萬有引力定律及其應(yīng)用是Ⅱ級(jí)考點(diǎn)，難度中等，以選擇題為主。萬有引力定律是自然界最普遍的一條定律，高考命題中很少直接考查萬有引力的計(jì)算，但萬有引力提供向心力是分析幾乎所有天體運(yùn)動(dòng)類問題的根本依據(jù)，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重定律的理解及應(yīng)用。
從常考題型的角度來說，以人造衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)為背景，考查線速度、角速度、軌道半徑、周期、加速度等物理量的變化，求解中心天體的質(zhì)量和密度問題，也常涉及牛頓運(yùn)動(dòng)定律和開普勒地定律。

一、萬有引力定律的理解
1．內(nèi)容及公式：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比。
公式：F＝Gm1m2r2，其中G＝6.67×10－11N•m2/kg2，叫引力常量。引力常量G是卡文迪許通過扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的。
2．適用條件：適用于質(zhì)點(diǎn)（兩物體間的距離遠(yuǎn)大于每個(gè)物體的尺寸）、均勻介質(zhì)球體或球殼之間萬有引力的計(jì)算。
二、萬有引力和重力的區(qū)別及聯(lián)系
1．在地球表面上的物體
地球表面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)需要一個(gè)向心力，這個(gè)向心力是萬有引力的一個(gè)很小的分力（另外一個(gè)分力就是重力）提供的，如圖所示，萬有引力為F，重力為mg，自轉(zhuǎn)向心力為F向。當(dāng)然，真實(shí)情況不會(huì)有這么大偏差。

（1）物體在一般位置時(shí)F向=mrω2，r為自轉(zhuǎn)軌道圓半徑，r＜R，F(xiàn)向、F、mg不在一條直線上。
（2）當(dāng)物體在赤道上時(shí)，F(xiàn)向達(dá)到最大值F向max=mRω2，重力達(dá)到最小值，重力加速度達(dá)到最小值。
（3）當(dāng)物體在兩極時(shí)F向=0，mg=F，重力達(dá)到最大值，重力加速度達(dá)到最大值，。
總結(jié)：只有在兩極時(shí)重力才等于萬有引力，重力加速度達(dá)到最大值；其他位置時(shí)重力要略小于萬有引力；在赤道處的重力加速度最小，兩極處的重力加速度比赤道處大；但是由于自轉(zhuǎn)的角速度很小，需要的向心力很小。
黃金代換：計(jì)算題中，如果未提及地球的自轉(zhuǎn)，一般認(rèn)為重力近似等于萬有引力。即或者寫成GM=gR2，稱為“黃金代換”。
2．離開地球表面的物體
衛(wèi)星在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到地球的萬有引力作用，我們認(rèn)為衛(wèi)星所受到的引力就是衛(wèi)星在該處所受到的重力，，該處的重力加速度。這個(gè)值也是衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的值；衛(wèi)星及內(nèi)部物體處于完全失重狀態(tài)。（因?yàn)槿f有引力即重力完全提供向心力）
三、天體質(zhì)量和密度的計(jì)算
1．解決天體（衛(wèi)星）運(yùn)動(dòng)問題的基本思路
（1）天體運(yùn)動(dòng)的向心力來源于天體之間的萬有引力，即。
（2）在中心天體表面或附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力近似等于重力，即（g表示天體表面的重力加速度）。
（2）利用此關(guān)系可求行星表面重力加速度、軌道處重力加速度：
在行星表面重力加速度：，所以；
在離地面高為h的軌道處重力加速度：，得。
2．天體質(zhì)量和密度的計(jì)算
（1）利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R
由于，故天體質(zhì)量；
天體密度：；
（2）通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r
①由萬有引力等于向心力，即，得出中心天體質(zhì)量；
②若已知天體半徑R，則天體的平均密度；
③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度。可見，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度。
3．估算天體問題應(yīng)注意三點(diǎn)
（1）天體質(zhì)量估算中常有隱含條件，如地球的自轉(zhuǎn)周期為24 h，公轉(zhuǎn)周期為365天等；
（2）注意黃金代換式GM=gR2的應(yīng)用；
（3）注意密度公式的理解和應(yīng)用。
四、衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律
1．線速度v：由得，可見，r越大，v越小；r越小，v越大。
2．角速度ω：由得，可見，r越大，ω越小；r越小，ω越大。
3．周期T：由得，可見，r越大，T越大；r越小，T越小。
4．向心加速度an：由得，可見，r越大，an越小；r越小，an越大。
以上結(jié)論可總結(jié)為“一定四定，越遠(yuǎn)越慢”。

