由于萬有引力的作用，銀河系中的恒星繞著銀河系中心周而復(fù)始地旋轉(zhuǎn)。
你有沒有想過為什么天體有秩序地運(yùn)行？ 是什么讓他們一次又一次地定期搬家？ 在重力已成為常識的今天，這個問題并不難回答。 然而，準(zhǔn)確地描述這種現(xiàn)象，分析總結(jié)這種現(xiàn)象的規(guī)律，然后做出合理的假設(shè)是一個非常漫長的過程。 今天我們只需要直接告訴大家，經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為任意兩個物體之間都存在萬有引力，任意物體A都受到另一個物體B的萬有引力：
F={ { {F}}=G{frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{ {n}}}
其中 n{{{n}}}
是AB方向的單位向量，m1{ m_{1}}
是 A 的質(zhì)量，m2{ m_{2}}
是 B 的質(zhì)量，r{r}
是 AB, G{G} 之間的距離
是萬有引力常數(shù)。
這是一個非常理想化的公式，因為它將任何物體視為粒子而不考慮其體積。 事實上，重力的計算是相當(dāng)復(fù)雜的，因為需要考慮每個點與每個點之間的體積，所以需要用到微積分。 考慮到本書的主要目的是科普，我們在這里直接告訴大家：根據(jù)殼定理，計算任意兩個均勻球體之間的萬有引力時，可以將這兩個球體視為中心的質(zhì)點球體的。
如果不考慮向心力，我們可以知道任何未來的半徑都是r{r}
對于某個行星表面上的物體，將萬有引力公式中的距離換成半徑，就可以計算出該物體所受到的引力。如果這個物體在行星表面上自由下落，那么加速度
g=Fm=Gmr2n{ {begin{}{ {g}}&={frac { {F}}{m}}\&=G{frac {m}{r^{2} }}{ {n}}\結(jié)束{}}}
當(dāng)考慮標(biāo)量時，我們將 g=|g|{ g=|{ {g}}|}
稱為行星的重力加速度。
卡文迪什扭轉(zhuǎn)尺度實驗[編輯]
扭轉(zhuǎn)比例圖
雖然萬有引力定律是牛頓在1687年提出的，但萬有引力常數(shù)G{G}
之所以沒有在實驗上發(fā)現(xiàn)，是因為能夠參與實驗的物體之間的引力太小，因為這種現(xiàn)象很難觀察到。 1798年，亨利·卡文迪什首次通過扭力平衡實驗測量了萬有引力常數(shù)。
卡文迪什使用了如圖所示的扭轉(zhuǎn)平衡裝置。 我們稍后再談。 根據(jù)力矩平衡，扭距GMmr2=mv2r{G{frac {Mm}{r^{2}}}=m{frac {v^{2}}{r}}}
秤放大了重力的影響。 如圖所示，卡文迪什用一根硬棒連接小球，用繩子懸掛硬棒，用大球吸引小球，通過扭力秤的旋轉(zhuǎn)間接測量重力。 這里的生活經(jīng)驗也可以告訴我們，輕微觸球也能引起硬桿大幅度旋轉(zhuǎn)。 但由于要測量的重力太小，扭轉(zhuǎn)尺度不足以達(dá)到明顯的放大效果，因此卡文迪什在懸掛在硬桿上的繩子上連接了一個反射器卡文迪許扭秤實驗，然后讓光束穿過反射器。 同時，反射光被引導(dǎo)到另一個標(biāo)記刻度上，將扭力刻度的旋轉(zhuǎn)放大為可以直接讀取的現(xiàn)象。
卡文迪什巧妙地設(shè)計了一種可以將重力放大兩倍的扭力天平，并測出了萬有引力常數(shù)G{G}
，并于1798年在《美國國家科學(xué)院院刊》上發(fā)表了其結(jié)論。現(xiàn)在，我們以更精確的方式測量它
G=(6.67408±0.00031)×10?11m3?kg?1?s?2{ G=left(6.67408pm 0.00031right)times 10^{-11} {mbox{m}}^ {3}cdot {mbox{kg}}^{-1}cdot {mbox{s}}^{-2}}
在這里我不得不說，即使在今天，我們的引力常數(shù)也無法提高其測量值的準(zhǔn)確性。 它仍然只有六位有效數(shù)字。 與元素電荷、光速等常數(shù)相比，這個精度還是很低的。
萬有引力和天體運(yùn)動定律[編輯]
不得不再說一遍，經(jīng)典力學(xué)的應(yīng)用范圍是宏觀低速運(yùn)動。 由于天體的運(yùn)動已經(jīng)脫離了低速運(yùn)動的范疇，但仍遠(yuǎn)不及光束，因此用經(jīng)典力學(xué)研究天體運(yùn)動規(guī)律時，精度確實會下降，但它沒有達(dá)到不可接受的水平。 畢竟，在相對論建立之前，前人也是根據(jù)牛頓運(yùn)動定律計算出的軌道發(fā)現(xiàn)了海王星。
根據(jù)開普勒第二定律，在相同的時間間隔內(nèi)，繞太陽運(yùn)行的行星所掃過的面積相等。
由于天體的運(yùn)動，例如地球繞太陽公轉(zhuǎn)，許多軌道接近完美的圓形。 因此，我們平時討論的時候，常常把天體的運(yùn)動視為勻速圓周運(yùn)動，但實際上，理論上，這個軌跡應(yīng)該是橢圓。 除了橢圓之外，天體還可能沿拋物線和雙曲線運(yùn)動。 由于這里的推導(dǎo)需要大量高深的數(shù)學(xué)知識，所以我們將推導(dǎo)過程添加到附錄中。 這里我們直接把開普勒發(fā)現(xiàn)的行星運(yùn)動規(guī)律作為常識告訴讀者。 。
