開普勒第三定律的證明
劉偉勝
（唐山師范大學物理系，河北 唐山）
摘要：行星在太陽的影響下沿著橢圓軌道運行，行星相對于太陽的角動量保持不變。 因此，行星始終在平面內運動開普勒三大定律證明，其運行軌道為平面橢圓軌道。行星運動周期T的平方與其橢圓軌道半長軸a的立方之比為常數開普勒三大定律證明，即
T2 ka3。
關鍵詞：開普勒； 軌道; 時期; 角動量
CLC 分類號：O311.1 文件識別代碼：B 文章編號：1009-9115 (2004) 02-0056-02
開普勒第三定律的內容是：行星運動周期T的平方與其橢圓軌道半長軸a的立方之比為常數，即T2=ka3，其中常數k為所有行星都一樣。 下面證明該定律。
行星在太陽的影響下沿橢圓軌道運行，行星相對于太陽的角動量保持不變。 因此，行星始終在平面上運動，其軌道是平面橢圓軌道。 假設行星質量為m，其軌道角動量大小為：r
R rsin 博士
L mR sin mRsin mlim
DT TT 0
從圖1可以看出：R rsin 等于陰影三角形的面積
在一個運動周期內對方程 (1) 進行積分：ds
sT0
距離2米
(2) 或 T LL2m
這里s ab 是長半軸a、短半軸b的橢圓的面積。
在極坐標系下，橢圓軌道方程為[3]：
得到了S
(3)
1 生態
其中 e
是偏心率，e,P是常數
L2
P; G是萬有引力常數，M是太陽質量，E2
GMm 是地球的能量。
當0時，行星與日心之間的距離最小。 行星在橢圓軌道上距離日心最近的點稱為近日點。 近日點與日心之間的距離為： rmin
2次（忽略小角區域）。
；在橢圓軌道上行星距日心最遠的點是 1 e
p;
1e
設s表示陰影部分的面積，則
R rsin 2 s 所以 L 2mlim
t0
稱為遠日點，遠日點到日心的距離為：rmax
安全數據表 2m?? tdt
∴
dsL
常數 (1) dt2m
