試推導以下兩種情況下空氣彈簧的剛度系數K=dF/dy與其有效承載面積A的關系； i)乘客上下車（主氣室內氣體壓力和體積的變化滿足等溫過程）。 ii) 列車運行過程中遇到劇烈湍流（主氣室氣體壓力和體積變化滿足絕熱過程）。 (2)主氣室與附加氣室連通后(閥門打開)，在上述兩種情況下，推導出空氣彈簧剛度系數K與其有效承載面積Ae之間的關系。 主氣室和附加氣室之間的連接管的體積可以忽略不計。 2. 質量為 m、半徑為 R 的均質實心母球放置在水平桌面上。 母球與球臺之間的滑動摩擦系數為μ。 調整球桿使其在經過球中心的垂直平面內保持水平，擊打母球的上半部。 球桿相對于球中心所在水平面的高度為 ，擊球時間很短； 母球獲得的動量為P，方向為水平方向。 假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。 重力加速度的大小為g。 (1)母球被擊中后需要多長時間才能開始純粹滾動？ 求母球達到純滾動時球中心的運動速度； (2)注意當母球達到純滾動時(此時為計時零點)，母球與球臺的接觸點為B，并在隨后的t′時刻找到球上B的位置，點的速度和加速度。 3、負微分電阻效應是指在特定的電壓范圍內，某些電路或電子元件（如隧道二極管）的電流隨著端電壓的升高而減小的特性。 這種效應可以維持電路的高頻振蕩并輸出放大的通信信號。
在圖中所示的簡化電路中，D是隧道二極管。 其左側由一定阻值的電阻R、電感L和電容C串聯組成。 回路交流電流記為i(t)； 它的右側由一個理想的高頻扼流圈RFC（直流電阻為零，完全阻斷交流信號）和一個理想的恒壓直流電源V0組成。 環路直流電流記為I(1>>|(t)|)，正電流標記方向。 D始終在特定的電壓范圍內，其電阻值為-R0（R|>0，且為某個值）。 (1)已知當t=0時，i(0)=0，i(0)=β≠0（表示a對t的導數）； 交流電流隨時間的變化滿足, (,,, 為待定常數) 試確定常數,,, 以確定任意時刻t的交流電流(t)； （2）試解釋什么條件下左環路會發生共振？ 并求出諧振發生時左回路的電流iB(t)和諧振頻率fH； (3)試解釋什么條件下左環路會發生RLC阻尼振蕩？ 并求出此時左環路中的電流iD(t)和振蕩頻率fD； (4)已知隧道二極管D在Vmin≤VD≤Vmax范圍內可以正常工作(即能保持其負微分電阻效應)，(Vmin和Vmax為已知常數)求最大平均功率此時可以在隧道二極管的交流部分和理想恒壓直流電源的輸出電壓V0上實現。 4、勞倫斯（EO）于1930年首先提出回旋加速器 加速器的原理：利用兩個半圓形磁場使帶電粒子沿弧形軌道旋轉，并被兩個半圓形磁場之間的高頻電場反復加速。兩個半圓形狹縫以獲得更高的能量。
他因這一極具創造性的解決方案獲得了 1939 年諾貝爾物理學獎。 已知數據：質子質量mp=938.3MeV/c2，真空中光速e=300×108m/s。 （1）目前世界上最大的回旋加速器是費米實驗室的高能質子同步加速器（粒子最大回旋軌道周長為Lmax=6436m）。 質子可以加速到的最大能量=1.00×。 假設質子在加速過程中始終在垂直于均勻磁場的平面內運動，無論電磁輻射造成的能量損失如何。 求同步加速器將質子加速到上述最大能量所需的磁感應強度的最小值Bmin。 (2)高能入射質子轟擊靜止質子（目標質子）。 可以產生反質子，反應式為：求出能產生反質子的入射質子的最小動能，并判斷在(1)時間內加速的質子能否攻擊靜止目標質子并產生反質子。 5、星際飛行器A、B、C如圖： 在慣性系E（坐標系O-xy）中，觀察到飛行器A、B在負方向勻速飛行y 軸的方向，飛機 C 沿另一條直線飛行。 沿y軸正方向勻速向上飛行：兩條飛行直線相互平行，間隔d。 三架飛行器在慣性系中的速度分別為，（沿y軸正方向的單位矢量）。 圖中飛機旁邊的箭頭表示其飛行速度的方向。 假設飛機 A、B、C 的尺寸遠小于 d。
