男士們，先生們：
明天我所要討論的問(wèn)題，是彎曲空間及其與引力現(xiàn)象的關(guān)系。大家當(dāng)中任何一個(gè)人都就能很容易地想像出一條曲線或一個(gè)曲面，對(duì)于這一點(diǎn)，我是一點(diǎn)也不懷疑的；并且，一提及三維的彎曲空間，大家的臉就全拉長(zhǎng)了，大家大約覺(jué)得，這是某種極不尋常的、幾乎是超自然的東西。為何人們這樣普遍對(duì)彎曲空間懷有“惡感”，莫非這個(gè)概念真的比曲面的概念更無(wú)法理解嗎？要是大家稍微多想一想，大約就有許多人會(huì)說(shuō)，大家之所以認(rèn)為無(wú)法想像出一個(gè)彎曲空間，是由于大家難以像觀察一個(gè)球的曲面，或則像觀察馬鞍那類(lèi)二維的曲面那樣，“從外邊”對(duì)它進(jìn)行觀察。并且，這些說(shuō)這些話的人，只不過(guò)是曝露出她們自己不懂得曲率的嚴(yán)格物理意義罷了，事實(shí)上，這個(gè)詞的物理含意同它的通常用法是有相當(dāng)大的區(qū)別的。我們物理家說(shuō)某個(gè)面是彎曲的，那是說(shuō)，我們?cè)谶@個(gè)面上所畫(huà)的幾何圖形的性質(zhì)，不同于在平面上所畫(huà)的同一幾何圖形的性質(zhì)，但是，我們用它們偏離歐幾里得古典法則的程度來(lái)評(píng)判曲率的大小。假如你在一張平坦的紙上畫(huà)一個(gè)三角形，這么，正如你從初等幾何學(xué)所獲知的那樣，這個(gè)三角形三個(gè)角的總和等于兩個(gè)直角。你可以把這張紙彎成圓錐形、圓錐形，或則甚至彎成更復(fù)雜的形狀，并且，畫(huà)在這張紙上那種三角形的三個(gè)角之和，必將永遠(yuǎn)保持等于兩個(gè)直角。
這些面的幾何性質(zhì)不隨上述形變而改變，因而，從“內(nèi)在”曲率的觀點(diǎn)看來(lái)，形變后所得到的各類(lèi)面（雖然在通常概念中是彎曲的），事實(shí)上是和平面一樣平坦的。
然而，你要是不把一張紙撕開(kāi)，你就難以把它貼切地貼在球面上或鞍形面上；除了這般，假如你想在一個(gè)球面上畫(huà)一個(gè)三角形（即所謂球面三角形），這么，歐幾里得幾何學(xué)這些簡(jiǎn)單的定律就不再組建了。事實(shí)上，我們可以用北半球上任何兩條半截的子午線（即緯線）與二者之間那段赤道所構(gòu)成的三角形作為反例，這時(shí)，三角形斜邊的兩個(gè)角都是直角，而內(nèi)角則可以具有任意大的角度，這三個(gè)角之和其實(shí)小于兩個(gè)直角。
同球面的情形相反重力加速度g等于多少，在鞍形面上，你會(huì)吃驚地發(fā)覺(jué)，三角形三個(gè)角之和永遠(yuǎn)大于兩個(gè)直角。
可見(jiàn)，要確定一個(gè)面的曲率，必須研究這個(gè)面上的幾何性質(zhì)，而從外邊來(lái)觀察往往會(huì)形成錯(cuò)誤。僅僅借助這些觀察，你大約會(huì)把圓錐面同環(huán)面劃為一類(lèi)，雖然，后者是平面，前者卻是難以矯治的曲面。你一旦習(xí)慣于曲率的這些新的、嚴(yán)格的物理概念，你就不難明白，化學(xué)學(xué)家們?cè)谟懻撐覀兯幼〉目臻g究竟是不是彎曲的時(shí)侯，她們所指的是哪些東西了。我們不須要挪到我們所居住的三維空間的“外面”去“看看”它是否彎曲；而可以留在這個(gè)空間中進(jìn)行一些實(shí)驗(yàn)，去查明歐幾里得幾何學(xué)的普通定理是不是就能創(chuàng)立。
