由于萬(wàn)有引力的作用，銀河系中的恒星繞著銀河系中心周而復(fù)始地旋轉(zhuǎn)。
你有沒(méi)有想過(guò)為什么天體有秩序地運(yùn)行？ 是什么讓他們一次又一次地定期搬家？ 在重力已成為常識(shí)的今天，這個(gè)問(wèn)題并不難回答。 然而，準(zhǔn)確地描述這種現(xiàn)象，分析總結(jié)這種現(xiàn)象的規(guī)律，然后做出合理的假設(shè)是一個(gè)非常漫長(zhǎng)的過(guò)程。 今天我們只需要直接告訴大家，經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為任意兩個(gè)物體之間都存在萬(wàn)有引力，任意物體A都受到另一個(gè)物體B的萬(wàn)有引力：
F={ { {F}}=G{frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{ {n}}}
其中 n{{{n}}}
是AB方向的單位向量，m1{ m_{1}}
是 A 的質(zhì)量，m2{ m_{2}}
是 B 的質(zhì)量，r{r}
是 AB, G{G} 之間的距離
是萬(wàn)有引力常數(shù)。
這是一個(gè)非常理想化的公式，因?yàn)樗鼘⑷魏挝矬w視為粒子而不考慮其體積。 事實(shí)上，重力的計(jì)算是相當(dāng)復(fù)雜的，因?yàn)樾枰紤]每個(gè)點(diǎn)與每個(gè)點(diǎn)之間的體積，所以需要用到微積分。 考慮到本書(shū)的主要目的是科普，我們?cè)谶@里直接告訴大家：根據(jù)殼定理，計(jì)算任意兩個(gè)均勻球體之間的萬(wàn)有引力時(shí)，可以將這兩個(gè)球體視為中心的質(zhì)點(diǎn)球體的。
如果不考慮向心力，我們可以知道任何未來(lái)的半徑都是r{r}
對(duì)于某個(gè)行星表面上的物體，將萬(wàn)有引力公式中的距離換成半徑，就可以計(jì)算出該物體所受到的引力。如果這個(gè)物體在行星表面上自由下落，那么加速度
g=Fm=Gmr2n{ {begin{}{ {g}}&={frac { {F}}{m}}\&=G{frac {m}{r^{2} }}{ {n}}\結(jié)束{}}}
當(dāng)考慮標(biāo)量時(shí)，我們將 g=|g|{ g=|{ {g}}|}
稱(chēng)為行星的重力加速度。
卡文迪什扭轉(zhuǎn)尺度實(shí)驗(yàn)[編輯]
扭轉(zhuǎn)比例圖
雖然萬(wàn)有引力定律是牛頓在1687年提出的，但萬(wàn)有引力常數(shù)G{G}
之所以沒(méi)有在實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)，是因?yàn)槟軌騾⑴c實(shí)驗(yàn)的物體之間的引力太小，因?yàn)檫@種現(xiàn)象很難觀察到。 1798年，亨利·卡文迪什首次通過(guò)扭力平衡實(shí)驗(yàn)測(cè)量了萬(wàn)有引力常數(shù)。
卡文迪什使用了如圖所示的扭轉(zhuǎn)平衡裝置。 我們稍后再談。 根據(jù)力矩平衡，扭距GMmr2=mv2r{G{frac {Mm}{r^{2}}}=m{frac {v^{2}}{r}}}
秤放大了重力的影響。 如圖所示，卡文迪什用一根硬棒連接小球，用繩子懸掛硬棒，用大球吸引小球，通過(guò)扭力秤的旋轉(zhuǎn)間接測(cè)量重力。 這里的生活經(jīng)驗(yàn)也可以告訴我們，輕微觸球也能引起硬桿大幅度旋轉(zhuǎn)。 但由于要測(cè)量的重力太小，扭轉(zhuǎn)尺度不足以達(dá)到明顯的放大效果，因此卡文迪什在懸掛在硬桿上的繩子上連接了一個(gè)反射器卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)，然后讓光束穿過(guò)反射器。 同時(shí)，反射光被引導(dǎo)到另一個(gè)標(biāo)記刻度上，將扭力刻度的旋轉(zhuǎn)放大為可以直接讀取的現(xiàn)象。
卡文迪什巧妙地設(shè)計(jì)了一種可以將重力放大兩倍的扭力天平，并測(cè)出了萬(wàn)有引力常數(shù)G{G}
，并于1798年在《美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院刊》上發(fā)表了其結(jié)論。現(xiàn)在，我們以更精確的方式測(cè)量它
G=(6.67408±0.00031)×10?11m3?kg?1?s?2{ G=left(6.67408pm 0.00031right)times 10^{-11} {mbox{m}}^ {3}cdot {mbox{kg}}^{-1}cdot {mbox{s}}^{-2}}