開普勒第一定律[編輯]
每一顆行星都沿著自己的橢圓軌道圍繞太陽運(yùn)行，太陽位于橢圓的一個焦點上。
開普勒第二定律[編輯]
在相同的時間內(nèi)，連接太陽和移動行星的連線所掃過的面積相等。
這條定律可以從附圖中看出。 圖中的兩個“扇子”代表了兩個相等時間段內(nèi)太陽和行星連線所掃過的區(qū)域。 根據(jù)開普勒第二定律，這兩個“扇形”的面積相等。 。
開普勒第三定律[編輯]
每個行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。
如果我們把這顆行星的軌道理想化，把它看成橢圓的特例，即圓，那么這顆行星做勻速圓周運(yùn)動，半長軸就是圓的周長。 針對這種特殊情況，我們進(jìn)行如下推導(dǎo)。
周期是指做勻速圓周運(yùn)動的物體從某種運(yùn)動狀態(tài)再次回到那種運(yùn)動狀態(tài)所需要的時間。 通俗地說，就是運(yùn)動一個周期所需要的時間，所以周期
T=sv=2πrv=2πω{ T={frac {s}{v}}={frac {2pi r}{v}}={frac {2pi }{omega }}}
假設(shè)行星的質(zhì)量為 m{m}
，恒星的質(zhì)量為 M{M}
，行星運(yùn)動的軌道半徑為r{r}
，根據(jù)萬有引力定律和勻速圓周運(yùn)動定律，有如下標(biāo)量表達(dá)式
GMmr2=mv2r{ G{frac {Mm}{r^{2}}}=m{frac {v^{2}}{r}}}
現(xiàn)在 v=2πrT{ v={frac {2pi r}{T}}}
帶入上面的公式我們有
GMmr2=mr?(2πrT)2=4πmrT2{ {begin{}G{frac {Mm}{r^{2}}}&={frac {m}{r}}cdot ({frac {2pi r}{T}})^{2}\&={frac {4pi mr}{T^{2}}}\end{}}}
將上式整理可得
T2=4πGM?r3{ T^{2}={frac {4pi }{GM}}cdot r^{3}}
因此有
T2∝r3{ T^{2} r^{3}}
引力質(zhì)量質(zhì)量[編輯]
大家有沒有注意到，在萬有引力的公式中，質(zhì)量參與了計算。 這個質(zhì)量稱為慣性質(zhì)量。 讓我們再次解釋一下，質(zhì)量是我們杜撰的一個概念。 質(zhì)量可以客觀地反映物體的本質(zhì)屬性。 這里，我們假設(shè)萬有引力公式中的距離和物體A的質(zhì)量已經(jīng)確定。 那么物體A對物體B施加的引力的大小為， 正好與物體B的質(zhì)量有關(guān)。 因此，我們發(fā)現(xiàn)，任何物體B，在其他條件相同的情況下，都會受到同一個物體A的引力，而這個引力只與一定數(shù)量的物體B有關(guān)，我們稱這個數(shù)量為慣性質(zhì)量。 不知道大家有沒有注意到，天平這種物理中測量物體的儀器，使用的是地球上相同的位置。 地球?qū)ο嗤|(zhì)量的物體具有相同的引力。 也就是說，天平測量重力質(zhì)量。
回想一下我們對質(zhì)量的定義，我們在沒有任何背景的情況下告訴讀者，物體有一個不受外界影響的基本屬性，稱為質(zhì)量。 在牛頓第二定律中，我們通過給予不同物體相同的凈外力來觀察它們的加速度。 我們認(rèn)為，加速度不同的原因是物體的一個本質(zhì)屬性——慣性質(zhì)量——不同。 現(xiàn)在，我們處于萬有引力定律中，位置 P1{P_{1}}
一對物體 A 位于位置 P2{ P_{2}}
另一個物體 B 的引力 F{ { {F}}}
它只與物體B的一個本質(zhì)屬性有關(guān)，即引力質(zhì)量。如果我們用標(biāo)量表達(dá)式來表達(dá)這兩個質(zhì)量卡文迪許扭秤實驗，則慣性質(zhì)量
mi=Fa{ m_{i}={frac {F}{a}}}
引力質(zhì)量始終是正確的
mg=Fg?r2m{ m_{g}=F_{g}cdot {frac {r^{2}}{m}}}
也始終成立。 也就是說，當(dāng)填入符合現(xiàn)象的參數(shù)時，上述兩個公式始終有效，因此mi{ m_{i}}確定
與毫克{(lán) m_{g}}
它是物體的本質(zhì)屬性。 從目前觀測的準(zhǔn)確性來看，對于任何物體來說，這兩個屬性都是成正比的。 如果我們選擇適當(dāng)?shù)木S度，那么這兩個屬性是相等的。 但問題是，沒有證據(jù)表明它們是相同的屬性，也就是說，我們無法將它們統(tǒng)一為品質(zhì)！ 就目前所知，物理學(xué)還沒有解釋為什么物體的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等。 這通常被認(rèn)為是巧合。
引力場[編輯]練習(xí)[編輯]根據(jù)萬有引力定律和勻速圓周運(yùn)動定律，解釋為什么地球表面的重力加速度隨高度和緯度的不同而不同。 推導(dǎo)：對于做勻速圓周運(yùn)動的行星，其線速度為
v=GMr{ v={sqrt {G{frac {M}{r}}}}}
其中 M{M}
是它的恒星質(zhì)量，r{r}
是其軌道半徑。