然而，大家似乎會(huì)感覺(jué)奇怪：為何我們?cè)谝磺袌?chǎng)合下都應(yīng)當(dāng)指望空間的幾何性質(zhì)與早已成為“常識(shí)”的歐幾里得幾何有所不同呢？為了表明這些幾何性質(zhì)確實(shí)取決于各類(lèi)數(shù)學(xué)條件，讓我們構(gòu)想有一個(gè)巨大的矩形舞臺(tái)，像唱片那樣繞著自己的軸勻速地轉(zhuǎn)動(dòng)著。再假定有一些小量尺，順著從圓心到圓周上某一點(diǎn)的直徑，頭尾相接地排成一條直線；另一些量尺則順著圓周排成一個(gè)圓。
在相對(duì)于哪個(gè)安放舞臺(tái)的臥室靜止不動(dòng)的觀察者A看來(lái)，當(dāng)舞臺(tái)在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，這些順著舞臺(tái)為圓周擺放的量尺是在其寬度方向上運(yùn)動(dòng)，因而，它們會(huì)發(fā)生尺縮（正像我在第一次講演中說(shuō)過(guò)的那樣）。這樣一來(lái)，為了把圓周補(bǔ)全，所用的量尺就必須比舞臺(tái)靜止不動(dòng)時(shí)更多一些。而這些順著直徑擺放的量尺，它們的寬度方向恰好同運(yùn)動(dòng)方向成直角，所以就不會(huì)發(fā)生尺縮，這樣一來(lái)，不管舞臺(tái)是不是在轉(zhuǎn)動(dòng)，都要用同樣多的量尺去擺滿從舞臺(tái)的中心到圓周上某一點(diǎn)的距離。
可見(jiàn)，順著圓周測(cè)出的距離C（用所須要的量尺數(shù)量表示）必定小于通常情況下的2πr，這兒r是所測(cè)出的直徑。
我們曉得，在觀察者A看來(lái)，這一切都是合情合理的，由于順著圓周擺放的量尺的運(yùn)動(dòng)形成了尺縮效應(yīng)。而且，對(duì)于站在舞臺(tái)中心并且隨著舞臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的觀察者B，情形又是哪些樣呢？她會(huì)如何看待這個(gè)問(wèn)題呢？因?yàn)樗?jiàn)到的兩組量尺的數(shù)量和觀察者A相同，她同樣會(huì)下推論說(shuō)，這兒的周長(zhǎng)與直徑之比不符合歐幾里得幾何學(xué)的定律。并且，如果舞臺(tái)是處在一間沒(méi)有窗戶的封閉房屋里，她就看不出舞臺(tái)是在轉(zhuǎn)動(dòng)。這么，她會(huì)用哪些誘因來(lái)解釋這些反常的幾何性質(zhì)呢？
觀察者B可能并不曉得舞臺(tái)在轉(zhuǎn)動(dòng)，并且卻會(huì)意識(shí)到在她周?chē)诎l(fā)生某種奇怪的事情。她會(huì)注意到，置于舞臺(tái)上不同地方的物體并不保持靜止不動(dòng)，它們?nèi)紡闹行南蛲鈬M(jìn)行加速運(yùn)動(dòng)，其加速度取決于它們的位置和中心的距離。換句話說(shuō)，它們看上去都遭到一種力（離心力）的支配。這是一種很奇怪的力，不管物體處在哪些特定的位置，質(zhì)量有多大，這個(gè)力總是以完全相同的加速度使它們向外圍進(jìn)行加速運(yùn)動(dòng)。換句話說(shuō)，這些“力”似乎還能手動(dòng)調(diào)整自己的硬度去配合物體的質(zhì)量，因此總是能形成物體所處位置特有的加速度。為此，觀察者B會(huì)做出推論說(shuō)，在這些“力”與她發(fā)覺(jué)的非歐幾里得幾何性質(zhì)之間，必然存在著某種關(guān)系。