【2019•北京通州區(qū)檢測(cè)】萬有引力定律能夠很好地將天體運(yùn)行規(guī)律與地球上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來。用彈簧秤稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，引力常量為G，將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。下列說法正確的是
A．在北極地面稱量時(shí)，彈簧秤讀數(shù)為F0＝GMmR2
B．在赤道地面稱量時(shí)，彈簧秤讀數(shù)為F1＝GMmR2
C．在北極上空高出地面h處稱量時(shí)，彈簧秤讀數(shù)為F2＝GMm?R＋h?2
D．在赤道上空高出地面h處稱量時(shí)，彈簧秤讀數(shù)為F3＝GMm?R＋h?2
【參考答案】AC
【詳細(xì)解析】在北極地面稱量時(shí)，物體不隨地球自轉(zhuǎn)，萬有引力等于重力，則有F0＝GMmR2，故A正確；在赤道地面稱量時(shí)，萬有引力等于重力加上物體隨地球一起自轉(zhuǎn)所需要的向心力，則有F1<GMmR2，故B錯(cuò)誤；在北極上空高出地面h處稱量時(shí)，萬有引力等于重力，則有F2＝GMm?R＋h?2，故C正確；在赤道上空高出地面h處稱量時(shí)，萬有引力大于重力，彈簧秤讀數(shù)F3<GMm?R＋h?2，故D錯(cuò)誤。

1．【 2019•北京四中期末】（多選）質(zhì)量為m的小物塊靜止在赤道處，下列關(guān)于小物塊所受引力和重力的說法正確的是
A．小物塊所受重力的方向一定指向地心
B．小物塊所受引力的方向一定指向地心
C．若地球自轉(zhuǎn)加快，小物塊所受重力變小
D．若地球自轉(zhuǎn)加快，小物塊所受引力變小
【答案】ABC
【解析】A、重力的方向豎直向下，而赤道處豎直向下和指向地心重合；則赤道位置的重力指向地心；則A項(xiàng)符合題意；B、物體受到地球的萬有引力方向沿物體和地球的球心連線而指向地心；故B項(xiàng)符合題意；C、對(duì)赤道位置的物體分析可知，所受萬有引力產(chǎn)生兩分力效果，一是重力，二是自轉(zhuǎn)向心力，且三者的方向都指向地心，滿足：，則自轉(zhuǎn)加快即角速度增大，所需向心力變大，而引力不變，故重力變小；故C項(xiàng)符合題意；D、物體所受萬有引力大小，與自轉(zhuǎn)快慢無關(guān)，則地球自轉(zhuǎn)加快時(shí)小物塊所受的引力不變；故D項(xiàng)不合題意。

【2019•北京期末】地球半徑是R，地球表面的重力加速度是g，萬有引力常量是G。忽略地球自轉(zhuǎn)的影響。如認(rèn)為地球的質(zhì)量分布是均勻的，則地球的密度的表達(dá)式為
A．            B．            C．        D．
【參考答案】C
【詳細(xì)解析】地球表面重力與萬有引力相等有：，可得地球質(zhì)量為：，又地球的體積為：，所以地球的密度為：；C正確。

1．觀察“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月軌道上的運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)每經(jīng)時(shí)間t通過的弧長為l，該弧長對(duì)應(yīng)的圓心角為θ（弧度），如圖所示，已知引力常量為G，“嫦娥三號(hào)”的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道，由此可推導(dǎo)月球的質(zhì)量為

