(1上海交通科技大學(xué))
（2 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)研究所）
(3上海市教育科學(xué)研究院)
本文選自《物理》2021年第3期
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育以經(jīng)典化學(xué)為主，其主要內(nèi)容與當(dāng)代數(shù)學(xué)前沿相去甚遠(yuǎn)。 因此，在大多數(shù)人的心目中，還原論范式等同于數(shù)學(xué)的基本范式和唯一范式。 但是，大量的實(shí)驗(yàn)證明，在不同的尺度和層次上確實(shí)存在一些新的性質(zhì)和新的規(guī)律。 以進(jìn)化論范式探索新規(guī)律，是未來(lái)數(shù)學(xué)前沿探索的重要方向，對(duì)于加深對(duì)世界的認(rèn)識(shí)具有重要意義。 因此，了解還原論和進(jìn)化論兩種范式的異同經(jīng)典物理指什么，并在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用合適的范式，將為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究化學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。
01
前言
近年來(lái)，由于媒體和公眾對(duì)超導(dǎo)、芯片等話(huà)題的關(guān)注，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要分支的“凝聚態(tài)數(shù)學(xué)”廣為人知。 而且，在深入理解和學(xué)習(xí)的過(guò)程中，很多人發(fā)現(xiàn)有很多概念是人們無(wú)法理解的，比如聲子，在標(biāo)準(zhǔn)模型中是找不到的。 它們到底是什么？ 它由哪些基本粒子組成？ 太奇妙了。
產(chǎn)生這些質(zhì)疑的主要原因是思維方式仍停留在經(jīng)典數(shù)學(xué)的“還原論”()框架下。 然而，對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題，收斂化學(xué)中的各種“元爆發(fā)”、相變問(wèn)題中的“自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺”等，許多數(shù)學(xué)理論早已跳出了還原論范式1)，采用了所謂的“進(jìn)化論”的新范式（）。 基于進(jìn)化論的概念和理論仍然被還原論者看待并不奇怪，它們被誤解或被認(rèn)為不可理解也就不足為奇了。
02
還原論范式
大多數(shù)人從小學(xué)到大學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)，體系背后都有這樣一個(gè)基本思想：在我們生活的這個(gè)世界上，千奇百怪的事物歸根結(jié)底都是由一些“基本單位”組成的。 在一套“基本法則”的約束下，形成了各種錯(cuò)綜復(fù)雜的自然現(xiàn)象。 只要追根溯源，找到構(gòu)成世界的基本單位和制約它們的基本規(guī)律，就可以通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推演和精確的物理估算，建立一個(gè)準(zhǔn)確完整地描述世界規(guī)律的體系，并成就了包羅萬(wàn)象的“萬(wàn)物之理”（of）。 簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是“先把復(fù)雜化簡(jiǎn)為簡(jiǎn)單，再由簡(jiǎn)單重建復(fù)雜”[1]，這就是所謂“還原論”的基本范式。
還原論是數(shù)學(xué)完善和發(fā)展過(guò)程中的主流范式，也取得了輝煌的成就。 我們把宏觀(guān)物體看作是由分子和原子組成的集合體，它們的性質(zhì)和行為可以從原子和分子的性質(zhì)、運(yùn)動(dòng)和聚集方式推導(dǎo)出來(lái)。 這是一個(gè)成功的“還原”過(guò)程。 在此基礎(chǔ)上，經(jīng)典數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題都獲得了簡(jiǎn)單的形象和優(yōu)美的理論。 從《費(fèi)曼數(shù)學(xué)課件》中著名的短語(yǔ)“”及相關(guān)解釋[2]中，我們可以窺見(jiàn)這種“還原-構(gòu)造”的輝煌與成功。
圖1 物質(zhì)的結(jié)構(gòu)層次