除了這么，我們還可以考慮一束光線前進(jìn)時(shí)的路徑。對(duì)于靜止的觀察者A來(lái)說(shuō)，光線總是順著直線傳播的。并且，假如有一束光線貼著旋轉(zhuǎn)舞臺(tái)的表面穿過(guò)舞臺(tái)，又會(huì)怎樣樣呢？雖然在觀察者A看來(lái)、這束光線仍然是順著直線行進(jìn)的，然而，它在旋轉(zhuǎn)舞臺(tái)的表面上劃出的路徑卻并不是直線，這是由于這束光須要一定的時(shí)間能夠穿過(guò)舞臺(tái)。而在這段時(shí)間內(nèi)，舞臺(tái)早已轉(zhuǎn)過(guò)一定的角度（這如同你用快刀在旋轉(zhuǎn)的唱片上劃一條直線時(shí)，唱片上的凹痕會(huì)是一條曲線而不是直線那樣）。為此，站在旋轉(zhuǎn)舞臺(tái)中心的觀察者B會(huì)發(fā)覺(jué)，那束光線在從舞臺(tái)的右邊穿到另左側(cè)時(shí)，并不是順著直線、而是順著曲線行進(jìn)。她會(huì)像上面提及的邊長(zhǎng)與直徑之比的場(chǎng)合那樣，把這些現(xiàn)象歸因于在她周?chē)鹱饔玫奶厥饣瘜W(xué)條件所形成的那種特殊的“力”。
這些力除了影響到幾何性質(zhì)（包括光線行進(jìn)的路徑），而且還影響著時(shí)間的進(jìn)程。把一個(gè)掛鐘置于旋轉(zhuǎn)舞臺(tái)的外圍，就可以把這些情況演示下來(lái)。觀察者B會(huì)發(fā)覺(jué)，這個(gè)掛鐘比置于舞臺(tái)中心的掛鐘走得慢。從觀察者A的觀點(diǎn)看，這個(gè)現(xiàn)象是最容易理解不過(guò)了，由于他注意到，那種置于外圍的掛鐘在隨著舞臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，所以比起置于舞臺(tái)中心。位置保持不變的掛鐘來(lái)，它的時(shí)間便延長(zhǎng)了（鐘慢效應(yīng)）。而觀察者B因?yàn)闆](méi)有意識(shí)到舞臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)，就必將把那種掛鐘走得慢歸因于上面所說(shuō)的那種“力”的存在。這樣一來(lái)，我們便可以曉得，不論是幾何性質(zhì)還是時(shí)間進(jìn)程，都能夠成為化學(xué)環(huán)境的函數(shù)。
如今我們?cè)賮?lái)討論一種不同的化學(xué)場(chǎng)合——這是我們?cè)诘孛娓浇l(fā)覺(jué)的情形：一切物體都被地心引力吸向地面。這同旋轉(zhuǎn)舞臺(tái)上的一切物體都被甩向外圍的情形有點(diǎn)相像。假如我們注意到下落的物體所得到的加速度只與其位置有關(guān)而與其質(zhì)量無(wú)關(guān)時(shí)，這些相像性便更顯著了。從下邊要介紹的例子，我們甚至可以愈發(fā)清楚地看見(jiàn)引力與加速運(yùn)動(dòng)之間的這些對(duì)應(yīng)關(guān)系。
假定有一艘專(zhuān)門(mén)進(jìn)行星際航行的宇宙飛船，它自由自在地在空間中某個(gè)地方懸浮著，不管離哪一顆星體都十分遠(yuǎn)，因此在飛船中不存在任何引力。結(jié)果，在這樣一艘飛船里的一切物體，包括搭乘它旅行的實(shí)驗(yàn)者在內(nèi)，就都沒(méi)有任何重力，她們會(huì)像凡爾納知名的幻想小說(shuō)中的阿爾丹及其旅伴在飛往地球的旅途中那樣，自由自在地在空氣中懸浮著。
如今，底盤(pán)開(kāi)動(dòng)了，我們的飛船開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，但是漸漸減小速率。這時(shí)在飛船內(nèi)部會(huì)發(fā)生哪些情況呢？很容易看出，只要飛船處在加速狀態(tài)，飛船內(nèi)部的一切物體才會(huì)顯示出朝著飛船頂部運(yùn)動(dòng)的傾向，或則是說(shuō)，飛船頂部將朝著那些物體運(yùn)動(dòng)——這兩種說(shuō)法是一碼事。