一、曲線運動
1．曲線運動
（1）速度的方向：質點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向。
（2）運動的性質：做曲線運動的物體，速度的方向時刻在改變，所以曲線運動一定是變速運動。
（3）曲線運動的條件：物體所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一條直線上或它的加速度方向與速度方向不在同一條直線上。
2．物體做曲線運動的條件及軌跡分析
（1）條件
①因為速度時刻在變，所以一定存在加速度；
②物體受到的合外力與初速度不共線。
（2）合外力方向與軌跡的關系
物體做曲線運動的軌跡一定夾在合外力方向與速度方向之間，速度方向與軌跡相切，合外力方向指向曲線的“凹”側。
（3）速率變化情況判斷
①當合外力方向與速度方向的夾角為銳角時，物體的速率增大；
②當合外力方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體的速率減小；
③當合外力方向與速度方向垂直時，物體的速率不變。
3．做曲線運動的規律小結：
（1）合外力或加速度指向軌跡的“凹”（內）側。
（2）曲線的軌跡不會出現急折，只能平滑變化，且與速度方向相切。
二、運動的合成與分解
1．基本概念
（1）運動的合成：已知分運動求合運動。
（2）運動的分解：已知合運動求分運動。

2．分解原則：根據運動的實際效果分解，也可采用正交分解。
3．遵循的規律
位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵循平行四邊形定則。
4．合運動與分運動的關系
（1）等時性合運動和分運動經歷的時間相等，即同時開始、同時進行、同時停止。
（2）獨立性一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，不受其他運動的影響。
（3）等效性各分運動的規律疊加起來與合運動的規律有完全相同的效果。
5．運動的合成及性質
（1）運動的合成與分解的運算法則
運動的合成與分解是指描述運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們均是矢量，故合成與分解都遵循平行四邊形定則。
（2）合運動的性質判斷

（3）兩個直線運動的合運動性質的判斷
根據合加速度方向與合初速度方向判定合運動是直線運動還是曲線運動，具體分以下幾種情況：
兩個互成角度的分運動   合運動的性質
兩個勻速直線運動   勻速直線運動
一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動   勻變速曲線運動
兩個初速度為零的勻加速直線運動   勻加速直線運動
兩個初速度不為零的勻變速直線運動   如果v合與a合共線，為勻變速直線運動
   如果v合與a合不共線，為勻變速曲線運動
6．合運動與分運動的關系
（1）運動的獨立性
一個物體同時參與兩個（或多個）運動，其中的任何一個運動并不會受其他分運動的干擾，而保持其運動性質不變，這就是運動的獨立性原理。雖然各分運動互不干擾，但是它們共同決定合運動的性質和軌跡。
（2）運動的等時性
各個分運動與合運動總是同時開始，同時結束，經歷時間相等（不同時的運動不能合成）。
（3）運動的等效性
各分運動疊加起來與合運動有相同的效果。
7．運動的合成與分解的運算法則
運動的合成與分解是指描述運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們均是矢量，故合成與分解都遵守平行四邊形定則。
8．運動的合成與分解兩個典型模型
（1）小船渡河模型
在運動的合成與分解問題中，兩個勻速直線運動的合運動仍是勻速直線運動，其中一個速度大小和方向都不變，另一個速度大小不變，方向在180°范圍內（在速度不變的分運動所在直線的一側）變化。我們對合運動或分運動的速度、時間、位移等問題進行研究。這樣的運動系統可看作“小船渡河模型”。
模型特點：
①船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。
②三種速度：v船（船在靜水中的速度）、v水（水的流速）、v合（船的實際速度）。
③兩個極值
A．過河時間最短：v船⊥v水，tmin= （d為河寬）。
B．過河位移最小：v合⊥v水（前提v船>v水），如圖甲所示，此時xmin=d船頭指向上游與河岸夾角為α。cos α= ；v船⊥v合（前提v船<v水），如圖乙所示。過河最小位移為xmin=

