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[!--downpath--]首先我們要了解的是：振動(dòng)是宇宙中普遍存在的現(xiàn)象，小到一切宏觀物體（水災(zāi)），大到基本粒子（熱運(yùn)動(dòng)、布朗運(yùn)動(dòng)）。
振動(dòng)（也稱為振蕩）是指狀態(tài)變化的過程。 即物體的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 小學(xué)數(shù)學(xué)中，只有四種最簡單的運(yùn)動(dòng)可以定量研究（可以用公式法、作圖法、制表法給出定值）：勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)、彈體運(yùn)動(dòng)和簡諧振動(dòng).
當(dāng)物體振動(dòng)時(shí)，物體的感覺會(huì)從平衡位置來回交流。 如果一個(gè)物體靜止不動(dòng)，位置沒有任何變化，我們說作用在物體上的合力為零。 因此，當(dāng)我們對(duì)物體施加外力時(shí)，物體的平衡狀態(tài)就會(huì)被打破，物體就會(huì)開始遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，或者做勻速直線運(yùn)動(dòng)，或者做振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，并且物體會(huì)在某一點(diǎn)后停止，然后回到平衡點(diǎn)， 緊接著聯(lián)通到另一邊，然后停止，再往回走，如此往復(fù)運(yùn)動(dòng)...
在我們的日常生活中，振動(dòng)隨處可見。 從我們車上的搖頭娃娃、家里的擺鐘、掉在地上的彈球、秋千上的女兒、在風(fēng)中搖擺的樹，或任何其他搖擺不定的動(dòng)作，通常物體要么是有彈性的，要么是鐘擺狀的物體。 如果我們深入研究，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一切都在振動(dòng)，即使是看似靜止的固體也是如此。 在固體中，粒子也在振動(dòng)，只有在絕對(duì)零 (-273°C) 時(shí)所有運(yùn)動(dòng)才會(huì)停止。 明天我們主要討論宏觀數(shù)學(xué)中的振動(dòng)和周期運(yùn)動(dòng)。
周期運(yùn)動(dòng)
當(dāng)物體的振動(dòng)表現(xiàn)出有規(guī)律的往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們稱這些運(yùn)動(dòng)為周期運(yùn)動(dòng)。 物體同時(shí)沿同一路徑往復(fù)運(yùn)動(dòng)，直至減振停止。 彈簧上的重物是學(xué)習(xí)周期性運(yùn)動(dòng)的一個(gè)很好的例子，見上圖：
在之前的動(dòng)畫中，我們先把配重拉到最高點(diǎn)，也就是起始位置，然后松手。 從最高位置開始，配重會(huì)上升到平衡點(diǎn)，通過平衡點(diǎn)，繼續(xù)上升，直到停止。 循環(huán)運(yùn)動(dòng)完成一半； 然后配重將在彈簧和重力的恢復(fù)力的作用下改變方向，開始返回。 在返回過程中，配重會(huì)再次通過平衡點(diǎn)，回到頂部的最高點(diǎn)。 所有的過程我們稱之為一個(gè)循環(huán)，共4部分。
配重完成一個(gè)循環(huán)所需的時(shí)間稱為循環(huán)時(shí)間。
因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的過程是以秒來衡量的，所以周期的單位也是秒，我們用小寫字母T來表示。 如果我們反過來問這個(gè)定義：一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生了多少次運(yùn)動(dòng)循環(huán)？ 那么我們還有一個(gè)判斷周期性運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)量：頻率。 頻率用f表示，單位為赫茲（Hz）。 周期與頻率的關(guān)系如下：
周期和頻率之間存在直接關(guān)系。 周期是完成一個(gè)完整運(yùn)動(dòng)周期所需的時(shí)間，頻率是單位時(shí)間內(nèi)完成的周期數(shù)。 如果我們知道其中一個(gè)數(shù)學(xué)量，就很容易得到另一個(gè)。
周期運(yùn)動(dòng)中經(jīng)常提到的另一個(gè)定義：振幅。 上面彈簧重量的最大位移，這就是振幅。 用小寫字母A表示，單位為米（m）。
振幅是物體從其平衡位置的最大位移。
簡諧振蕩器（運(yùn)動(dòng)）
關(guān)于彈簧，上面已經(jīng)講了一些基本常識(shí)，下面介紹一下簡諧振動(dòng)。
