(多選)(2020·安徽“皖南八校”摸底)如圖5所示，木塊B上表面是水平的，木塊A置于B上，并與B保持相對靜止，一起沿固定的光滑斜面由靜止開始下滑，在下滑過程中(　　)

圖5
A．A所受的合力對A做正功
B．B對A的彈力對A做正功
C．B對A的摩擦力對A做正功
D．A對B的作用力對B做正功
答案　AC
解析　A、B作為整體，由牛頓第二定律得(mA＋mB)·gsin θ＝(mA＋mB)a，解得a＝gsin θ，由牛頓第二定律知，A所受合力方向沿斜面向下，與速度方向相同，故A所受合力對A做正功，A正確；B對A的彈力豎直向上，與速度方向的夾角大于90°，故B對A的彈力對A做負功，B錯誤；B對A的摩擦力方向水平向左，與速度方向的夾角小于90°，故B對A的摩擦力對A做正功，C正確；設(shè)B對A的摩擦力和支持力沿斜面方向的合力為F，對A，由牛頓第二定律得mAgsin θ＋F＝mAa，解得F＝0，由牛頓第三定律知，A對B的摩擦力和壓力沿斜面方向的合力為零，故A對B的作用力對B不做功，D錯誤．
8.如圖6所示，質(zhì)量為m＝2 kg的木塊在傾角θ＝37°的斜面上由靜止開始下滑，斜面足夠長，木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，則前
2 s內(nèi)重力的平均功率和2 s末的瞬時功率分別為(　　)

圖6
A．48 W　24 W B．24 W　48 W
C．24 W　12 W D．12 W　24 W
答案　B
解析　木塊所受的合外力F合＝mgsin θ－μmgcos θ
＝mg(sin θ－μcos θ)
＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N
木塊的加速度a＝F合m＝42 m/s2＝2 m/s2
前2 s內(nèi)木塊的位移x＝12at2＝12×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s內(nèi)做的功為
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s內(nèi)的平均功率P＝Wt＝482 W＝24 W.
木塊在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬時功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W.
故選項B正確．

9．一物體靜止在粗糙水平地面上．現(xiàn)用一大小為F1的水平拉力拉動物體，經(jīng)過一段時間后其速度變?yōu)関.若將水平拉力的大小改為F2，物體從靜止開始經(jīng)過同樣的時間后速度變?yōu)?v.對于上述兩個過程，用WF1、WF2分別表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分別表示前后兩次克服摩擦力所做的功，則(　　)
A．WF2>4WF1，Wf2>2Wf1
B．WF2>4WF1，Wf2＝2Wf1
C．WF2<4WF1，Wf2＝2Wf1
D．WF2<4WF1，Wf2<2Wf1
答案　C
解析　根據(jù)x＝v＋v02t得，兩過程的位移關(guān)系x1＝12x2，根據(jù)a＝v－v0t，得兩過程的加速度關(guān)系為a1＝a22.由于在相同的粗糙水平地面上運動，故兩過程的摩擦力大小相等，即Ff1＝Ff2＝Ff，根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)1－Ff1＝ma1，F(xiàn)2－Ff2＝ma2，所以F1＝12F2＋12Ff，即F1>F22.根據(jù)功的計算公式W＝Fl，可知Wf2＝2Wf1，WF2<4WF1，故選項C正確，A、B、D錯誤．
10．(多選)(2020·河北邢臺市摸底)動車組列車在啟動階段的運動可視為初速度為零的勻加速直線運動，當速度達到200 km/h時便保持此速度做勻速直線運動．若列車所受機械阻力恒定，所受空氣阻力與速度大小成正比．該運動過程中列車發(fā)動機的功率沒有達到其額定值，則列車的牽引力F和功率P隨時間t變化的關(guān)系圖象可能正確的是(　　)


答案　AC
解析　列車從靜止開始做勻加速直線運動階段，列車所受的空氣阻力與速度大小成正比，即Ff空＝kv＝kat，由牛頓第二定律得F－Ff－kat＝ma，解得F＝ma＋Ff＋kat，牽引力F與時間t為線性關(guān)系，發(fā)動機的輸出功率P＝Fv＝Fat＝ka2t2＋(ma＋Ff)at，功率P與時間t為二次函數(shù)關(guān)系；當速度達到v0＝200 km/h時，突然減小牽引力為F′，使牽引力大小等于機械阻力和空氣阻力之和，即F′＝Ff＋Ff空＝Ff＋kv0，列車開始做勻速直線運動，功率P＝(Ff＋kv0)v0，此時功率P突然減小，之后牽引力F和功率P均不隨時間t變化，A、C正確，B、D錯誤．
11.(多選)如圖7所示，質(zhì)量為m的物體置于傾角為θ的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做勻加速運動，運動中物體m與斜面體相對靜止．則下列關(guān)于斜面對m的支持力和摩擦力的說法中正確的是(　　)

圖7
A．支持力一定做正功
B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功
D．摩擦力可能做負功
答案　ACD
解析　支持力方向垂直斜面向上，與位移夾角小于90°，故支持力一定做正功，而摩擦力是否存在需要討論，若摩擦力恰好為零，此時物體只受重力和支持力，如圖所示，此時加速度a＝gtan θ.