然后將原子分解成質(zhì)子、中子和電子，再將質(zhì)子和中子進(jìn)一步分解成夸克。 人們?cè)诓粩嗌罨倪€原層次中尋找最基本的物質(zhì)構(gòu)成單元和最基本的相互作用機(jī)制。 明天，大多數(shù)學(xué)過(guò)一些數(shù)學(xué)的人腦海中的世界圖景大致如圖1所示。世界上的一切都源于三種“基本粒子”：夸克、輕子和規(guī)范玻璃骰子。 自然界中的四種基本相互作用：引力、電磁力、強(qiáng)力、弱力，其他三者統(tǒng)一在這個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)模型”中。 “標(biāo)準(zhǔn)模型”是還原論范式下當(dāng)前化學(xué)的頂峰。 你幾乎本能地覺(jué)得，我們可以從基本粒子的質(zhì)量、電荷、自旋、壽命等性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合粒子間的基本相互作用。 作用規(guī)律，逐步準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)宏觀(guān)物體的性質(zhì)和行為。 估計(jì)化學(xué)中的“第一性原理”就遵循了這一思路，“第一”二字充分體現(xiàn)了還原論的思想。 其實(shí)這個(gè)模型里的基本粒子有61種之多，不是很簡(jiǎn)單，但似乎只要再下功夫，解決引力統(tǒng)一問(wèn)題，萬(wàn)物追求的“大一統(tǒng)”論通過(guò)數(shù)學(xué)將實(shí)現(xiàn)。 預(yù)計(jì)。
03
進(jìn)化范式
但大自然似乎并沒(méi)有準(zhǔn)備好讓人類(lèi)如此輕易地揭開(kāi)它的面紗。 研究中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)基于約簡(jiǎn)理論構(gòu)建的數(shù)學(xué)系統(tǒng)面對(duì)由少量粒子組成的物體時(shí)，理論與實(shí)驗(yàn)吻合較好，但隨著粒子數(shù)目的減少，數(shù)值估計(jì)難度加大呈指數(shù)下降。 宏觀(guān)物體往往富含數(shù)量龐大的粒子，一滴水（約1/20ml）中的水分子數(shù)達(dá)到1021個(gè)數(shù)量級(jí)，甚至更大更復(fù)雜的系統(tǒng)。
目前的計(jì)算能力還不足以支持從基本粒子到宏觀(guān)物體的估計(jì)，因此有人寄希望于未來(lái)量子估計(jì)的發(fā)展。 事實(shí)上，量子計(jì)算的發(fā)展對(duì)分子設(shè)計(jì)等問(wèn)題具有可預(yù)測(cè)的好處，但問(wèn)題不僅僅是計(jì)算限制。
1972年，澳大利亞收斂化學(xué)家安德森（PW）在《科學(xué)》雜志上發(fā)表了他的文章“”：“將世界上的一切還原為基本單位和基本規(guī)律，并不意味著可以從這些規(guī)律中重建整個(gè)世界。宇宙” ……”由大量基本粒子組成的巨大復(fù)雜集合體的行為，不能簡(jiǎn)單地從少數(shù)粒子的性質(zhì)中推斷出來(lái)，新的數(shù)學(xué)概念和物理定理和數(shù)學(xué)原理，需要研究理解這個(gè)新的行為與任何其他研究一樣基礎(chǔ)”[3]。
也就是說(shuō)，在越來(lái)越復(fù)雜的過(guò)程中經(jīng)典物理指什么，這些基本粒子會(huì)在不同的尺度、不同的能級(jí)形成新的數(shù)學(xué)定律。 但是新的，同樣基本的數(shù)學(xué)定律。 這種規(guī)律似乎是通過(guò)粒子聚集過(guò)程中的相互影響而“無(wú)中生有”，所以借用生物學(xué)中“進(jìn)化”的意思，稱(chēng)之為“進(jìn)化論”。
讓我們觀(guān)察一片雪花。 范仲淹《易云與體行太伯甲雪》詩(shī)云：“昨夜天意忽復(fù)，陰陽(yáng)浮于云中。斬六出，化造真好。” 雪花的“六出” 冰晶的結(jié)構(gòu)大家都很熟悉，但你有沒(méi)有想過(guò)，是什么讓數(shù)以萬(wàn)億計(jì)的水分子在水滴形成的過(guò)程中，從四面八方均勻分布的狀態(tài)，形成高度有序的排列？變成冰，具有非凡的對(duì)稱(chēng)性？ 增加形成自發(fā)的“對(duì)稱(chēng)破缺”？
在還原論的范式下，這些水分子仍然遵循相同的基本規(guī)律。 為什么在冷卻過(guò)程中系統(tǒng)的狀態(tài)和性質(zhì)會(huì)突然發(fā)生變化——凍結(jié)？ 有理由推測(cè)還有其他規(guī)律在起作用，而這個(gè)規(guī)律是在大量粒子形成系統(tǒng)時(shí)“進(jìn)化”出來(lái)的。 威爾遜（KG）因?qū)εR界現(xiàn)象的重整化群論對(duì)相關(guān)相變規(guī)律的貢獻(xiàn)而獲得1982年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。 從最常見(jiàn)的水凍結(jié)、各種物質(zhì)結(jié)晶等第一型相變，到超導(dǎo)、超流等第二型相變，相變與臨界問(wèn)題是收斂化學(xué)的重要研究方向，也是重要的研究方向。為了進(jìn)化。 生命理論的重要間接證據(jù)。
