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實驗十三　用單擺測定重力加速度
目標要求 　1.知道利用單擺測定重力加速度的原理.2.掌握利用單擺測定重力加速度的方法.
實驗技能儲備
1.實驗原理
當擺角很小時，單擺做簡諧運動，其運動周期為T＝2πlg，由此得到g＝4π2lT2，因此，只要測出擺長l和振動周期T，就可以求出當地的重力加速度g的值.
2.實驗器材
單擺，游標卡尺，毫米刻度尺，停表.
3.實驗過程
(1)讓細線的一端穿過金屬小球的小孔，做成單擺.
(2)把細線的上端用鐵夾固定在鐵架臺上，把鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，在單擺平衡位置處做上標記，如圖1所示.

圖1
(3)用毫米刻度尺量出擺線長度l′，用游標卡尺測出金屬小球的直徑，即得出金屬小球半徑r，計算出擺長l＝l′＋r.
(4)把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(不超過5°)，然后放開金屬小球，讓金屬小球擺動，待擺動平穩后測出單擺完成30～50次全振動所用的時間t，計算出單擺的振動周期T.
(5)根據單擺周期公式，計算當地的重力加速度.
(6)改變擺長，重做幾次實驗.
4.數據處理
(1)公式法：利用T＝tN求出周期，算出三次測得的周期的平均值，然后利用公式g＝4π2lT2求重力加速度.
(2)圖象法：根據測出的一系列擺長l對應的周期T，作l－T2的圖象，由單擺周期公式得l＝g4π2T2，圖象應是一條通過原點的直線，如圖2所示，求出圖線的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度.

圖2
5.注意事項
(1)懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證懸點固定.
(2)單擺必須在同一平面內振動，且擺角小于5°.
(3)選擇在擺球擺到平衡位置處時開始計時，并數準全振動的次數.
(4)小球自然下垂時，用毫米刻度尺量出懸線長l′，用游標卡尺測量小球的直徑，然后算出擺球的半徑r，則擺長l＝l′＋r.
(5)一般選用一米左右的細線.
考點一　教材原型實驗
例1 　(2019·山東濟南市調研)實驗小組的同學們用如圖3所示的裝置做“用單擺測定重力加速度”的實驗.

圖3
(1)測出懸點O到小球球心的距離(擺長)l及單擺完成n次全振動所用的時間t，則重力加速度g＝________.(用l、n、t表示)
(2)實驗時除用到停表、刻度尺外，還應該用到下列器材中的________.(填選項前的字母)
A.長約1 m的細線
B.長約1 m的橡皮繩
C.直徑約1 cm的均勻鐵球
D.直徑約10 cm的均勻木球
(3)選擇好器材，將符合實驗要求的單擺懸掛在鐵架臺上，應采用圖4________中所示的固定方式.

圖4
(4)某實驗小組組裝單擺時，在擺線上端的懸點處，用一塊開有狹縫的橡皮夾牢擺線，再用鐵架臺的鐵夾將橡皮夾緊，如圖5所示，這樣做的目的是________.(填選項前的字母)

圖5
A.保持擺動過程中擺長不變
B.可使周期測量得更加準確
C.需要改變擺長時便于調節
D.保證擺球在同一豎直平面內擺動
(5)他組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺量得從懸點到擺球的最低端的長度L＝0.999 0 m，再用游標卡尺測量擺球直徑，結果如圖6所示，則該擺球的直徑為______ mm.

圖6
(6)將單擺正確懸掛后進行如下操作，其中正確的是________.(填選項前的字母)
A.測出擺線長作為單擺的擺長
B.把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放，使之做簡諧運動
C.在擺球經過平衡位置時開始計時
D.用停表測量擺球完成一次全振動所用時間并作為單擺的周期
(7)甲同學多次改變單擺的擺長并測得相應的周期，他根據測量數據畫出了如圖7所示的圖象，但忘記在圖中標明橫坐標所代表的物理量.你認為橫坐標所代表的物理量是________(填“l2”“l”或“l”)，若圖線斜率為k，則重力加速度g＝________(用k表示).

圖7

(8)乙同學測得的重力加速度數值大于當地的重力加速度的實際值，造成這一情況的原因可能是________.(填選項前的字母)
A.開始擺動時振幅較小
B.開始計時時，過早按下停表
C.測量周期時，誤將擺球(n－1)次全振動的時間記為n次全振動的時間
D.測量擺長時，以懸點到小球下端邊緣的距離為擺長
答案　(1)4π2n2lt2　(2)AC　(3)乙　(4)AC　(5)12.0　(6)BC　(7)l　4π2k2　(8)CD
解析　(1)單擺的周期T＝tn，由單擺周期公式T＝2πlg得重力加速度g＝4π2lT2＝4π2n2lt2.
(2)為了便于測量周期和減小空氣阻力，擺線選擇較細且結實的線，故選A；為了減小空氣阻力的影響，擺球選擇質量大體積小的，故選C.
(3)為了避免運動過程中擺長發生變化，懸點要固定，不能松動，則選圖乙.
(4)這樣做的目的是便于調節擺長，把擺線夾得更緊一些，使擺動過程中擺長不變，因此A、C正確.
(5)擺球的直徑為d＝12.0 mm.
(6)擺長等于擺線的長度加上擺球的半徑，A錯誤；將停表測量擺球完成一次全振動所用時間作為單擺的周期，誤差較大，應采用累積法測量周期，D錯誤.
(7)根據單擺周期公式T＝2πlg＝2πg l，所以應該作出T－l圖象，故橫坐標所代表的物理量是l，斜率k＝2πg，解得g＝4π2k2.
(8)由周期公式T＝2πlg，得g＝4π2lT2，單擺振幅大小與g無關，故A錯誤；開始計時時，過早按下停表，周期偏大，則g偏小，故B錯誤；測量周期時，誤將擺球(n－1)次全振動的時間記為n次全振動的時間，周期偏小，則g偏大，故C正確；擺長等于擺線的長度加上擺球的半徑，若測量擺長時以懸點到小球下端邊緣的距離為擺長，擺長偏大，由g＝4π2lT2，所以g偏大，故D正確.