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】線速度為：；角速度為：；根據(jù)線速度和角速度的關(guān)系公式，有：v=ωr；衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：；聯(lián)立解得：M= ，故選A。
2．如圖所示，已知“神舟十一號(hào)”“天宮二號(hào)”對(duì)接后，組合體在時(shí)間t內(nèi)沿圓周軌道繞地球轉(zhuǎn)過的角度為θ，組合體軌道半徑為r，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)。則下列各量不能求出的是

A．地球的質(zhì)量
B．地球的平均密度
C．組合體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度
D．組合體受到地球的萬有引力
【答案】D
【解析】組合體在時(shí)間t內(nèi)沿圓周軌道繞地球轉(zhuǎn)過的角度為θ，則角速度為，根據(jù)萬有引力提供組合體的向心力，則，所以地球的質(zhì)量為，可知能求出地球的質(zhì)量M，故A能求出；不考慮地球的自轉(zhuǎn)時(shí)，物體在地球表面的重力等于地球?qū)M合體的萬有引力，則得，解得，則可以求出地球的半徑R，地球的密度為，可知能求出地球的平均密度，故B能求出；根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系，可知，可知可以求出組合體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，C能求出；由于不知道組合體的質(zhì)量，所以不能求出組合體受到的萬有引力，故D不能求出。

【2019•云南期末】我國計(jì)劃于2021年開展火星上軟著陸，以慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年。地球繞太陽運(yùn)行的半長軸比火星繞太陽運(yùn)行的半長軸小，下列說法正確的是
A．在相等的時(shí)間內(nèi)，地球與太陽的連線掃過的面積等于火星與太陽的連線掃過的面積
B．地球繞太陽運(yùn)行的周期比火星繞太陽運(yùn)行的周期大
C．地球繞太陽運(yùn)行的線速度比火星繞太陽運(yùn)行的線速度小
D．地球繞太陽運(yùn)行的角速度比火星繞太陽運(yùn)行的角速度大
【參考答案】D
【詳細(xì)解析】A．地球和火星繞太陽的軌道不同，在相等的時(shí)間內(nèi)，地球與太陽的連線掃過的面積并不等于火星與太陽的連線掃過的面積。故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。地球繞太陽運(yùn)行的半長軸比火星繞太陽運(yùn)行的半長軸小，所以地球繞太陽運(yùn)行的周期比火星繞太陽的周期小。故B錯(cuò)誤；C．把橢圓軌道近似看成是圓軌道，根據(jù) ，地球繞太陽運(yùn)行的半長軸比火星繞太陽運(yùn)行的半長軸小，可以推出地球繞太陽運(yùn)行的線速度比火星繞太陽運(yùn)行的線速度大。故C錯(cuò)誤；D．把橢圓軌道近似看成是圓軌道，根據(jù) ，地球繞太陽運(yùn)行的半長軸比火星繞太陽運(yùn)行的半長軸小，地球繞太陽運(yùn)行的角速度比火星繞太陽運(yùn)行的角速度大。故D正確；

