(1上海交通科技大學)
（2 中國科學技術大學數學研究所）
(3上海市教育科學研究院)
本文選自《物理》2021年第3期
基礎數學教育以經典化學為主，其主要內容與當代數學前沿相去甚遠。 因此，在大多數人的心目中，還原論范式等同于數學的基本范式和唯一范式。 但是，大量的實驗證明，在不同的尺度和層次上確實存在一些新的性質和新的規律。 以進化論范式探索新規律，是未來數學前沿探索的重要方向，對于加深對世界的認識具有重要意義。 因此，了解還原論和進化論兩種范式的異同經典物理指什么，并在討論數學問題時采用合適的范式，將為學習數學和研究化學打下良好的基礎。
01
前言
近年來，由于媒體和公眾對超導、芯片等話題的關注，作為現代數學重要分支的“凝聚態數學”廣為人知。 而且，在深入理解和學習的過程中，很多人發現有很多概念是人們無法理解的，比如聲子，在標準模型中是找不到的。 它們到底是什么？ 它由哪些基本粒子組成？ 太奇妙了。
產生這些質疑的主要原因是思維方式仍停留在經典數學的“還原論”()框架下。 然而，對于現代數學中的許多問題，收斂化學中的各種“元爆發”、相變問題中的“自發對稱性破缺”等，許多數學理論早已跳出了還原論范式1)，采用了所謂的“進化論”的新范式（）。 基于進化論的概念和理論仍然被還原論者看待并不奇怪，它們被誤解或被認為不可理解也就不足為奇了。
02
還原論范式
大多數人從小學到大學所學的數學，體系背后都有這樣一個基本思想：在我們生活的這個世界上，千奇百怪的事物歸根結底都是由一些“基本單位”組成的。 在一套“基本法則”的約束下，形成了各種錯綜復雜的自然現象。 只要追根溯源，找到構成世界的基本單位和制約它們的基本規律，就可以通過嚴密的邏輯推演和精確的物理估算，建立一個準確完整地描述世界規律的體系，并成就了包羅萬象的“萬物之理”（of）。 簡單地說，就是“先把復雜化簡為簡單，再由簡單重建復雜”[1]，這就是所謂“還原論”的基本范式。
還原論是數學完善和發展過程中的主流范式，也取得了輝煌的成就。 我們把宏觀物體看作是由分子和原子組成的集合體，它們的性質和行為可以從原子和分子的性質、運動和聚集方式推導出來。 這是一個成功的“還原”過程。 在此基礎上，經典數學中的許多問題都獲得了簡單的形象和優美的理論。 從《費曼數學課件》中著名的短語“”及相關解釋[2]中，我們可以窺見這種“還原-構造”的輝煌與成功。
圖1 物質的結構層次
然后將原子分解成質子、中子和電子，再將質子和中子進一步分解成夸克。 人們在不斷深化的還原層次中尋找最基本的物質構成單元和最基本的相互作用機制。 明天，大多數學過一些數學的人腦海中的世界圖景大致如圖1所示。世界上的一切都源于三種“基本粒子”：夸克、輕子和規范玻璃骰子。 自然界中的四種基本相互作用：引力、電磁力、強力、弱力，其他三者統一在這個“標準模型”中。 “標準模型”是還原論范式下當前化學的頂峰。 你幾乎本能地覺得，我們可以從基本粒子的質量、電荷、自旋、壽命等性質出發，結合粒子間的基本相互作用。 作用規律，逐步準確地認識宏觀物體的性質和行為。 估計化學中的“第一性原理”就遵循了這一思路，“第一”二字充分體現了還原論的思想。 其實這個模型里的基本粒子有61種之多，不是很簡單，但似乎只要再下功夫，解決引力統一問題，萬物追求的“大一統”論通過數學將實現。 預計。
03
進化范式
但大自然似乎并沒有準備好讓人類如此輕易地揭開它的面紗。 研究中發現，當基于約簡理論構建的數學系統面對由少量粒子組成的物體時，理論與實驗吻合較好，但隨著粒子數目的減少，數值估計難度加大呈指數下降。 宏觀物體往往富含數量龐大的粒子，一滴水（約1/20ml）中的水分子數達到1021個數量級，甚至更大更復雜的系統。
目前的計算能力還不足以支持從基本粒子到宏觀物體的估計，因此有人寄希望于未來量子估計的發展。 事實上，量子計算的發展對分子設計等問題具有可預測的好處，但問題不僅僅是計算限制。