（2）繩（桿）端速度分解模型
①模型特點
沿繩（或桿）方向的速度分量大小相等。
②思路與方法
合運動→繩拉物體的實際運動速度v
分運動→
方法：v1與v2的合成遵循平行四邊形定則。
9．小船過河模型
（1）分析思路

（2）解決這類問題的關鍵
①正確區分分運動和合運動，船的航行方向也就是船頭指向，是分運動。船的運動方向也就是船的實際運動方向，是合運動，一般情況下與船頭指向不一致。
②運動分解的基本方法，按實際效果分解，一般用平行四邊形定則按水流方向和船頭指向分解。
③渡河時間只與垂直河岸的船的分速度有關，與水流速度無關。
④求最短渡河位移時，根據船速v船與水流速度v水的大小情況用三角形法則求極值的方法處理。
10．對繩端速度合成與分解的方法：
（1）物體的實際運動一定是合運動。
（2）繩端速度可分解為沿繩方向的速度和垂直于繩方向的速度。

如圖為某質點從A點到E點做勻變速曲線運動的軌跡示意圖，該質點運動到D點時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，則該質點

A．經過C點時的速率比D點的大
B．經過D點時的加速度比B點的大
C．經過B點和E點時的速率可能相等
D．從B點運動到E點的過程中合外力先做正功再做負功
【參考答案】A
【詳細解析】由題意，質點運動到D點時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，速度沿D點軌跡的切線方向，則知加速度方向向上，合外力也向上，質點做勻變速曲線運動，合外力恒定不變，質點由C到D過程中，合外力做負功，由動能定理可得，C點的速度比D點速度大，故A正確；質點做勻變速曲線運動，則有加速度不變，所以質點經過D點時的加速度與B點相同，故B錯誤；從B點到E點的整個過程中，合力做負功，則動能減小，速度減小。即經過B點和E點時的速率不相等，選項C錯誤；從B點運動到E點的過程中合外力先做負功再做正功，選項D錯誤。

1．（2019•四川高一期末）已知物體運動初速度v0的方向和它所受恒定合外力F的方向，下圖中a、b、c、d表示物體運動的軌跡，其中可能正確的是
A．    B．
C．        D．
【答案】B
【解析】受力與速度不在一條直線上，物體做曲線運動，軌跡為曲線，A錯誤。曲線運動的軌跡彎向合力方向，B正確。曲線運動的速度方向是軌跡的切線，C錯誤。曲線運動的軌跡彎向合力方向，D錯誤。

如圖所示是一種健身器材的簡化圖，一根不可伸長的足夠長輕繩跨過兩個定滑輪連接兩個質量均為的重物。兩側滑輪等高，以速度豎直向下勻速拉動繩的中點，當滑輪中間兩段繩的夾角為時，下列說法正確的是

A．重物的速度大小為
B．重物的速度大小為
C．重物正在勻速上升
D．重物正在減速上升
【參考答案】B
【詳細解析】根據運動的合成與分解規律可知，一根不可伸長的輕繩的兩端點速度在沿繩方向上的分量相等(正交分解)，那么重物的速度大小，選項錯誤，正確；設滑輪中間兩段繩夾角為，則重物的速度滿足，減小，增大，則重物正在加速上升，選項錯誤。

1．（2019•云南省云天化中學高一期末）如圖所示，有一豎直放置的“T”形架，表面光滑，滑塊A、B分別套在水平桿與豎直桿上，A、B用一不可伸長的輕細繩相連，A、B質量相等，且可看作質點，開始時細繩水平伸直，A、B靜止．由靜止釋放B后，已知當滑塊B沿著豎直桿下滑的速度大小為，A的速度大小為v，則細繩與豎直方向的夾角為為

A．60°   B．30°   C．45°   D．無法確定
【答案】A
【解析】將A、B的速度分解為沿繩的方向和垂直于繩子的方向，兩物體沿繩子方向的速度相等，有：vBcosα=vAcos（90°–α）解得α=60°，故選A。