彈簧的一端連接到重物，另一端連接到剛性支架。 當(dāng)系統(tǒng)靜止在平衡位置時(shí)，作用在重物上的合力為零。 當(dāng)質(zhì)量塊偏離平衡位置時(shí)，彈簧會(huì)形成彈力，使整個(gè)系統(tǒng)恢復(fù)平衡，這就是著名的胡克定律。
胡克定律指出，拉伸或壓縮彈簧所需的力 (F) 與發(fā)生的位移 X 成線性關(guān)系。 彈簧的彈力始終與配重的運(yùn)動(dòng)方向和位移X的方向相反，因?yàn)楫?dāng)彈簧被壓縮時(shí)，彈力將整個(gè)系統(tǒng)向下推，而當(dāng)彈簧被拉伸時(shí)，彈力將將整個(gè)系統(tǒng)向前拉動(dòng)，彈力趨于使系統(tǒng)恢復(fù)平衡。 這就是公式 F=-kx 帶有負(fù)號(hào)的原因。
式中F（單位牛頓）為恢復(fù)力（彈力），x為位移（單位為米），k為彈性系數(shù)，取決于彈簧的材質(zhì)。
我們來看看整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程：
當(dāng)我們在彈簧上掛重物時(shí)，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，重物處于平衡狀態(tài)，合力為零。 由于彈簧的力等于將物體拉向地面的力。 這時(shí)，我們將重物從平衡位置移開松手，重物將受到彈簧形成的凈恢復(fù)力，重物與平衡位置相通。 越接近平衡位置，恢復(fù)力越小，直到它在平衡位置下降到零，此時(shí)加速度為零。 當(dāng)我們剛松手時(shí)，加速度最大，這是簡諧運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)。
當(dāng)重物達(dá)到平衡時(shí)，彈簧因動(dòng)能而被壓縮，重物繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)。 隨著彈簧的壓縮，向上的加速度減小，恢復(fù)力使重物減速，直到重物停止在振幅上，此時(shí)向上的加速度再次達(dá)到最大值，重物開始增長，加速度再次增加，直到達(dá)到平衡后再次下降到零位置。 當(dāng)重量通過平衡位置時(shí)，開始減速，直到達(dá)到初始的最高振幅。
如果整個(gè)過程沒有能量損失壓縮彈簧彈力公式，運(yùn)動(dòng)仍然會(huì)重復(fù)，我們就有了一個(gè)簡諧振子。 由于振動(dòng)阻尼會(huì)導(dǎo)致能量損失，隨著時(shí)間的推移，振幅會(huì)越來越小，直到最終達(dá)到零，運(yùn)動(dòng)才會(huì)停止。
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體在半徑上的投影運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)。
這個(gè)過程中的能量變化是多少？
我們首先要知道的是，物體靜止時(shí)有勢能，有速度時(shí)有動(dòng)能。 我們很容易理解這種運(yùn)動(dòng)過程中的能量變化。 我們看右圖：
總能量是動(dòng)能和彈性勢能之和。 我們從最高振幅開始，此時(shí)物體是靜止的。 由于汽車的速度為零，沒有動(dòng)能，全部能量都是勢能。 當(dāng)物體開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，勢能會(huì)降低，而動(dòng)能會(huì)隨著速度降低而降低。 在平衡狀態(tài)下，勢能為零，全部能量都是動(dòng)能。 當(dāng)物體繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)到振幅較大的位置時(shí)，動(dòng)能減小，勢能減小，直到上升到振幅位置時(shí)，動(dòng)能為零壓縮彈簧彈力公式，全部能量為勢能。
我們發(fā)現(xiàn)位移、速度和加速度都是周期性的。 我們可以解微分方程得到三角解。
上圖都是微分方程的解，角頻率ω=2πf。
從右圖可以看出，位移從振幅開始，速度從0開始，加速度從最大值開始。 功能會(huì)定期更改。
現(xiàn)在我們來討論一個(gè)關(guān)于周期和頻率的重要問題。 即決定周期和頻率的因素有哪些？ 如果我們改變質(zhì)量，運(yùn)動(dòng)會(huì)改變嗎？ 如果我們有相同的質(zhì)量，但降低振幅，運(yùn)動(dòng)會(huì)改變嗎？
周期和頻率與振幅無關(guān)
不管你把重物拉上幾分米還是幾米，周期和頻率都是一樣的。 讓我們看看為什么會(huì)這樣。 我們知道角頻率為ω=2πf，我們也知道角動(dòng)量取決于質(zhì)量和彈簧常數(shù)，如下式所示：
我們現(xiàn)在要做的就是將這兩個(gè)公式結(jié)合起來，看看我們得到了什么。
總結(jié)
正如我們一開始所說的，為了得到聲音，我們首先需要談?wù)摬ǎ谖覀冋務(wù)摬ㄖ埃覀冃枰私庹駝?dòng)。 我們已經(jīng)描述了從位移和加速度到能量和頻率的振動(dòng)和簡諧運(yùn)動(dòng)。 在上一篇文章中，我們談到了波浪的數(shù)學(xué)。