（1）在某一時刻，飛行器A向B發射光信號，B收到信號后立即反射回A。 根據A上原子鐘的讀數，光信號從發射到返回所花費的總時間（Δt光信號）A=T。從慣性系和B中的觀察者的角度來看，需要多長時間從A發出的光信號如何返回到A？ 從A的觀察者的角度來看，從A收到返回的光信號到A追上B需要多長時間？ （2）當飛行器A和C在慣性系S中距離最近時，從A處發射一個小貨物（質量遠小于飛行器的質量，尺寸可以忽略）。 小貨物在慣性系中的速度為 。 為了讓C接收到貨物，從A上的觀察者的角度來看，貨物的發射速度的大小和方向是多少？ 從 B 的觀察者的角度來看，貨物從 A 到 C 收到需要多少時間（Δt 貨物）？ 6、光纖陀螺儀是一種可以精確測定運動物體方位的光學儀器。 它是一種廣泛應用于現代航海、航空、航天領域的慣性導航儀器。 光纖陀螺儀導航主要基于以下效果：在一個半徑為R、以角速度Ω旋轉的光纖環路中（見下圖），從固定在陀螺儀上的分光器A分出兩束相干光。環分別沿逆時針（CCW）和順時針（CW）方向傳播并返回到A后，兩者的光路長度不同。 通過檢測兩束光之間的相位差或干涉條紋變化，可以確定光纖環路的旋轉角速度。 真空中的光速為c。 (1)如下圖所示，光纖由內層和外層介質組成。 內、外介質的折射率分別為n1和n2（n1>n2）。
為了使光在光纖內傳輸，光在輸入端口的入射角i（端口n0外介質的折射率）應滿足什么條件？ (2) 考慮N匝光纖沿環路密集纏繞，首尾相連至分光器A，光纖環路以角速度Ω逆時針旋轉。 兩束相干光從A分出，沿光纖環路逆時針和順時針傳播，然后返回A。已知光傳播介質的折射率為n1，兩束光的波長在真空中，兩束相干光沿光纖環路逆時針和順時針傳播的時間tCCW和tCW分別是多少？ 這兩束光之間的相位差是多少？ 試指出該相位差與介質折射率n1之間的關系。 (3)為了提高陀螺系統的小型化，人們提出了諧振光學陀螺系統。 該系統包含一個逆時針方向旋轉的光學環形腔，半徑為R，旋轉角速度為Ω（RΩRm）。試證明：當圖中的開關關閉時，當電光晶體上的實際負載電壓滿足，即調制效率極低（4）為了提高調制效率，增加（即閉合圖中的開關）如圖右半部分所示的并聯諧振電路圖（圖中RL為負載電阻，L為線圈（電感），測試證明。2020年第37屆全國中學生物理競賽復賽試題分析考生必讀： 1.考生必讀這些說明參加考試前請仔細閱讀。 2. 本試題共 5 頁，總分 320 分。 3. 如果試題打印不清楚，請務必向監考人員報告。 4.需要閱卷老師批閱的內容必須寫在答題卡相應題號后面的空白處； 閱卷老師只審查答題卡上的內容：寫在試題紙上和草稿紙上的答案將不會被審查。
1、高鐵運行的穩定性與列車的振動水平密切相關。 安裝在列車上的空氣彈簧可以有效減少振動。 高鐵測試實驗中使用的空氣彈簧模型由主氣室（氣囊）和附加氣室（體積不變）組成，如圖所示。 空氣彈簧作用在彈簧載荷上的垂直向上的力是由氣囊內的壓縮空氣產生的彈力提供的。 當彈簧載荷達到平衡時，主氣室中氣體的壓力和體積分別為P10和V10，附加氣室的體積為V2，大氣壓力為p0。 空氣彈簧垂直向上的力F與主氣室內氣體壓力與大氣壓力之差的比值稱為空氣彈簧的有效承載面積Ae。 空氣在定體積下的摩爾熱容是已知的（R 是通用氣體常數）。 假設在微振幅條件下，主氣室氣體體積V1和有效承載面積Ae可以看作是空氣彈簧承載面垂直位移y（正向下）的線性函數。 bag) 相對于其平衡位置，變化率分別為常數 - (>0) 和 β (β>0)。 (1)附加氣室與主氣室相連(閥門關閉)。 試推導以下兩種情況下空氣彈簧的剛度系數K=dF/dy與其有效承載面積A的關系； i)乘客上下車（主氣室內氣體壓力和體積的變化滿足等溫過程）。 ii) 列車運行過程中遇到劇烈湍流（主氣室氣體壓力和體積變化滿足絕熱過程）。 (2)主氣室與附加氣室連通后(閥門打開)，在上述兩種情況下，推導出空氣彈簧剛度系數K與其有效承載面積Ae之間的關系。
