開普勒第三定律的證明

劉偉勝

（唐山師范大學(xué)物理系，河北唐山）

摘要：行星在太陽的影響下沿著橢圓軌道運(yùn)行，行星相對于太陽的角動(dòng)量保持不變。因此，行星始終在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)開普勒三大定律證明，其運(yùn)行軌道為平面橢圓軌道。行星運(yùn)動(dòng)周期T的平方與其橢圓軌道半長軸a的立方之比為常數(shù)開普勒三大定律證明，即

T2 ka3。

關(guān)鍵詞：開普勒；軌道; 時(shí)期; 角動(dòng)量

CLC 分類號：O311.1 文件識別代碼：B 文章編號：1009-9115 (2004) 02-0056-02

開普勒第三定律的內(nèi)容是：行星運(yùn)動(dòng)周期T的平方與其橢圓軌道半長軸a的立方之比為常數(shù)，即T2=ka3，其中常數(shù)k為所有行星都一樣。下面證明該定律。

行星在太陽的影響下沿橢圓軌道運(yùn)行，行星相對于太陽的角動(dòng)量保持不變。因此，行星始終在平面上運(yùn)動(dòng)，其軌道是平面橢圓軌道。假設(shè)行星質(zhì)量為m，其軌道角動(dòng)量大小為：r

R rsin 博士

L mR sin mRsin mlim

DT TT 0

從圖1可以看出：R rsin 等于陰影三角形的面積

在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)對方程 (1) 進(jìn)行積分：ds

sT0

距離2米

(2) 或 T LL2m

這里s ab 是長半軸a、短半軸b的橢圓的面積。

在極坐標(biāo)系下，橢圓軌道方程為[3]：

得到了S

(3)

1 生態(tài)

其中 e

是偏心率，e,P是常數(shù)

P; G是萬有引力常數(shù)，M是太陽質(zhì)量，E2

GMm 是地球的能量。

當(dāng)0時(shí)，行星與日心之間的距離最小。行星在橢圓軌道上距離日心最近的點(diǎn)稱為近日點(diǎn)。近日點(diǎn)與日心之間的距離為： rmin

2次（忽略小角區(qū)域）。

；在橢圓軌道上行星距日心最遠(yuǎn)的點(diǎn)是 1 e

設(shè)s表示陰影部分的面積，則

R rsin 2 s 所以 L 2mlim

稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)，遠(yuǎn)日點(diǎn)到日心的距離為：rmax

安全數(shù)據(jù)表 2m?? tdt

∴

dsL

常數(shù) (1) dt2m

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開普勒三大定律證明（知識點(diǎn)）第26卷第2期

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