流體動力學(xué)基本方程”是將質(zhì)量、動量和能量守恒定律用于流體運動所得到的聯(lián)系流體速度、壓力、密度和溫度等物理量的關(guān)系式。對于系統(tǒng)和控制體都可以建立流體動力學(xué)基本方程。系統(tǒng)是確定不變的物質(zhì)的組合；而控制體是相對于某一坐標(biāo)系固定不變的空間體積，它的邊界面稱為控制面。流體動力學(xué)中討論的基本方程多數(shù)是對控制體建立的。固定流體微元內(nèi)質(zhì)量變化率=流體從笛卡爾坐標(biāo)三個方向流出量

因此可得：

質(zhì)量變化率:

則：

連續(xù)性方程：

用散度表示則可得到：

對于不可壓縮流體，其密度為一常數(shù)，因此可以得到：

動量方程（納維-斯托克斯方程）

根據(jù)牛頓第二定律可以得出：F=ma；

因此：對于流體微元：

方程式的左邊：F=表面力+體積力

方程式的右邊，當(dāng)僅考慮x方向的作用力時：

回到方程式的左邊：

體積力可以表示為：

表面力可以表示為流體微元在x方向所有正應(yīng)力和切應(yīng)力之和，其表達(dá)式如下所示：

整理可得：

將體積力表達(dá)式、表面力表達(dá)式和方程右邊表達(dá)式帶入牛頓第二定律表達(dá)式中可得：

化簡可得：

同理可得y方向和z方向的兩個方程：

因此可以得到動量守恒方程的非守恒形式：

//注釋：

所謂守恒形式和非守恒形式的區(qū)別如下：

如果方程可以寫成控制方程通用形式：，即其對流項均采用散度形式表示的形式，這種控制方程的形式稱為控制方程的守恒形式，這種方程稱為守恒型的控制方程。從微元體的角度考慮，守恒型控制方程等價于非守恒型控制方程，但是在計算一些特殊流場時，守恒型方程和非守恒型控制方程有較大的區(qū)別。根據(jù)《數(shù)值傳熱學(xué)》的描述，在計算激波時，守恒型方程計算結(jié)果光滑而穩(wěn)定，而非守恒型控制方程會引起數(shù)值計算結(jié)果的震蕩，造成錯誤。并且只有守恒型控制方程才能在計算有限大小控制容積內(nèi)部所研究的物理量時守恒定律仍然得到滿足。（總結(jié)自陶文銓《數(shù)值傳熱學(xué)》（第二版））

因此，需要通過上述方程繼續(xù)推導(dǎo)方程的守恒形式：

以x方向為例：

根據(jù)：

可得：

將該式子帶入上式子：

根據(jù)標(biāo)量與向量的乘積的散度的向量恒等式：

將該式子帶入非守恒動量方程表達(dá)式得：

同理可得：

因此方程的守恒形式為:

能量守恒方程：

能量守恒方程可以表示為如下形式：

流體微團內(nèi)能變化率=流入微團的凈熱流量+體積力和表面力對流體微團的做功的功率

因此，體積力和表面力對流體微團的做功的功率可以表示為：P=Fv

根據(jù)動量守恒方程中體積力的描述：體積力=

體積力對流體微元的做功可以表示為：

根據(jù)動量守恒方程中表面力的描述：

根據(jù)表面力做功的功率為：

體積力和表面力做功之和為：

流入微團的凈熱流量：

微團的體積加熱為：

熱傳導(dǎo)引起的熱量變化為：

流入微團的凈熱流量=

根據(jù)傅里葉熱傳導(dǎo)定律：

流體微團內(nèi)能變化率=

能量守恒方程非守恒形式：

根據(jù)動量守恒方程：

可得：

整理得：

將上式子代入

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流體力學(xué)能量守恒公式？

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