若a>gtan θ，摩擦力沿斜面向下，摩擦力與位移夾角小于90°，則做正功；若a 12．質(zhì)量為1.0×103 kg的汽車，沿傾角為30°的斜坡由靜止開始向上運動，汽車在運動過程中所受摩擦阻力大小恒為2 000 N，汽車發(fā)動機的額定輸出功率為5.6×104 W，開始時以a＝1 m/s2的加速度做勻加速運動(g取10 m/s2)．求：
(1)汽車做勻加速運動的時間t1；
(2)汽車所能達到的最大速率；
(3)若斜坡長143.5 m，且認為汽車到達坡頂之前已達到最大速率，則汽車從坡底到坡頂需多長時間．
答案　(1)7 s　(2)8 m/s　(3)22 s
解析　(1)由牛頓第二定律得
F－mgsin 30°－Ff＝ma
設(shè)勻加速過程的末速度為v，則有P＝Fv
v＝at1
解得t1＝7 s.
(2)當達到最大速度vm時，加速度為零，
則有P＝(mgsin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s.
(3)汽車勻加速運動的位移x1＝12at12，在后一階段對汽車由動能定理得
Pt2－(mgsin 30°＋Ff)x2＝12mvm2－12mv2
又有x＝x1＋x2
解得t2≈15 s
故汽車運動的總時間為t＝t1＋t2＝22 s.
13．如圖8甲所示，在水平路段AB上有一質(zhì)量為2×103 kg的汽車，正以10 m/s的速度向右勻速運動，汽車前方的水平路段BC較粗糙，汽車通過整個ABC路段的v－t圖象如圖乙所示(在t＝15 s處水平虛線與曲線相切)，運動過程中汽車發(fā)動機的輸出功率保持20 kW不變，假設(shè)汽車在兩個路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空氣阻力等)各自有恒定的大小．求：


圖8
(1)汽車在AB路段上運動時所受的阻力Ff1；
(2)汽車剛好到達B點時的加速度a；
(3)BC路段的長度．
答案　(1)2 000 N　(2)－1 m/s2　(3)68.75 m
解析　(1)汽車在AB路段時，有F1＝Ff1，P＝F1v1，F(xiàn)f1＝Pv1，
聯(lián)立解得：Ff1＝2 000 N.
(2)t＝15 s時汽車處于平衡狀態(tài)，有F2＝Ff2，P＝F2v2，F(xiàn)f2＝Pv2，
聯(lián)立解得：Ff2＝4 000 N.
t＝5 s時汽車開始做減速運動，有F1－Ff2＝ma，
解得a＝－1 m/s2.
(3)由動能定理得：PΔt－Ff2x＝12mv22－12mv12，
解得x＝68.75 m.

14.(多選)(2019·江蘇蘇州市調(diào)研)質(zhì)量為2×103 kg的汽車由靜止開始沿平直公路行駛，行駛過程中牽引力F和車速倒數(shù)1v的關(guān)系圖象如圖9所示．已知行駛過程中最大車速為30 m/s，設(shè)阻力恒定，則(　　)

圖9
A．汽車所受阻力為6×103 N
B．汽車在車速為5 m/s時，加速度為3 m/s2
C．汽車在車速為15 m/s時，加速度為1 m/s2
D．汽車在行駛過程中的最大功率為6×104 W
答案　CD
解析　當牽引力等于阻力時，速度最大，由題圖可知阻力大小Ff＝2 000 N，故A錯誤；
車速為5 m/s時，汽車的加速度a＝6 000－2 0002 000 m/s2＝2 m/s2，故B錯誤；
題圖中傾斜圖線的斜率表示汽車的額定功率，可知P＝Ffv＝2 000×30 W＝6×104 W，汽車的最大功率等于額定功率，等于6×104 W，故D正確；
當車速為15 m/s時，牽引力F＝Pv′＝6×10415 N＝4 000 N，則加速度a′＝F－Ffm＝4 000－2 0002 000 m/s2＝1 m/s2，故C正確．
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