舉個(gè)反例吧，要是我們的實(shí)驗(yàn)者手中拿著一個(gè)蘋(píng)果，之后撒手把它放開(kāi)，這么，這個(gè)蘋(píng)果必定以固定不變的速率——即飛船在放開(kāi)蘋(píng)果那剎那間的運(yùn)動(dòng)速率——相對(duì)于周?chē)男求w繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。并且，飛船本身卻在加強(qiáng)速率，結(jié)果，甲板的頂部因?yàn)樵谡麄€(gè)時(shí)間里運(yùn)動(dòng)得越來(lái)越快，它最后必定趕上那種蘋(píng)果，但是撞上它。從這個(gè)瞬時(shí)起，這個(gè)蘋(píng)果還會(huì)永遠(yuǎn)同頂部保持接觸狀態(tài)，而且靠穩(wěn)定的加速度而壓在頂部上。
然而，在飛船內(nèi)部的實(shí)驗(yàn)者看來(lái)，這些情況卻似乎是那種蘋(píng)果在以固定的加速度“下落”，但是在擊中底板之后，繼續(xù)靠它自身的重力壓在底板上。假如他再讓別的物體掉下，他都會(huì)進(jìn)一步發(fā)覺(jué)，所有那些物體全都以完全相同的加速度落下（假如忽視掉空氣的磨擦力的話），于是他都會(huì)想起，這正好就是伽利略所發(fā)覺(jué)的自由落體定律。事實(shí)上，他根本不能否發(fā)覺(jué)在加速甲板中的現(xiàn)象與通常重力現(xiàn)象之間有一點(diǎn)點(diǎn)最細(xì)微的差異。他完全可以使用帶鐘擺的時(shí)鐘，可以把書(shū)放到書(shū)柜上而毋須害怕它們飛掉，還可以把愛(ài)因斯坦的相片掛在鐵釘上。你們曉得，正是愛(ài)因斯坦最先強(qiáng)調(diào)，參考系的加速度是與重力場(chǎng)等效的，他還在這個(gè)基礎(chǔ)上提出了所謂廣義相對(duì)論。
然而，正像轉(zhuǎn)動(dòng)舞臺(tái)那種反例一樣，在這兒，我們也會(huì)發(fā)覺(jué)一些伽利略和牛頓在研究重力時(shí)所不曉得的現(xiàn)象。這時(shí)，穿過(guò)甲板的光線將發(fā)生彎曲，但是隨著飛船加速度的不同，而投射在旁邊墻壁屏幕的不同地方。其實(shí)，在貨艙外的觀察者看來(lái)，這可以解釋成光的勻速直線運(yùn)動(dòng)同飛船甲板的加速運(yùn)動(dòng)相疊加的結(jié)果。在貨艙內(nèi)的幾何圖形也必將是不正常的，由三條光線構(gòu)成的三角形，它的三個(gè)角的總和并不等于兩個(gè)直角，而一個(gè)圓的圓周與其半徑之比則將小于一般的π值。在這兒，我們所考慮的是加速系統(tǒng)的兩個(gè)最簡(jiǎn)單的事例，然而，前面所說(shuō)的等效性，對(duì)于任何一個(gè)指定的剛性的（或不可變形的）參考系的運(yùn)動(dòng)也同樣創(chuàng)立。
如今我們就要接觸到最重要的問(wèn)題了。我們剛剛早已聽(tīng)到，在一個(gè)加速的參考系中，可以觀察到許多在通常萬(wàn)有引力場(chǎng)中從未觀察到的現(xiàn)象。這么，像光線彎曲或掛鐘走慢這樣的新現(xiàn)象，在由可測(cè)質(zhì)量所形成的引力場(chǎng)中，是不是同樣存在呢？
要量度光線在引力場(chǎng)中的曲率，借助上面提及的宇宙飛船那種事例比較便捷。假如l是貨艙的跨距，這么，光線走過(guò)這段距離所需的時(shí)間就是
在這段時(shí)間內(nèi)，以加速度g運(yùn)動(dòng)的飛船所掠過(guò)的距離為L(zhǎng)，從初等熱學(xué)的公式，我們曉得
為此，表示光線方向改變的角度具有如下的數(shù)目級(jí)
