流體動(dòng)力學(xué)基本方程”是將質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒定律用于流體運(yùn)動(dòng)所得到的聯(lián)系流體速度、壓力、密度和溫度等物理量的關(guān)系式。對(duì)于系統(tǒng)和控制體都可以建立流體動(dòng)力學(xué)基本方程。系統(tǒng)是確定不變的物質(zhì)的組合；而控制體是相對(duì)于某一坐標(biāo)系固定不變的空間體積，它的邊界面稱為控制面。流體動(dòng)力學(xué)中討論的基本方程多數(shù)是對(duì)控制體建立的。固定流體微元內(nèi)質(zhì)量變化率=流體從笛卡爾坐標(biāo)三個(gè)方向流出量
因此可得：
質(zhì)量變化率:
則：
連續(xù)性方程：
用散度表示則可得到：
對(duì)于不可壓縮流體，其密度為一常數(shù)，因此可以得到：
動(dòng)量方程（納維-斯托克斯方程）
根據(jù)牛頓第二定律可以得出：F=ma；
因此：對(duì)于流體微元：
方程式的左邊：F=表面力+體積力
方程式的右邊，當(dāng)僅考慮x方向的作用力時(shí)：
回到方程式的左邊：
體積力可以表示為：
表面力可以表示為流體微元在x方向所有正應(yīng)力和切應(yīng)力之和，其表達(dá)式如下所示：
整理可得：
將體積力表達(dá)式、表面力表達(dá)式和方程右邊表達(dá)式帶入牛頓第二定律表達(dá)式中可得：
化簡(jiǎn)可得：
同理可得y方向和z方向的兩個(gè)方程：
因此可以得到動(dòng)量守恒方程的非守恒形式：
//注釋：
所謂守恒形式和非守恒形式的區(qū)別如下：
如果方程可以寫成控制方程通用形式：，即其對(duì)流項(xiàng)均采用散度形式表示的形式，這種控制方程的形式稱為控制方程的守恒形式，這種方程稱為守恒型的控制方程。從微元體的角度考慮，守恒型控制方程等價(jià)于非守恒型控制方程，但是在計(jì)算一些特殊流場(chǎng)時(shí)，守恒型方程和非守恒型控制方程有較大的區(qū)別。根據(jù)《數(shù)值傳熱學(xué)》的描述，在計(jì)算激波時(shí)，守恒型方程計(jì)算結(jié)果光滑而穩(wěn)定，而非守恒型控制方程會(huì)引起數(shù)值計(jì)算結(jié)果的震蕩，造成錯(cuò)誤。并且只有守恒型控制方程才能在計(jì)算有限大小控制容積內(nèi)部所研究的物理量時(shí)守恒定律仍然得到滿足。（總結(jié)自陶文銓《數(shù)值傳熱學(xué)》（第二版））
因此，需要通過上述方程繼續(xù)推導(dǎo)方程的守恒形式：
以x方向?yàn)槔?span style="display:none">Lmh物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
根據(jù)：
可得：
將該式子帶入上式子：
根據(jù)標(biāo)量與向量的乘積的散度的向量恒等式：
將該式子帶入非守恒動(dòng)量方程表達(dá)式得：
同理可得：
因此方程的守恒形式為:
能量守恒方程：
能量守恒方程可以表示為如下形式：
流體微團(tuán)內(nèi)能變化率=流入微團(tuán)的凈熱流量+體積力和表面力對(duì)流體微團(tuán)的做功的功率
因此，體積力和表面力對(duì)流體微團(tuán)的做功的功率可以表示為：P=Fv
根據(jù)動(dòng)量守恒方程中體積力的描述：體積力=
體積力對(duì)流體微元的做功可以表示為：
根據(jù)動(dòng)量守恒方程中表面力的描述：
根據(jù)表面力做功的功率為：
體積力和表面力做功之和為：
流入微團(tuán)的凈熱流量：
微團(tuán)的體積加熱為：
熱傳導(dǎo)引起的熱量變化為：
流入微團(tuán)的凈熱流量=
根據(jù)傅里葉熱傳導(dǎo)定律：
流體微團(tuán)內(nèi)能變化率=
能量守恒方程非守恒形式：
根據(jù)動(dòng)量守恒方程：
可得：
整理得：
將上式子代入