在這里我不得不說(shuō)，即使在今天，我們的引力常數(shù)也無(wú)法提高其測(cè)量值的準(zhǔn)確性。 它仍然只有六位有效數(shù)字。 與元素電荷、光速等常數(shù)相比，這個(gè)精度還是很低的。
萬(wàn)有引力和天體運(yùn)動(dòng)定律[編輯]
不得不再說(shuō)一遍，經(jīng)典力學(xué)的應(yīng)用范圍是宏觀低速運(yùn)動(dòng)。 由于天體的運(yùn)動(dòng)已經(jīng)脫離了低速運(yùn)動(dòng)的范疇，但仍遠(yuǎn)不及光束，因此用經(jīng)典力學(xué)研究天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，精度確實(shí)會(huì)下降，但它沒(méi)有達(dá)到不可接受的水平。 畢竟，在相對(duì)論建立之前，前人也是根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律計(jì)算出的軌道發(fā)現(xiàn)了海王星。
根據(jù)開(kāi)普勒第二定律，在相同的時(shí)間間隔內(nèi)，繞太陽(yáng)運(yùn)行的行星所掃過(guò)的面積相等。
由于天體的運(yùn)動(dòng)，例如地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，許多軌道接近完美的圓形。 因此，我們平時(shí)討論的時(shí)候，常常把天體的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但實(shí)際上，理論上，這個(gè)軌跡應(yīng)該是橢圓。 除了橢圓之外，天體還可能沿拋物線和雙曲線運(yùn)動(dòng)。 由于這里的推導(dǎo)需要大量高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，所以我們將推導(dǎo)過(guò)程添加到附錄中。 這里我們直接把開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)的行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律作為常識(shí)告訴讀者。 。
開(kāi)普勒第一定律[編輯]
每一顆行星都沿著自己的橢圓軌道圍繞太陽(yáng)運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。
開(kāi)普勒第二定律[編輯]
在相同的時(shí)間內(nèi)，連接太陽(yáng)和移動(dòng)行星的連線所掃過(guò)的面積相等。
這條定律可以從附圖中看出。 圖中的兩個(gè)“扇子”代表了兩個(gè)相等時(shí)間段內(nèi)太陽(yáng)和行星連線所掃過(guò)的區(qū)域。 根據(jù)開(kāi)普勒第二定律，這兩個(gè)“扇形”的面積相等。 。
開(kāi)普勒第三定律[編輯]
每個(gè)行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的平方與其橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比。
如果我們把這顆行星的軌道理想化，把它看成橢圓的特例，即圓，那么這顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半長(zhǎng)軸就是圓的周長(zhǎng)。 針對(duì)這種特殊情況，我們進(jìn)行如下推導(dǎo)。
周期是指做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體從某種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)再次回到那種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所需要的時(shí)間。 通俗地說(shuō)，就是運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期所需要的時(shí)間，所以周期
T=sv=2πrv=2πω{ T={frac {s}{v}}={frac {2pi r}{v}}={frac {2pi }{omega }}}
假設(shè)行星的質(zhì)量為 m{m}
，恒星的質(zhì)量為 M{M}
，行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r{r}