主氣室和附加氣室之間的連接管的體積可以忽略不計。 【答案】（1）； （2）【分析】【詳細說明】（1）根據題意，空氣彈簧主氣室對彈簧上的載荷施加的筆直向上的力為① 式中空氣的壓力為主氣室內。 當空氣彈簧上的載荷發生變化時，主氣室中氣體的壓力和體積V1都會發生變化。 為了統一處理問題中給出的兩種情況，考慮氣體壓力和體積變化的過程方程為 = 常數 ② 其中 n 為常數。 ① 式左右兩邊是空氣彈簧承載面直線位移y的導數。 可見，空氣彈簧的剛度系數K滿足③②式中左右兩邊是y的導數。 ④由題可知，主氣彈簧腔內的容積V和有效承載區Ae相對于平衡位置的垂直位移的變化率為⑤。 空氣彈簧的剛度系數K與其有效承載面積Ae的關系為⑤。 當旅客上下高速列車時，主氣室氣體壓力和體積的變化滿足等溫過程n=1 ⑦ 由式⑥⑦ ⑧ 當列車遇到強湍流時，氣體壓力和體積的變化滿足等溫過程主氣室內的壓力和體積滿足絕熱過程⑨ 式中， 是空氣的定壓摩爾熱容Cp 與定容摩爾熱容CV ⑩ 的比值由式⑥⑨ 求得。 (2)主氣室與附加氣室連接后，如果車輛振動頻率較低，如情況i)，空氣彈簧變形緩慢，可以認為在任意時刻，壓力空氣彈簧主氣室中的壓力與附加氣室中的壓力相同，兩個氣室之間的壓力差可以視為為零。 兩個氣室內的空氣整體經歷等溫過程。
空氣彈簧的剛度系數K與其有效承載面積Ae之間有何關系？ 對于情況i)，車輛系統振動頻率較高，空氣彈簧主氣室內的壓力和體積變化較快，主氣室和附加氣室之間沒有時間進行氣體流動。室。 此時，空氣彈簧的體積相當于主氣室單獨作用并經歷絕熱過程的體積。 空氣彈簧的剛度系數K與其有效承載面積Ae之間的關系為： 2. 質量為 m、半徑為 R 的均質實心母球放置在水平桌面上。 母球與球臺之間的滑動摩擦系數為μ。 調整球桿使其在經過球中心的垂直平面內保持水平，擊打母球的上半部。 球桿相對于球中心所在水平面的高度為 ，擊球時間很短； 母球獲得的動量為P，方向為水平方向。 假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。 重力加速度的大小為g。 (1)母球被擊中后需要多長時間才能開始純粹滾動？ 求母球達到純滾動時球中心的移動速度； (2)注意當母球達到純滾動時(此時為計時零點)，母球與球臺的接觸點為B，并在隨后的t′時刻找到球上B的位置，點的速度和加速度。 【答案】（1）； (2),,, 【分析】 【詳細說明】 (1) 將剛體質心運動的動量定理應用到擊球過程中，如下： ① 其中 是球桿的質心擊球完成后瞬間球的速度（與沖力P方向相同）。 相對于母球質心的沖量力矩為 ② 將剛體旋轉角動量定理應用到擊球過程中： ③ 式中 為擊球完成瞬間母球的旋轉角速度。
母球的轉動慣量為④。 擊球后一瞬間，與球臺接觸的母球A點的速度為⑤。 由公式①②③④⑤可知，擊球瞬間，母球上A點的速度為 ⑥A 該點沿x軸負方向滑動（x軸正方向為與 P 方向相同）。 球體沿x軸正方向所施加的摩擦力Ff為⑦。 在擊球后的時間t，應用剛體質心運動定理和相對于質心的動量定理為⑧⑨。 式中取同方向為正。 由式①①②③④⑧⑨可知，t時刻母球質心的速度和繞質心旋轉的角速度分別為⑩⑾，t時刻A點的速度為⑿。 由式⑿可以看出，隨著時間的增加，接觸點A的速度逐漸由負值變化。 當時間到來時，母球開始純粹滾動。 由上式和⑿可知，母球被擊中后，經過時間⒀后，母球開始純滾動。 此時，母球中心C的速度為 ⒁(2) 從純滾動條件來看，任意時刻t′>0，水平滾動距離等于B點（該點為A點）擊球完成后立即接觸球臺的母球）。 從時間 t'=0 到時間 r' 經過的弧長，以及該弧長對應的圓心角 時間 t' 時 B 點的位置為 ⒃⒄ 這里，t'=0 時 B 點的位置為坐標原點，x軸與P同向，y軸垂直向上。 ⒃⒄ 求出方程兩邊關于時間的值。 B 點的速度分量為 該點的加速度分量為指向母球中心 C 的加速度大小⒇。
