估計地球赤道處太陽引起的潮汐與月球引起的潮汐的高度比。
潮汐現(xiàn)象是由天體引力引起的。 對于地球上的觀察者來說，潮汐表現(xiàn)為海平面相對于某個標準高度的垂直方向的周期性變化。 然而引起潮汐的天體是運動的，不方便研究。 因此，為簡單起見，假設只有一個天體引起潮汐。 然后切換到質(zhì)心靜止、天體與地球連接方向固定的參考系。 這可以稱為革命參考系統(tǒng)。
根據(jù)我對地球和引起潮汐的天體、月球和太陽的了解物理競賽力，我可以做出這樣的近似：
地球和天體都是質(zhì)量對稱分布的球體，因此兩者的引力可以相當于球心質(zhì)點的引力。 地球和天體之間的距離保持不變（即圓形軌道），因此它們在上述參考系中以恒定速度旋轉(zhuǎn)。 地心和天體中心靜止的非慣性系統(tǒng)； 地球與天體之間的距離遠大于地球的半徑。
為了進一步計算，以下假設實際上是非常不合理的，這就是為什么我稱它們?yōu)椤昂唵巍保?span style="display:none">VHS物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
4、地球表面光滑；
5. 地球表面覆蓋著一層水。 當處于平衡狀態(tài)時，它相對于旋轉(zhuǎn)參考系是靜止的。 因此，任何流體微團簇都受到周圍流體壓力、重力、離心力（對于地球表面的微團簇來說，還有地球表面的支撐力）和平衡的影響。
6、地球自轉(zhuǎn)軸與公轉(zhuǎn)角速度平行，即+{const}和frac{pi}{2}-theta是經(jīng)度和緯度。
基于以上五個假設，開始解決問題。
假設地球質(zhì)量M_1，半徑R，天體質(zhì)量M_2，兩球心距離l，系統(tǒng)質(zhì)心到地球球心距離d，公轉(zhuǎn)角速度 vec{omega}. 簡單計算可得 d=frac{M_2}{M_1 + M_2}l\ omega^2=frac{ G(M_1+M_2)}{l^3}。\ 建立球坐標系，原點 在地球球體的中心，極軸與 vec{omega} 方向相同。 從地球球心到天球中心的方向方位角為0。
我們知道，當液體處于靜止勢U時，它滿足的方程為p+rho U= {const}。 在自由表面上 p={const}，且 rho={const}，所以 U={const}。 因此，液體某個等勢面滿足的方程r=r(theta,)就是我們想要的自由表面方程。
首先給出了“國際物理競賽訓練選拔”的做法。 由于僅限于赤道，因此僅需要 U(r,)：
U(r,)=-frac{GM_1}{r}-frac{GM_2}{sqrt{r^2+l^2-2rlcos}}-frac{1}{ 2}omega^2(r^2+d^2-2rdcos).\ 由假設可知，rll l 已知，因此第二項的分母可以展開：frac{1} {sqrt {r^2+l^2-2rlcos}}=frac{1}{l}sum_{k=1}^{+infty}{(frac{r}{l} )^k P_k(cos)}.\ 只要展開到 r^2 項并代入，就可以得到（注意有些項已合并到常數(shù)項中） U(r,)simeq-壓裂{ G M_1} {r}-壓裂{ GM_2}{l}[壓裂{r}{l}cos+(壓裂{r}{l})^2壓裂{3cos ^2-1} {2}]-frac{1}{2}frac{ G(M_1+M_2)}{l^3}(r^2-2rfrac{M_2}{M_1 + M_2 }lcos) +{const}\ =-frac{ G M_1}{r}- G(frac{3}{2}M_2cos^2+frac{M_1}{ 2})frac{ r^2}{l^3}+{const}.\ 要找到 r=R 附近的等勢面，請在 r=R 處展開 U(r,)： U(r, )simeq U(R,)+frac{ U}{ r}delta\ =-frac{3}{2} GM_2cos^2\frac{R^2}{l ^3} +[frac{G M_1}{R^2}- G(3M_2cos^2+M_1)frac{R}{l^3}]delta+{const}={ const}, \ 其中 deltaequiv rR 。忽略 delta 之前系數(shù)中的小量，我們最終得到