1．（多選）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原地。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計(jì)。則
A．g′∶g＝1∶5   B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20   D．M星∶M地＝1∶80
【答案】AD
【解析】由速度變化的對(duì)稱性知豎直上拋的小球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝2v0g，5t＝2v0g′，因此得g′g＝t5t＝15，A正確，B錯(cuò)誤；由GMmR2＝mg得M＝gR2G，因此M星M地＝g′R星2gR地2＝15×142＝180，C錯(cuò)誤，D正確。
2．（多選）在一次探測(cè)慧星的活動(dòng)過程中，載著登陸艙的探測(cè)飛船總質(zhì)量為，在以慧星的中心為圓心、半徑為的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為，尋找到合適的著陸地點(diǎn)后，變軌到離慧星更近的半徑為的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為。登陸艙隨后脫離飛船開始登陸。下列說法正確的是
A．慧星的質(zhì)量
B．登陸艙在半徑為軌道上運(yùn)動(dòng)的周期
C．登陸艙在半徑為與半徑為的軌道上運(yùn)動(dòng)的向心加速度之比為
D．慧星表面的重力加速度
【答案】AB
【解析】A．根據(jù)萬有引力提供向心力，載著登陸艙的探測(cè)飛船總質(zhì)量為m1，在以彗星的中心為圓心、半徑為r1的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T1，可得月球的質(zhì)量，故A正確；B．根據(jù)開普勒第三定律，變軌到離彗星更近的半徑為r2的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，可得：，故B正確；C．根據(jù)萬有引力提供向心力可得，，所以登陸艙在半徑為r1與半徑為r2的軌道上運(yùn)動(dòng)的向心加速度之比為，故C錯(cuò)誤；D．根據(jù)萬有引力提供向心力，探測(cè)飛船在半徑為r1的圓軌道上的加速度，所以星球表面的重力加速度不等于，故D錯(cuò)誤。故選：AB。

【2019•安徽期末】北京時(shí)間2019年4月10日21點(diǎn)整，全世界的太空迷們翹首以盼，人類首張黑洞照片即將揭開神秘面紗。黑洞究竟長什么樣？物理和天文學(xué)者眼里的黑洞和普通人看到的有什么不一樣呢？如圖甲所示是M87星系中心的超大質(zhì)量黑洞的模擬圖像。中間的黑色區(qū)域是黑洞的剪影。人類首次發(fā)現(xiàn)的引力波就來源于距地球之外13億光年的兩個(gè)黑洞互相繞轉(zhuǎn)最后合并的過程。設(shè)兩個(gè)黑洞A、B繞其連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，黑洞A的質(zhì)量大于黑洞B的質(zhì)量，引力常量為G，則

A．黑洞A的軌道半徑大于黑洞B的軌道半徑
B．黑洞A的線速度一定大于黑洞B的線速度
C．若兩個(gè)黑洞間的距離為L，其運(yùn)動(dòng)周期為T，則兩個(gè)黑洞的總質(zhì)量為
D．隨著兩個(gè)黑洞間的距離L在減小，其運(yùn)動(dòng)的角速度在減小
【參考答案】B
【詳細(xì)解析】兩個(gè)黑洞A、B繞其連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由兩個(gè)黑洞A、B角速度相同，向心力由萬有引力提供，所以；解得；黑洞A的質(zhì)量大于黑洞B的質(zhì)量，所以，故A錯(cuò)誤；B、兩個(gè)黑洞A、B角速度相同，且，所以，故B錯(cuò)誤；C.角速度，由①式解得：兩個(gè)黑洞的總質(zhì)量；故C正確；D、解得：，所以隨著兩個(gè)黑洞間的距離L在減小，其運(yùn)動(dòng)的角速度在增大，故D錯(cuò)誤。
【名師點(diǎn)睛】本題考查萬有引力的應(yīng)用，題目較為新穎，在解題時(shí)要注意分析向心力的來源及題目中隱含的條件。

1．（多選）質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知月球的質(zhì)量為M，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的
A．線速度 B．角速度
C．運(yùn)行周期 D．向心加速度
【答案】AC
【解析】根據(jù)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)和萬有引力等于重力得出，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；故D錯(cuò)誤。