1．（2019•北京高一期末）如圖所示，在光滑水平桌面上，小鐵球沿直線向右運動。若在桌面A處放一塊磁鐵，關于小球的運動下列說法正確的是

A．小鐵球做勻速直線運動
B．小鐵球做勻速圓周運動
C．小鐵球做勻加速直線運動
D．小鐵球做變加速曲線運動
2．在一次抗洪救災工作中，一架直升機A用長H=50 m的懸索（重力可忽略不計）系住傷員B，直升機A和傷員B一起在水平方向上以v0=10 m/s的速度勻速運動的同時，懸索在豎直方向上勻速上拉，如圖所示。在將傷員拉到直升機的時間內，A、B之間的豎直距離以L=50–5t（單位：m）的規律變化，則

A．傷員經過5 s時間被拉到直升機內
B．傷員經過10 s時間被拉到直升機內
C．傷員的運動速度大小為5 m/s
D．傷員的運動速度大小為10 m/s
3．（2019•六盤水市第七中學高三月考）如圖，在不計滑輪摩擦和繩子質量的條件下，當小車以速度勻速向右運動當小車運動到與水平面夾角為時，下列關于物體A說法正確的是

A．物體A此時的速度大小為，物體A做減速運動，繩子拉力小于物體重力
B．物體A此時的速度大小為，物體A做加速運動，繩子拉力大于物體重力
C．物體A此時的速度大小為，物體A做減速運動，繩子拉力小于物體重力
D．物體A此時的速度大小為，物體A做加速運動，繩子拉力大于物體重力
4．如圖所示的曲線是某個質點在恒力作用下的一段運動軌跡．質點從M點出發經P點到達N點，已知弧長MP大于弧長PN，質點由M點運動到P點與從P點運動到N點的時間相等．下列說法中正確的是

A．質點從M點到N過程中速度大小保持不變
B．質點在這兩段時間內的速度變化量大小相等，方向相同
C．質點在這兩段時間內的速度變化量大小不相等，但方向相同
D．質點在MN間的運動不是勻變速運動
5．（2019•云南省云天化中學高一期末）在距河面高度h＝20 m的岸上有人用長繩拴住一條小船，開始時繩與水面的夾角為30°，人以恒定的速率v＝3 m/s拉繩，使小船靠岸，那么

A．5 s時繩與水面的夾角為60°
B．5 s時小船前進了15 m
C．5 s時小船的速率為5 m/s
D．若小船質量為20 kg，則5 s內物體的動能變化量為130 J
6．（2019•湖南高二期末）如圖所示，在光滑水平面內建立一直角坐標系xOy，一質量m=1 kg的小球以1 m/s的初速度沿x軸正向做勻速直線運動。小球經過坐標原點O時（此時t=0），撤去沿y軸負方向，大小F=1 N的恒力，保持其他力不變。在t=0時刻之后，關于小球的運動，下列說法正確的是

A．做勻變速曲線運動
B．在任意相等的時間內，小球的速度變化相同
C．經過x、y坐標相同位置時所用的時間為1 s
D．在t=1 s時，小球的動能為1 J

7．（2018•北京卷）根據高中所學知識可知，做自由落體運動的小球，將落在正下方位置。但實際上，赤道上方200 m處無初速下落的小球將落在正下方位置偏東約6 cm處，這一現象可解釋為，除重力外，由于地球自轉，下落過程小球還受到一個水平向東的“力”，該“力”與豎直方向的速度大小成正比，現將小球從赤道地面豎直上拋，考慮對稱性，上升過程該“力”水平向西，則小球
A．到最高點時，水平方向的加速度和速度均為零
B．到最高點時，水平方向的加速度和速度均不為零
C．落地點在拋出點東側
D．落地點在拋出點西側
8．（2015•全國新課標Ⅱ卷）由于衛星的發射場不在赤道上，同步衛星發射后需要從轉移軌道經過調整再進入地球同步軌道。當衛星在轉移軌道上飛經赤道上空時，發動機點火，給衛星一附加速度，使衛星沿同步軌道運行。已知同步衛星的環繞速度約為3.1×103 m/s，某次發射衛星飛經赤道上空時的速度為1.55×103 m/s，此時衛星的高度與同步軌道的高度相同，轉移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖所示，發動機給衛星的附加速度的方向和大小約為