1972年，澳大利亞收斂化學家安德森（PW）在《科學》雜志上發表了他的文章“”：“將世界上的一切還原為基本單位和基本規律，并不意味著可以從這些規律中重建整個世界。宇宙” ……”由大量基本粒子組成的巨大復雜集合體的行為，不能簡單地從少數粒子的性質中推斷出來，新的數學概念和物理定理和數學原理，需要研究理解這個新的行為與任何其他研究一樣基礎”[3]。
也就是說，在越來越復雜的過程中經典物理指什么，這些基本粒子會在不同的尺度、不同的能級形成新的數學定律。 但是新的，同樣基本的數學定律。 這種規律似乎是通過粒子聚集過程中的相互影響而“無中生有”，所以借用生物學中“進化”的意思，稱之為“進化論”。
讓我們觀察一片雪花。 范仲淹《易云與體行太伯甲雪》詩云：“昨夜天意忽復，陰陽浮于云中。斬六出，化造真好。” 雪花的“六出” 冰晶的結構大家都很熟悉，但你有沒有想過，是什么讓數以萬億計的水分子在水滴形成的過程中，從四面八方均勻分布的狀態，形成高度有序的排列？變成冰，具有非凡的對稱性？ 增加形成自發的“對稱破缺”？
在還原論的范式下，這些水分子仍然遵循相同的基本規律。 為什么在冷卻過程中系統的狀態和性質會突然發生變化——凍結？ 有理由推測還有其他規律在起作用，而這個規律是在大量粒子形成系統時“進化”出來的。 威爾遜（KG）因對臨界現象的重整化群論對相關相變規律的貢獻而獲得1982年諾貝爾化學獎。 從最常見的水凍結、各種物質結晶等第一型相變，到超導、超流等第二型相變，相變與臨界問題是收斂化學的重要研究方向，也是重要的研究方向。為了進化。 生命理論的重要間接證據。
收斂態理論中的聲子、等離子體鈮酸鋰、自旋波、激子、極化激元等元素爆發在還原論范式下很難找到自己的位置，但在進化論范式下，卻是一種“準粒子”的“衍生”從大量粒子的集體爆發行為中，突出了普適、完善、簡潔的數學規律，與實驗吻合較好。 “支配集體爆發的數學定理的簡單和完善，并不是來自于原子間相互作用的簡單，而是因為這樣的數學定理必須保證在低能極限下能夠產生集體爆發”[4] . 了解了進化論范式后，前言中提到的聲子概念問題就迎刃而解了。
04
還原論與進化論相輔相成
數學所遵循的原則是理性主義加實用主義，其追求的是構造簡單、完整、準確的理論來描述自然規律。 衡量一個化學理論優劣的唯一標準就是它是否與實驗相符。 因此，還原論與進化論孰優孰劣是毫無疑問的。 還原論是一種自上而下的方法，而進化論是一種向上的方法。 它們只是兩種不同的研究范式。 經典數學的各個分支、原子分子化學、核化學、粒子化學、相對論多采用還原論范式，而收斂化學、熱力學和統計數學多采用進化論范式。 兩種范式各有優勢，在不同問題上互為補充。 在討論數學問題時，只有選擇合適的范式，才能對問題有正確的認識。
05
化學教育建議
如上所述，大量實驗證明，在不同尺度和層次上，還原論范式下確實存在超越基本粒子和基本相互作用的新規律。 了解世界與此有很大關系。 但不僅化學專業的中學生少，從小學到大學的數學教育大多以經典化學為主，所涉及的內容遠非明天的數學前沿，以至于還原論范式是被視為化合價是數學的基本和唯一范式，這使得它在后來對現代化學前沿內容的接受中形成了一定的障礙。
雖然進化論涉及的化學問題大多是前沿的，但相變等現象在日常生活中卻極為普遍。 在基礎數學教學過程中，如果我們能夠學習經典數學，傳授必要的化學知識，培養基本的數學思想和技能，同時告訴中學生，除了我們遵守的還原論范式外，還有還有進化范式的存在和做基礎。 保持開放的心態，杜絕排他性的認知體系，這將為更多人更深入地了解化學提供有利條件。
筆記：
1）范式（）：指一種公認的模型或模式。 番古字作“番”，原意為唐代遇大事出車，是祭祀道神的一種祭祀活動。 車輪留下的坑坑洼洼的車轍印，被偽裝成鑄模，進一步延伸成為規范和規則。 《爾雅》有：范、法爺； 范，常爺。
參考
[1]張光明． 化學, 2010, 39(8): 543
[2] 費曼． 費曼化學課件。 北京：北京科學技術出版社，2013
[3] PW., 1972, 177: 393
[4]溫小剛． 量子多體理論——從聲子的起源到光子和電子的起源。 上海：高等教育出版社，2004