1．【2018•珠海市第二中學(xué)期中】關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律的建立過程，下列說法正確的是
A．第谷通過整理大量的天文觀測(cè)數(shù)據(jù)得到行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律
B．哥白尼提出了日心說并發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運(yùn)行的規(guī)律
C．開普勒通過總結(jié)論證，總結(jié)出了萬有引力定律。
D．卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室里通過幾個(gè)鉛球之間萬有引力的測(cè)量，測(cè)出了引力常量的數(shù)值
2．（多選）宇宙飛船繞地心做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，飛船艙內(nèi)有一質(zhì)量為m的人站在可稱體重的臺(tái)秤上，用R表示地球的半徑，g表示地球表面處的重力加速度，g0表示宇宙飛船所在處的地球引力加速度，N表示人對(duì)秤的壓力，則關(guān)于g0、N下面正確的是
A．        B． C．        D．N=0
3．【2019•上饒中學(xué)高三月考】將一質(zhì)量為m的物體分別放在地球的南、北兩極點(diǎn)時(shí)，該物體的重力均為mg0；將該物體放在地球赤道上時(shí)，該物體的重力為mg.假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，已知引力常量為G，則由以上信息可得出
A．地球的質(zhì)量為 B．地球自轉(zhuǎn)的周期為
C．地球的第一宇宙速度大小為 D．地球的平均密度
4．【2019•浙江高三期末】2018年12月8日2時(shí)23分我國自行研制的“嫦娥四號(hào)”無人探測(cè)器發(fā)射成功，開啟人類首次月球背面軟著陸探測(cè)之旅。若已知萬有引力常量G，那么在下列給出的各種情景中，能根據(jù)測(cè)量的數(shù)據(jù)估算月球密度的是
A．在月球表面釋放一個(gè)小球做自由落體運(yùn)動(dòng)測(cè)出下落高度H和時(shí)間t
B．觀察月球繞地球的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)出月球的直徑D和運(yùn)行周期T
C．“嫦娥四號(hào)”繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)出距月球表面的高度H和運(yùn)行周期T
D．“嫦娥四號(hào)”靠近月球表面繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)出運(yùn)行周期T
5．【2019•天津高三月考】（多選）近日，我國成功發(fā)射“嫦娥四號(hào)”探月衛(wèi)星，它將在月球背面著陸，主要任務(wù)是更深層次、更加全面的科學(xué)探測(cè)月球地貌、資源等方面的信息，完善月球檔案資料。現(xiàn)階段，“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星已進(jìn)入月球環(huán)繞軌道，軌道半徑為r，繞月周期為T。已知月球半徑為R，引力常量為G，據(jù)以上信息可得出
A．月球的質(zhì)量為
B．月球的平均密度為
C．月球表面的重力加速度為
D．月球的第一宇宙速度為
6．（多選）如圖所示，A、B兩衛(wèi)星繞地球運(yùn)行，運(yùn)動(dòng)方向相同，此時(shí)兩衛(wèi)星距離最近，其中A是地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r。地球可看成質(zhì)量均勻分布的球體，其半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T。若經(jīng)過時(shí)間t后，A、B第一次相距最遠(yuǎn)，下列說法正確的有

A．衛(wèi)星B的周期為
B．衛(wèi)星B的周期為
C．在地球兩極，地表重力加速度
D．由題目條件可以求出衛(wèi)星B的軌道半徑
7．【2019•重慶會(huì)考】（多選）我國航天事業(yè)取得了舉世矚目的成績，于2016年1月啟動(dòng)了火星探測(cè)計(jì)劃。火星質(zhì)量比地球質(zhì)量小，假設(shè)將來人類登上火星考察后，乘坐宇宙飛船離開火星時(shí)，經(jīng)歷了如圖所示的變軌過程：先將衛(wèi)星發(fā)射至圓形軌道Ⅰ，穩(wěn)定后經(jīng)短時(shí)點(diǎn)火使其沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)行，穩(wěn)定后經(jīng)再次短時(shí)點(diǎn)火使其沿橢圓軌道Ⅲ運(yùn)行，軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相切于P點(diǎn)，Q為軌道Ⅱ上離火星最遠(yuǎn)的點(diǎn)（如圖）。則當(dāng)飛船正常運(yùn)行時(shí)，下列說法正確的是