A．西偏北方向，1.9×103 m/s B．東偏南方向，1.9×103 m/s
C．西偏北方向，2.7×103 m/s D．東偏南方向，2.7×103 m/s
9．（2015•廣東卷）如圖所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向運動，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板為參照物

A．帆船朝正東方向航行，速度大小為v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小為v
C．帆船朝南偏東45°方向航行，速度大小為 v
D．帆船朝北偏東45°方向航行，速度大小為 v

1．D【解析】磁鐵放在A處時，合力與速度不共線，故小鋼球向磁鐵一側偏轉，但不是勻速圓周運動，選項ABC錯誤；磁力大小與距離有關，故小球的加速度是變化的，故小球做變加速曲線運動，選項D正確。
2．B【解析】根據L=50–5t可知直升飛機以5 m/s向上做勻速直線運動，AB間距離為零時，拉到飛機內，則0=50–5t，計算可得t=10 s，傷員經過10 s時間被拉到直升機內，A錯B對。傷員的運動速度等于水平速度和豎直速度的合速度，即為，CD錯誤。故應該選B。
3．B【解析】小車沿繩子方向的速度等于A的速度，設繩子與水平方向的夾角為θ，根據平行四邊形定則，物體A的速度vA=vcosθ；小車勻速向右運動時，θ減小，則A的速度增大，所以A加速上升，加速度方向向上，根據牛頓第二定律有：T–GA=mAa，知拉力大于重力。故B正確，ACD錯誤。

4．B【解析】從M到N過程中，根據，可知，速度大小變化，故A錯誤；因加速度不變，則質點在這兩段時間內的速度變化量大小相等，方向相同，故B正確，C錯誤；在MN間的運動是勻變速曲線運動，故D錯誤。
5．CD【解析】由幾何關系可知，開始時河面上的繩長為；此時船離岸的距離x1=20 m；5 s后，繩子向左移動了vt=15 m，則河面上繩長為40 m–15 m=25 m；則此時小船離河邊的距離為：x2= =15m，5 s時繩與水面的夾角為α，則有：，解得：α=53°，故A錯誤；5 s時刻小船前進的距離為：x=20 m–15 m=19.6 m，故B錯誤；船的速度為合速度，由繩收縮的速度及繩擺動的速度合成得出，則由幾何關系可知，cosθ=0.6，則船速v船= =5m/s，故C正確；開始時船的速度，5 s內船的動能變化量，選項D正確。

6．ABD【解析】撤去沿y軸負方向，大小F=1 N的恒力，保持其他力不變，可知小球所受的合力沿y軸正向且合力恒定，小球的加速度恒定不變，且與初速度垂直，可知小球做勻變速曲線運動，選項A正確；因加速度不變，則根據?v=at可知在任意相等的時間內，小球的速度變化相同，選項B正確；小球沿y軸正向的加速度為，則，x方向：x=v0t，則當x=y時解得t=2 s，選項C錯誤；在t=1 s時，vy=at=1 m/s，則此時小球的速度，則小球的動能為，選項D正確.
7．D【解析】上升過程水平方向向西加速，在最高點豎直方向上速度為零，水平方向上有向西的水平速度，且有豎直向下的加速度，故AB錯；下降過程向西減速，按照對稱性落至地面時水平速度為0，整個過程都在向西運動，所以落點在拋出點的西側，故C錯，D正確。
8．B【解析】如下圖所示，由余弦定理，可知，方向：東偏南方向，故B正確，ACD錯誤。

9．D【解析】若以帆板為參照物，求帆船的運動，即求帆船相對帆板運動情況，根據伽利略變換可知，此時帆船相對帆板的速度 = – ，畫出其對應矢量示意圖如下圖所示，根據圖中幾何關系解得： = ，方向為北偏東45°，故選項D正確。

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曲線運動考點及考情分析

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