收斂態(tài)理論中的聲子、等離子體鈮酸鋰、自旋波、激子、極化激元等元素爆發(fā)在還原論范式下很難找到自己的位置，但在進(jìn)化論范式下，卻是一種“準(zhǔn)粒子”的“衍生”從大量粒子的集體爆發(fā)行為中，突出了普適、完善、簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)規(guī)律，與實(shí)驗(yàn)吻合較好。 “支配集體爆發(fā)的數(shù)學(xué)定理的簡(jiǎn)單和完善，并不是來(lái)自于原子間相互作用的簡(jiǎn)單，而是因?yàn)檫@樣的數(shù)學(xué)定理必須保證在低能極限下能夠產(chǎn)生集體爆發(fā)”[4] . 了解了進(jìn)化論范式后，前言中提到的聲子概念問(wèn)題就迎刃而解了。
04
還原論與進(jìn)化論相輔相成
數(shù)學(xué)所遵循的原則是理性主義加實(shí)用主義，其追求的是構(gòu)造簡(jiǎn)單、完整、準(zhǔn)確的理論來(lái)描述自然規(guī)律。 衡量一個(gè)化學(xué)理論優(yōu)劣的唯一標(biāo)準(zhǔn)就是它是否與實(shí)驗(yàn)相符。 因此，還原論與進(jìn)化論孰優(yōu)孰劣是毫無(wú)疑問(wèn)的。 還原論是一種自上而下的方法，而進(jìn)化論是一種向上的方法。 它們只是兩種不同的研究范式。 經(jīng)典數(shù)學(xué)的各個(gè)分支、原子分子化學(xué)、核化學(xué)、粒子化學(xué)、相對(duì)論多采用還原論范式，而收斂化學(xué)、熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)多采用進(jìn)化論范式。 兩種范式各有優(yōu)勢(shì)，在不同問(wèn)題上互為補(bǔ)充。 在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，只有選擇合適的范式，才能對(duì)問(wèn)題有正確的認(rèn)識(shí)。
05
化學(xué)教育建議
如上所述，大量實(shí)驗(yàn)證明，在不同尺度和層次上，還原論范式下確實(shí)存在超越基本粒子和基本相互作用的新規(guī)律。 了解世界與此有很大關(guān)系。 但不僅化學(xué)專(zhuān)業(yè)的中學(xué)生少，從小學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)教育大多以經(jīng)典化學(xué)為主，所涉及的內(nèi)容遠(yuǎn)非明天的數(shù)學(xué)前沿，以至于還原論范式是被視為化合價(jià)是數(shù)學(xué)的基本和唯一范式，這使得它在后來(lái)對(duì)現(xiàn)代化學(xué)前沿內(nèi)容的接受中形成了一定的障礙。
雖然進(jìn)化論涉及的化學(xué)問(wèn)題大多是前沿的，但相變等現(xiàn)象在日常生活中卻極為普遍。 在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，如果我們能夠?qū)W習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)，傳授必要的化學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)基本的數(shù)學(xué)思想和技能，同時(shí)告訴中學(xué)生，除了我們遵守的還原論范式外，還有還有進(jìn)化范式的存在和做基礎(chǔ)。 保持開(kāi)放的心態(tài)，杜絕排他性的認(rèn)知體系，這將為更多人更深入地了解化學(xué)提供有利條件。
筆記：
1）范式（）：指一種公認(rèn)的模型或模式。 番古字作“番”，原意為唐代遇大事出車(chē)，是祭祀道神的一種祭祀活動(dòng)。 車(chē)輪留下的坑坑洼洼的車(chē)轍印，被偽裝成鑄模，進(jìn)一步延伸成為規(guī)范和規(guī)則。 《爾雅》有：范、法爺； 范，常爺。
參考
[1]張光明． 化學(xué), 2010, 39(8): 543
[2] 費(fèi)曼． 費(fèi)曼化學(xué)課件。 北京：北京科學(xué)技術(shù)出版社，2013
[3] PW., 1972, 177: 393
[4]溫小剛． 量子多體理論——從聲子的起源到光子和電子的起源。 上海：高等教育出版社，2004