A．飛船以相同的軌道半徑繞火星和繞地球運(yùn)動(dòng)，其周期相同
B．飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的速度小于在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的速度
C．飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度大于經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度大小
D．飛船在軌道Ⅲ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度大于飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度大小
8．【2018•貴州省畢節(jié)市高一下學(xué)期期末考試】以下是某同學(xué)就有關(guān)月球的知識(shí)設(shè)計(jì)的兩個(gè)問題，現(xiàn)請(qǐng)你解答：
（1）若已知地球半徑為，地球表面的重力加速度為，月球繞地球運(yùn)動(dòng) 圈的時(shí)間為，且把月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）若未來某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間，小球向上運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)。已知月球半徑為R月，萬有引力常量為，試求出月球的質(zhì)量M月。

1．【2018•北京卷】若想檢驗(yàn)“使月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的情況下，需要驗(yàn)證
A．地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的1/602
B．月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果落向地面加速度的1/602
C．自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的1/6
D．蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的1/60
2．【2017•北京卷】利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計(jì)算出地球質(zhì)量的是
A．地球的半徑及重力加速度（不考慮地球自轉(zhuǎn)）
B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期
C．月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離
D．地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽間的距離
3．【2017•新課標(biāo)全國Ⅲ卷】2017年4月，我國成功發(fā)射的天舟一號(hào)貨運(yùn)飛船與天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室完成了首次交會(huì)對(duì)接，對(duì)接形成的組合體仍沿天宮二號(hào)原來的軌道（可視為圓軌道）運(yùn)行。與天宮二號(hào)單獨(dú)運(yùn)行時(shí)相比，組合體運(yùn)行的
A．周期變大 B．速率變大 C．動(dòng)能變大 D．向心加速度變大
4．【2019•新課標(biāo)全國Ⅲ卷】金星、地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運(yùn)行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金<R地<R火，由此可以判定
A．a(chǎn)金>a地>a火       B．a(chǎn)火>a地>a金       C．v地>v火>v金       D．v火>v地>v金
5．【2018•新課標(biāo)全國II卷】2018年2月，我國500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡（天眼）發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉(zhuǎn)周期T=5.19 ms，假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為
A．        B． C．        D．
6．【2019•新課標(biāo)全國Ⅱ卷】2019年1月，我國嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功在月球背面軟著陸，在探測(cè)器“奔向”月球的過程中，用h表示探測(cè)器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖像是

7．【2018•浙江新高考選考科目）土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”（如圖），每16天繞土星一周，其公轉(zhuǎn)軌道半徑約為1.2×106 km，已知引力常量G=6.67×10–11 N•m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為

A．5×1017 kg   B．5×1026 kg   C．7×1033 kg   D．4×1036 kg
8．【2018•天津卷】（多選）2018年2月2日，我國成功將電磁監(jiān)測(cè)試驗(yàn)衛(wèi)星“張衡一號(hào)”發(fā)射升空，標(biāo)志我國成為世界上少數(shù)擁有在軌運(yùn)行高精度地球物理場(chǎng)探測(cè)衛(wèi)星的國家之一。通過觀測(cè)可以得到衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期，并已知地球的半徑和地球表面的重力加速度。若將衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計(jì)算出衛(wèi)星的

A．密度       B．向心力的大小 C．離地高度       D．線速度的大小
9．【2019•新課標(biāo)全國Ⅰ卷】（多選）在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運(yùn)動(dòng)，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖中實(shí)線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a–x關(guān)系如圖中虛線所示，假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則

A．M與N的密度相等
B．Q的質(zhì)量是P的3倍
C．Q下落過程中的最大動(dòng)能是P的4倍
D．Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍

1．D   【解析】A.開普勒對(duì)天體的運(yùn)行做了多年的研究，最終得出了行星運(yùn)行三大定律，故A項(xiàng)不合題意；B.哥白尼提出了日心說，開普勒發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運(yùn)行的規(guī)，故B項(xiàng)不合題意；C.牛頓通過總結(jié)論證，總結(jié)出了萬引力定律，并通過比較月球公轉(zhuǎn)的周期，根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力，對(duì)萬有引力定律進(jìn)行了“月地檢驗(yàn)”，故C項(xiàng)不合題意；D.牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律之后，第一次通過實(shí)驗(yàn)比較準(zhǔn)確地測(cè)出萬有引力常量的科學(xué)家是卡文迪許，故D項(xiàng)符合題意。
2．BD   【解析】宇宙飛船繞地心做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，故飛船內(nèi)物體處于完全失重狀態(tài)，所以N=0，故C錯(cuò)誤，D正確；在地球表面，在飛船軌道處，聯(lián)立解得，故A錯(cuò)誤，B正確。
3．B   【解析】在兩極：，在赤道上：，A可得：；故A錯(cuò)誤；B.由①②可得，則周期；故B正確；C.地球的第一宇宙速度為，故C錯(cuò)誤；D.根據(jù)①可得GM=R2g0，即，解得地球的平均密度；故D錯(cuò)誤。
4．D   【解析】設(shè)月球質(zhì)量為M，半徑為R，月球表面重力加速度為g；A.小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有：H= gt2，故月球表面重力加速度g= ；根據(jù)月球表面物體的重力等于萬有引力，有： =mg，所以，月球質(zhì)量，月球的體積，解得月球的密．由于月球半徑R未知，故月球的密度無法求解；故A錯(cuò)誤。B.觀察月球繞地球的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)出月球的運(yùn)行周期T，如再加上月球的軌道半徑，能求出地球的質(zhì)量，不能求出月球的質(zhì)量，因而也求不出月球的密度；故D錯(cuò)誤；C.“嫦娥四號(hào)”在高空繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力等于向心力得，由于R未知，求不出月球的質(zhì)量，因而也求不出月球的密度；故C錯(cuò)誤；D.“嫦娥四號(hào)”貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力等于向心力得，得，月球的密度，已知G和T，所以可以求出月球的密度；故D正確。
5．AC   【解析】A、探測(cè)器繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力有：，解得月球的質(zhì)量，故A正確；B、月球的平均密度，其中，解得：，故B錯(cuò)誤；C、在月球表面，有：，解得月球的質(zhì)量M，可得：，故C正確；D、根據(jù)公式，可知月球的第一宇宙速度，聯(lián)立解得：，故D錯(cuò)誤。
6．CD   【解析】設(shè)衛(wèi)星B的周期為TB，由題意有：，解得：，AB錯(cuò)誤；在兩極時(shí)，萬有引力等于重力，則：，對(duì)地球同步衛(wèi)星有：，所以：，C正確；由開普勒第三定律：，r、T已知，TB以求出，所以rB，可求，且，D正確；故選CD。
7．BC   【解析】A、飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，得：，解得周期，因?yàn)榛鹦桥c地球的質(zhì)量不相等，所以飛船以相同的軌道半徑繞火星和繞地球運(yùn)動(dòng)，其周期不相同，故A錯(cuò)誤；B、飛船從軌道Ⅱ到軌道I時(shí)做向心運(yùn)動(dòng)，所以要減速，所以飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的速度小于在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的速度，故B正確；C、根據(jù)開普勒第二定律可知，在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度大于經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度大小，故C正確；D、不管在那個(gè)軌道上飛船在P點(diǎn)受到的萬有引力是相等的，為飛船提供加速度，所以加速度相等，故D錯(cuò)誤。
8．（1）（2）
【解析】（1）月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為
對(duì)月球，根據(jù)萬有引力定律和向心力公式：
對(duì)地球表處某一物體，
解得：
（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為，根據(jù)題意
對(duì)月球表面處某一物體：
解得