3、負微分電阻效應是指在特定的電壓范圍內，某些電路或電子元件（如隧道二極管）的電流隨著端電壓的升高而減小的特性。 這種效應可以維持電路的高頻振蕩并輸出放大的通信信號。 在圖中所示的簡化電路中，D是隧道二極管。 其左側由一定阻值的電阻R、電感L和電容C串聯組成。 回路交流電流記為i(t)； 它的右側由一個理想的高頻扼流圈RFC（直流電阻為零，完全阻斷交流信號）和一個理想的恒壓直流電源V0組成。 環路直流電流記為I(1>>|(t)|)，正電流標記方向。 D始終在特定的電壓范圍內，其電阻值為-R0（R|>0，且為某個值）。 (1)已知當t=0時，i(0)=0，i(0)=β≠0（表示a對t的導數）； 交流電流隨時間的變化滿足, (,,, 為待定常數) 試確定常數,,, 以確定任意時刻t的交流電流(t)； （2）試解釋什么條件下左環路會發生共振？ 并求出諧振發生時左回路的電流iB(t)和諧振頻率fH； (3)試解釋什么條件下左環路會發生RLC阻尼振蕩？ 并求出此時左環路中的電流iD(t)和振蕩頻率fD； (4)已知隧道二極管D在Vmin≤VD≤Vmax范圍內可以正常工作(即能保持其負微分電阻效應)，(Vmin和Vmax為已知常數)試求最大值隧道二極管交流部分所能達到的平均功率，以及此時理想恒壓直流電源的輸出電壓V0。
【答案】(1),,; (2); (3) 【分析】 【詳細說明】 (1) 左環路電勢之和為零，題①給出的一般形式為 ② 由初始條件可知，由 ③ 由方程 ④可知 將方程 ② 代入式①，我們得到兩邊都是t的導數，且不失普遍性，是可以設的（因為它可以看作是but的極限情況）。 上式對于任意時間t都等于0； 因此，每個指數項的系數都應該為零，即，將⑤解為⑥另一個選項37物理競賽37物理競賽，得到相同的結果。 由式③⑥可得，⑦由式②⑥⑦、⑧可得 (2) 要在左回路中產生諧振（即電流i(t)繼續以恒定幅度振蕩），電路的能量不得隨著時間的推移而被消耗，并且電流必須隨著時間的推移而呈周期性。 種類。 因此，⑨注意到⑨的第一個公式直接引出⑨的第二個公式。 因此，式⑨的第一個方程就是該電路中發生諧振的條件。 由式 ⑧ 和式 ⑨ 的第一個式，可得 ⑩ 的振蕩頻率是多少？ (3) 為了在左回路中產生RLC阻尼振蕩(即電流i(t)的幅度隨時間t衰減)，電路的能量必須隨時間t繼續增加。 時間消耗，而電流隨時間周期性變化。 因此，由式②可得。 這是電路中阻尼振蕩的條件。 振蕩頻率(4)由公式⑧⒁獲得。 為了最大化隧道二極管的平均交流部分并保證隧道二極管始終工作在負阻區，隧道二極管上的直流偏置電壓必須處于工作電壓。 在范圍的中間位置，此時的交流部分電壓可以達到最大幅度。 考慮到右環路電壓源為理想恒壓電源，且理想高頻扼流圈RFC的直流電阻為0，則環路電位之和為0，可見此時，隧道二極管交流部分的最大平均功率為4。勞倫斯（EO）于1930年首先提出回旋加速器的原理：利用兩個半圓形磁場使帶電粒子沿弧形軌道旋轉并反復通過兩個半圓狹縫之間的高頻電場加速并獲得更高的能量。