光在引力場(chǎng)中走過(guò)的距離越大，Φ的值也越大。其實(shí)，如今應(yīng)當(dāng)把宇宙飛船的加速度解釋成重力加速度。假如我如今讓一束光線穿過(guò)這個(gè)講演廳，我可以簡(jiǎn)略地取L＝10米。地面上的重力加速度g＝9.81米/秒2，c＝3×108米/秒，所以
這樣，大家可以看出，在這些條件下，光線的曲率是肯定沒(méi)法觀察到的。并且，在太陽(yáng)表面附近，g＝270米/秒2，但是光線在太陽(yáng)的引力場(chǎng)中走過(guò)的路程是特別長(zhǎng)的。有一些精確的估算表明，一束光線從太陽(yáng)表面附近經(jīng)過(guò)時(shí)的偏轉(zhuǎn)值應(yīng)當(dāng)?shù)扔?.75弧秒。天文學(xué)家在日全蝕時(shí)觀察到的。太陽(yáng)對(duì)面的星體視位置的位移值就剛好是這樣大。現(xiàn)今因?yàn)樘煳膶W(xué)家借助了從類(lèi)恒星發(fā)出的強(qiáng)射電幅射，就毋須再等到日全蝕時(shí)再進(jìn)行檢測(cè)了。從類(lèi)恒星發(fā)出并從太陽(yáng)后面穿過(guò)來(lái)的射電波，就是在大晚上也可以毫無(wú)困難地偵測(cè)到。正是這種檢測(cè)使我們才能最精確地測(cè)出光線的彎曲。為此，我們可以做出推論說(shuō)，我們?cè)诩铀傧到y(tǒng)中發(fā)覺(jué)的光線彎曲，實(shí)際上是和它在引力場(chǎng)中的彎曲相同的。這么，觀察者B在旋轉(zhuǎn)舞臺(tái)上發(fā)覺(jué)的另一個(gè)奇怪的現(xiàn)象——放在舞臺(tái)外圍的掛鐘走得比較慢，會(huì)不會(huì)也是這樣呢？在月球重力場(chǎng)中，置于地面上空某個(gè)地方的掛鐘，會(huì)不會(huì)有類(lèi)似的表現(xiàn)？換句話說(shuō)，加速度所形成的療效與重力所形成的療效是否除了特別相像，但是完全等同呢？
這個(gè)問(wèn)題只能靠直接的實(shí)驗(yàn)來(lái)解答。事實(shí)上，這樣的實(shí)驗(yàn)早已證明，時(shí)間是可以深受普通重力場(chǎng)的影響的。通過(guò)加速運(yùn)動(dòng)與引力場(chǎng)的等效關(guān)系所預(yù)想的效應(yīng)是十分小的，這正是直至科學(xué)家們開(kāi)始專(zhuān)門(mén)探求它們之后才會(huì)發(fā)覺(jué)它們的誘因。
用旋轉(zhuǎn)舞臺(tái)這個(gè)反例，很容易確定掛鐘速度變慢的數(shù)目級(jí)。從初等熱學(xué)獲知，作用在離中心的距離為r。質(zhì)量為1的粒子上的離心力，可由下邊公式算出：
式中ω是轉(zhuǎn)動(dòng)舞臺(tái)的固定的角速率。因而，這個(gè)力在粒子從中心運(yùn)動(dòng)到邊沿時(shí)所作的總功是
式中R是舞臺(tái)的直徑。
根據(jù)前面所說(shuō)的等效原理，我們應(yīng)當(dāng)把F看做是舞臺(tái)上的引力，而把W看做是舞臺(tái)中心與邊沿之間的引力勢(shì)之差。
我們應(yīng)當(dāng)記得，正像我在上一次講演中所提到的那樣，以速率v運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘要比不運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘走得慢一些，二者相差一個(gè)因子
假如v同c比上去十分小，我們可以把第二項(xiàng)之后的各項(xiàng)都略去不計(jì)。根據(jù)角速率的定義，v＝Rω，這樣，“減慢因子”就弄成
這是用兩個(gè)地點(diǎn)的萬(wàn)有引力勢(shì)差來(lái)表示的時(shí)鐘速度的改變。