1．B   【解析】A、設(shè)月球質(zhì)量為M月，地球質(zhì)量為M，蘋果質(zhì)量為m，則月球受到的萬有引力為：，蘋果受到的萬有引力為：，由于月球質(zhì)量和蘋果質(zhì)量之間的關(guān)系未知，故二者之間萬有引力的關(guān)系無法確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、根據(jù)牛頓第二定律：，，整理可以得到：，故選項(xiàng)B正確；C、在月球表面處：，由于月球本身的半徑大小未知，故無法求出月球表面和地面表面重力加速度的關(guān)系，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D、蘋果在月球表面受到引力為：，由于月球本身的半徑大小未知，故無法求出蘋果在月球表面受到的引力與地球表面引力之間的關(guān)系，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
2．D   【解析】在地球表面附近，在不考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，物體所受重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，有，可得，A能求出地球質(zhì)量。根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星、月球、地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由，，解得；由，解得；由，會(huì)消去兩邊的M；故BC能求出地球質(zhì)量，D不能求出。
3．C   【解析】根據(jù)萬有引力提供向心力有，可得周期，速率，向心加速度，對(duì)接前后，軌道半徑不變，則周期、速率、向心加速度均不變，質(zhì)量變大，則動(dòng)能變大，C正確，ABD錯(cuò)誤。
4．A   【解析】由萬有引力提供向心力可知軌道半徑越小，向心加速度越大，故知A項(xiàng)正確，B錯(cuò)誤；由得可知軌道半徑越小，運(yùn)行速率越大，故C、D都錯(cuò)誤。
5．C   【解析】在天體中萬有引力提供向心力，即，天體的密度公式，結(jié)合這兩個(gè)公式求解。設(shè)脈沖星值量為M，密度為，根據(jù)天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：，，代入可得：，故C正確；故選C。
6．D   【解析】根據(jù)萬有引力定律可得：，h越大，F(xiàn)越大，故選項(xiàng)D符合題意。
7．B   【解析】衛(wèi)星繞土星運(yùn)動(dòng)，土星的引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力設(shè)土星質(zhì)量為M：
，解得，代入計(jì)算可得：，故B正確，ACD錯(cuò)誤；故選B。
8．CD   【解析】根據(jù)題意，已知衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期T，地球的半徑R，地球表面的重力加速度g，衛(wèi)星受到的外有引力充當(dāng)向心力，故有，衛(wèi)星的質(zhì)量被抵消，則不能計(jì)算衛(wèi)星的密度，更不能計(jì)算衛(wèi)星的向心力大小，AB錯(cuò)誤；由，解得，而r=R+h，故可計(jì)算衛(wèi)星距離地球表面的高度，C正確；根據(jù)公式，軌道半徑可以求出，周期已知，故可以計(jì)算出衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度，D正確。
9．AC   【解析】由a–x圖象可知，加速度沿豎直向下方向?yàn)檎较颍鶕?jù)牛頓第二定律有：，變形式為：，該圖象的斜率為，縱軸截距為重力加速度。根據(jù)圖象的縱軸截距可知，兩星球表面的重力加速度之比為：；又因?yàn)樵谀承乔虮砻嫔系奈矬w，所受重力和萬有引力相等，即：，即該星球的質(zhì)量。又因?yàn)椋?，聯(lián)立得。故兩星球的密度之比為：，故A正確；當(dāng)物體在彈簧上運(yùn)動(dòng)過程中，加速度為0的一瞬間，其所受彈力和重力二力平衡，，即：；結(jié)合a–x圖象可知，當(dāng)物體P和物體Q分別處于平衡位置時(shí)，彈簧的壓縮量之比為：，故物體P和物體Q的質(zhì)量之比為：，故B錯(cuò)誤；物體P和物體Q分別處于各自的平衡位置（a=0）時(shí)，它們的動(dòng)能最大；根據(jù) ，結(jié)合a–x圖象面積的物理意義可知：物體P的最大速度滿足，物體Q的最大速度滿足：，則兩物體的最大動(dòng)能之比：，C正確；物體P和物體Q分別在彈簧上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由平衡位置（a=0）可知，物體P和Q振動(dòng)的振幅A分別為和，即物體P所在彈簧最大壓縮量為2 ，物體Q所在彈簧最大壓縮量為4 ，則Q下落過程中，彈簧最大壓縮量時(shí)P物體最大壓縮量的2倍，D錯(cuò)誤；故本題選AC。

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萬有引力定律及其應(yīng)用考點(diǎn)及考情分析

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