，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和勻速圓周運(yùn)動(dòng)定律，有如下標(biāo)量表達(dá)式
GMmr2=mv2r{ G{frac {Mm}{r^{2}}}=m{frac {v^{2}}{r}}}
現(xiàn)在 v=2πrT{ v={frac {2pi r}{T}}}
帶入上面的公式我們有
GMmr2=mr?(2πrT)2=4πmrT2{ {begin{}G{frac {Mm}{r^{2}}}&={frac {m}{r}}cdot ({frac {2pi r}{T}})^{2}\&={frac {4pi mr}{T^{2}}}\end{}}}
將上式整理可得
T2=4πGM?r3{ T^{2}={frac {4pi }{GM}}cdot r^{3}}
因此有
T2∝r3{ T^{2} r^{3}}
引力質(zhì)量質(zhì)量[編輯]
大家有沒(méi)有注意到，在萬(wàn)有引力的公式中，質(zhì)量參與了計(jì)算。 這個(gè)質(zhì)量稱(chēng)為慣性質(zhì)量。 讓我們?cè)俅谓忉屢幌拢|(zhì)量是我們杜撰的一個(gè)概念。 質(zhì)量可以客觀地反映物體的本質(zhì)屬性。 這里，我們假設(shè)萬(wàn)有引力公式中的距離和物體A的質(zhì)量已經(jīng)確定。 那么物體A對(duì)物體B施加的引力的大小為， 正好與物體B的質(zhì)量有關(guān)。 因此，我們發(fā)現(xiàn)，任何物體B，在其他條件相同的情況下，都會(huì)受到同一個(gè)物體A的引力，而這個(gè)引力只與一定數(shù)量的物體B有關(guān)，我們稱(chēng)這個(gè)數(shù)量為慣性質(zhì)量。 不知道大家有沒(méi)有注意到，天平這種物理中測(cè)量物體的儀器，使用的是地球上相同的位置。 地球?qū)ο嗤|(zhì)量的物體具有相同的引力。 也就是說(shuō)，天平測(cè)量重力質(zhì)量。
回想一下我們對(duì)質(zhì)量的定義，我們?cè)跊](méi)有任何背景的情況下告訴讀者，物體有一個(gè)不受外界影響的基本屬性，稱(chēng)為質(zhì)量。 在牛頓第二定律中，我們通過(guò)給予不同物體相同的凈外力來(lái)觀察它們的加速度。 我們認(rèn)為，加速度不同的原因是物體的一個(gè)本質(zhì)屬性——慣性質(zhì)量——不同。 現(xiàn)在，我們處于萬(wàn)有引力定律中，位置 P1{P_{1}}
一對(duì)物體 A 位于位置 P2{ P_{2}}
另一個(gè)物體 B 的引力 F{ { {F}}}
它只與物體B的一個(gè)本質(zhì)屬性有關(guān)，即引力質(zhì)量。如果我們用標(biāo)量表達(dá)式來(lái)表達(dá)這兩個(gè)質(zhì)量卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)，則慣性質(zhì)量
mi=Fa{ m_{i}={frac {F}{a}}}
引力質(zhì)量始終是正確的
mg=Fg?r2m{ m_{g}=F_{g}cdot {frac {r^{2}}{m}}}
也始終成立。 也就是說(shuō)，當(dāng)填入符合現(xiàn)象的參數(shù)時(shí)，上述兩個(gè)公式始終有效，因此mi{ m_{i}}確定
與毫克{(lán) m_{g}}
它是物體的本質(zhì)屬性。 從目前觀測(cè)的準(zhǔn)確性來(lái)看，對(duì)于任何物體來(lái)說(shuō)，這兩個(gè)屬性都是成正比的。 如果我們選擇適當(dāng)?shù)木S度，那么這兩個(gè)屬性是相等的。 但問(wèn)題是，沒(méi)有證據(jù)表明它們是相同的屬性，也就是說(shuō)，我們無(wú)法將它們統(tǒng)一為品質(zhì)！ 就目前所知，物理學(xué)還沒(méi)有解釋為什么物體的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等。 這通常被認(rèn)為是巧合。
引力場(chǎng)[編輯]練習(xí)[編輯]根據(jù)萬(wàn)有引力定律和勻速圓周運(yùn)動(dòng)定律，解釋為什么地球表面的重力加速度隨高度和緯度的不同而不同。 推導(dǎo)：對(duì)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的行星，其線速度為
v=GMr{ v={sqrt {G{frac {M}{r}}}}}
其中 M{M}
是它的恒星質(zhì)量，r{r}
是其軌道半徑。