(2020·銀川寧夏大學附屬中學高三月考)某同學在“用單擺測重力加速度”的實驗中進行了如下的操作：
(1)用游標上有10個小格的游標卡尺測量擺球直徑如圖8甲所示，擺球直徑為________cm，把擺球用細線懸掛在鐵架臺上，測量擺線長l0，通過計算得到擺長L.


圖8
(2)用停表測量單擺的周期.當單擺擺動穩定且到達最低點時開始計時并記為n＝0，單擺每經過最低點記一次數，當數到n＝60時停表的示數如圖乙所示，該單擺的周期T＝________s(結果保留三位有效數字).
(3)測量出多組周期T、擺長L數值后，畫出T2－L圖象如圖丙，造成圖線不過坐標原點的原因可能是________.
A.擺球的振幅過小 B.將l0計為擺長L
C.將(l0＋d)計為擺長L D.擺球質量過大
(4)該小組的另一同學沒有使用游標卡尺也測出了重力加速度.他采用的方法是：先測出一擺線較長的單擺的振動周期T1，然后把擺線縮短適當的長度ΔL，再測出其振動周期T2.用該同學測出的物理量表示重力加速度為g＝________.
答案　(1)2.06　(2)2.25　(3)B　(4)4π2ΔLT12－T22
解析　(1)由題圖甲可知，游標卡尺示數為20 mm＋0.1×6 mm＝20.6 mm＝2.06 cm；
(2)由題圖乙可知，停表示數為t＝1 min＋7.4 s＝67.4 s，單擺的周期T＝tn＝67.4602 s≈2.25 s
(3)題圖丙圖線不通過坐標原點，將圖線向右平移1 cm就會通過坐標原點，故相同的周期下，擺長偏小1 cm，可能是測擺長時漏掉了擺球的半徑，故選B.
(4)根據題意，由單擺周期公式T＝2πLg，可得T1＝2πLg，T2＝2πL－ΔLg，聯立可得g＝4π2ΔLT12－T22.

考點二　拓展創新實驗
例2 　(2020·山東菏澤市調研)在探究單擺運動的實驗中：
(1)圖9(a)是用力傳感器對單擺振動過程進行測量的裝置圖，圖(b)是與力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的F－t圖象，根據圖(b)的信息可得，從t＝0時刻開始擺球第一次擺到最低點的時刻為________s，擺長為________m(取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2).

圖9
(2)單擺振動的回復力是________.
A.擺球所受的重力
B.擺球重力在垂直擺線方向上的分力
C.擺線對擺球的拉力
D.擺球所受重力和擺線對擺球拉力的合力
(3)某同學的操作步驟如下，其中正確的是________.
A.取一根細線，下端系住直徑為d的金屬小球，上端固定在鐵架臺上
B.用米尺量得細線長度l，測得擺長為l
C.在擺線偏離豎直方向5°位置靜止釋放小球
D.讓小球在水平面內做圓周運動，測得擺動周期，再根據公式計算重力加速度
答案　(1)0.5　0.64　(2)B　(3)AC
解析　(1)根據題圖(b)的信息可得，擺球第一次擺到最低點時，力傳感器顯示的力最大，所對應的時刻為t＝0.5 s.根據題圖(b)的信息可得，單擺周期T＝1.6 s，由單擺周期公式T＝2πlg，解得擺長為l＝0.64 m.
(2)單擺振動的回復力是擺球重力在垂直擺線方向上的分力，而擺球所受重力和擺線對擺球拉力的合力在徑向上提供向心力，選項B正確.
(3)測得擺長應為l＋d2，選項B錯誤；若讓小球在水平面內做圓周運動，則為圓錐擺運動，測得的擺動周期不是單擺運動周期，選項D錯誤.


例3 　在“探究單擺的周期與擺長的關系”的實驗中，擺球在垂直紙面的平面內擺動.如圖10甲所示，在擺球運動最低點的左、右兩側分別放置一激光光源與光敏電阻.光敏電阻(光照時電阻比較小)與某一自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖線如圖乙所示，則該單擺的振動周期為________.若保持懸點到小球頂點的繩長不變，改用直徑是原小球直徑2倍的另一小球進行實驗，則該單擺的周期將________(填“變大”“不變”或“變小”).


圖10
答案　2t0　變大
解析　單擺在一個周期內兩次經過平衡位置，每次經過平衡位置，單擺會擋住細激光束，從R－t圖線可知周期為2t0.擺長等于擺線的長度加上小球的半徑，根據單擺的周期公式T＝2πlg，擺長變大，所以周期變大.

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