delta=frac{3M_2}{2M_1}frac{R^4}{l^3}cos^2+{const}.\ 從這個表達式可以清楚地看出 =0 和 pi 是最高，=frac{pi}{2} 和 frac{3pi}{2} 最低。 潮汐高度為frac{3M_2}{2M_1}frac{R^4}{l^3}\frac{M_2}{l^3}。 一天有兩次高潮和兩次低潮（所謂半日潮）。 因此，尋求的答案為frac{^3}{^3}.45，即月球?qū)Τ毕挠绊戄^大。
上面的結(jié)論（潮高\frac{M_2}{l^3}）非常簡單。 但如果你跳出這個問題的限制范圍，你就會發(fā)現(xiàn)事情并沒有那么簡單。 例如，我們考慮 =0 或 pi（子午線環(huán)）處的海平面高度。 此時勢能變?yōu)閁(r,theta)=-frac{GM_1}{r}-frac{GM_2}{sqrt{r^2+l^2-2rlsin theta}} -frac{1}{2}omega^2(drsintheta)^2.\ 以類似方式展開代入，得到 U(r,theta)simeq-frac{ G M_1 }{r}- G(frac{4sin^2theta-1}{2}M_2+frac{sin^2theta}{2}M_1)frac{r^2} {l^3}+{const}.\再展開r，最后得到delta=frac{4M_2+M_1}{2M_1}frac{R^4}{l^3}sin^2 theta+ {const}.\ 可以看出，在=0或pi這個圓上，海平面高差（注意地球自轉(zhuǎn)方向與這個圓明顯不同，嚴格來說不能稱為潮汐）高度）為 frac{4M_2+M_1 }{2M_1}frac{R^4}{l^3}！ 代入計算，日月高差之比約為0.02，與之前的結(jié)果相差很大！
這種差異讓我們想要計算世界各地的海平面高度，看看是否可以統(tǒng)一這兩個結(jié)果。 U(r,theta,)=-frac{GM_1}{r}-frac{GM_2}{sqrt{r^2+l^2-2rlcos\sintheta}} -frac{1}{2}omega^2(r^2sin^2theta+d^2-2rdcos\sintheta).\ 展開化簡，得
U(r,theta,)simeq-frac{ G M_1}{r}- G[frac{(3cos^2+1)sin^2theta-1}{2 }M_2+frac{sin^2theta}{2}M_1]frac{r^2}{l^3}+{const}.\根據(jù)規(guī)律得到全球海平面高度delta =frac {(3cos^2+1)M_2+M_1}{2M_1}frac{R^4}{l^3}sin^2 theta+{const}.\ 當theta= frac{ 當 pi}{2} 且 =0 時，分別得到前兩種情況。 如果θ固定物理競賽力，則對應緯度圈上的潮汐高度為赤道上的sin^2 theta倍： h(theta)=frac{3M_2}{2M_1}frac{R^4}{l^ 3}sin^2theta,\因此緯度圈上潮汐高度\frac{M_2}{l^3}sin^2theta從赤道開始減小兩級，在兩極達到0。 這是一個簡單的全球潮汐模型。
一些補充：
上述模型稱為平衡潮汐理論，由牛頓、伯努利等人發(fā)展起來。 它將潮汐作為流體靜力問題來解決。 顯然，這個模型存在嚴重缺陷：地球上的人們會看到海水以每秒數(shù)百米的速度向西咆哮，這與經(jīng)驗完全不符。 嚴格來說，由于黃角和白角的存在，θ圓不是緯度圈，不能直接用來計算潮汐。 沒有考慮大陸的存在、海底的不平坦、海水的相對運動和粘度以及由此產(chǎn)生的科里奧利力。 在平衡潮汐理論之后，拉普拉斯提出了新的潮汐方程，將潮汐作為流體動力學問題來求解。 從拉普拉斯潮汐方程出發(fā)，后人得到了一系列更加精密復雜的結(jié)果。 總而言之，上述潮汐模型與實際情況相比極其粗糙。 它最多只能提供全球范圍內(nèi)的定性結(jié)論和震級估計，它能解釋的現(xiàn)象非常有限。