他因這一極具創造性的解決方案獲得了 1939 年諾貝爾物理學獎。 已知數據：質子質量mp=938.3MeV/c2，真空中光速e=300×108m/s。 （1）目前世界上最大的回旋加速器是費米實驗室的高能質子同步加速器（粒子最大回旋軌道周長為Lmax=6436m）。 質子可以加速到的最大能量=1.00×。 假設質子在加速過程中始終在垂直于均勻磁場的平面內運動，無論電磁輻射造成的能量損失如何。 求同步加速器將質子加速到上述最大能量所需的磁感應強度的最小值Bmin。 (2)高能入射質子轟擊靜止質子（目標質子）。 可以產生反質子，反應式為：求出能產生反質子的入射質子的最小動能，并判斷在(1)時間內加速的質子能否攻擊靜止目標質子并產生反質子。 【答案】5、星際飛行器A、B、C如圖所示： 在慣性系E（坐標系O-xy）中，觀察到飛行器A、B以負方向勻速飛行y軸的y軸在同一條直線上，飛行器C在另一條直線上沿y軸正方向勻速飛行：兩條飛行直線相互平行，且相距d。 三架飛行器在慣性系中的速度分別為，（沿y軸正方向的單位矢量）。 圖中飛機旁邊的箭頭表示其飛行速度的方向。
假設飛機 A、B、C 的尺寸遠小于 d。 （1）在某一時刻，飛行器A向B發射光信號，B收到信號后立即反射回A。 根據A上原子鐘的讀數，光信號從發射到返回所花費的總時間（Δt光信號）A=T。從慣性系和B中的觀察者的角度來看，需要多長時間從A發出的光信號如何返回到A？ 從A的觀察者的角度來看，從A收到返回的光信號到A追上B需要多長時間？ （2）當飛行器A和C在慣性系S中距離最近時，從A處發射一個小貨物（質量遠小于飛行器的質量，尺寸可以忽略）。 小貨物在慣性系中的速度為 。 為了讓C接收到貨物，從A上的觀察者的角度來看，貨物的發射速度的大小和方向是多少？ 從 B 的觀察者的角度來看，貨物從 A 到 C 收到需要多少時間（Δt 貨物）？ 【答案】（1）； (2) 【分析】 【詳細說明】 (1) 從慣性系中觀察者的角度來看，從飛行器 A 發出的光信號返回到 A 所需的時間為，根據速度合成定律狹義相對論中，飛機A相對于飛機B的速度為 其中，最后等號右側的負號表示飛機A相對于飛機B的速度是沿y軸負方向，以此類推。 從飛機 B 上的觀察者角度來看，該光信號是從飛機 A 上的觀察者角度來看，當飛機 A 接收到返回的光信號時，飛機 A 與飛機 B 之間的距離是從飛機 A 接收到返回的光信號時開始計算。到A追上B時返回的光信號，所需時間為 (2) 考慮小貨物在慣性系中的速度。 為了使小貨物能夠被飛機 C 接收，小貨物速度的 y 分量應該與飛機 C 的速度相同。根據問題的含義，小貨物位于慣性系中。 兩個分量的速度分別為。 從飛機A上的觀察者角度看，小貨物發射速度的大小為 貨物在y方向的位移為 儀器，它是一種廣泛應用于現代航海、航空等領域的慣性導航儀器和航空航天。
光纖陀螺儀導航主要基于以下效果：在一個半徑為R、以角速度Ω旋轉的光纖環路中（見下圖），從固定在陀螺儀上的分光器A分出兩束相干光。環分別沿逆時針（CCW）和順時針（CW）方向傳播并返回到A后，兩者的光路長度不同。 通過檢測兩束光之間的相位差或干涉條紋變化，可以確定光纖環路的旋轉角速度。 真空中的光速為c。 （1）如下所示，光纖由介質的內層和外層組成。 內部介質和外介質的折射率分別為N1和N2（N1> N2）。 為了使光在光纖內傳輸，輸入端口的入射角I（端口N0外介質的折射率）應滿足什么條件？ （2）考慮沿環的光纖密度纏繞，端到頭連接到束分離器A，光纖環路在角速度ω處逆時針旋轉。 兩條連貫的光束從A中從A中出來，并逆時針和順時針沿光纖環路傳播，然后返回到A。在真空中，兩條連貫的光束的TCCW和TCW的時間分別是什么？ 這兩條光束之間有什么相差？ 嘗試指出該相差與介質的折射率N1之間的關系。 （3）為了改善陀螺儀系統的微型化，人們提出了共鳴的光學陀螺儀系統。 該系統包含一個逆時針旋轉的光環腔，半徑為R和旋轉角速度ω（RΩ