假如我們把一個(gè)時(shí)鐘置于艾菲爾鐵塔（300米高）的頂部，再把另一個(gè)時(shí)鐘置于塔頂，因?yàn)樗鼈冎g的勢(shì)差特別之小，所以，置于頂部的那種時(shí)鐘走慢的因子只有
0.99999999999997
然而，月球表面上和太陽(yáng)表面上的重力勢(shì)差卻大得多了，由此形成的減弱因子等于0.9999995，這是用很精密的檢測(cè)所能偵測(cè)到的。其實(shí)，從來(lái)沒(méi)有人想把普通時(shí)鐘遷往太陽(yáng)表面起來(lái)，瞧瞧它走得如何樣。化學(xué)學(xué)家們有一些更妙的辦法，借助分光計(jì)，我們可以觀察太陽(yáng)表面上各類(lèi)原子的震動(dòng)周期，并把它們與同一種元素的原子在實(shí)驗(yàn)室本生燈火焰中的震動(dòng)周期相比較。在太陽(yáng)表面上，原子的震動(dòng)應(yīng)當(dāng)比地面上慢一些，二者相差一個(gè)由公式（11）所給出的減弱因子，因而，它們所發(fā)出的光應(yīng)當(dāng)比地面光源的光稍紅一些，也就是說(shuō)，它們發(fā)出的光的頻度會(huì)向波譜的紅端聯(lián)通。這些“紅移”確實(shí)早已在太陽(yáng)的波譜中觀察到了，對(duì)于其他一些才能精確測(cè)定其波譜的星體，也同樣觀察到這些效應(yīng)，而且觀察到的結(jié)果同我們的理論公式所給出的值相符。
如今，我們可以再回頭討論空間曲率的問(wèn)題了。大家大約還記得，我們當(dāng)初借助直線的最合理的定義得出推論說(shuō)，在非勻速運(yùn)動(dòng)的參考系中所得到的幾何圖形是與歐幾里得幾何學(xué)不同的，因而，應(yīng)當(dāng)覺(jué)得這樣的空間是彎曲空間。既然任何一個(gè)重力場(chǎng)都同參考系的某種加速度等效，這也就意味著，任何一個(gè)有重力場(chǎng)存在的空間都是彎曲空間。我們還可以進(jìn)一步說(shuō)，重力場(chǎng)只不過(guò)是空間曲率的一種數(shù)學(xué)表現(xiàn)。為此，每一點(diǎn)上的空間曲率都應(yīng)當(dāng)由質(zhì)量分布所決定，但是在重的物體（或天體）近旁，空間曲率應(yīng)當(dāng)達(dá)到其極大值。因?yàn)槊枋鰪澢臻g的性質(zhì)及其與質(zhì)量分布的關(guān)系的數(shù)學(xué)公式相當(dāng)復(fù)雜，我沒(méi)法在這兒進(jìn)行介紹。我只想提一提，這個(gè)曲率通常不是取決于一個(gè)量，而是取決于幾個(gè)不同的量，這種量一般稱(chēng)為重力勢(shì)的份量gμν，它們是我們上面用W表示的古典數(shù)學(xué)學(xué)重力勢(shì)的推廣。與此相應(yīng)，每一點(diǎn)上的曲率也由幾個(gè)不同的曲率直徑來(lái)描述，前者一般寫(xiě)成Rμν，這種曲率直徑同質(zhì)量分布的關(guān)系由愛(ài)因斯坦的基本多項(xiàng)式來(lái)描述：
式中R是另一種曲率，代表曲率起因的源項(xiàng)Tμν取決于密度、速度和質(zhì)量所形成的引力場(chǎng)的其他性質(zhì)。G是你們熟悉的引力常數(shù)。
這個(gè)等式早已通過(guò)研究水星的運(yùn)動(dòng)而得到驗(yàn)證。這顆行星最緊靠太陽(yáng)，因而，它的軌道最靈敏地反映出愛(ài)因斯坦基本多項(xiàng)式的細(xì)節(jié)，早已發(fā)覺(jué)，它的軌道的近期點(diǎn)（也就是這顆行星在沿其扁長(zhǎng)橢圓形軌道運(yùn)行時(shí)最接近太陽(yáng)的那一點(diǎn)）在空間并不是固定不變的，而是每轉(zhuǎn)一圈就會(huì)系統(tǒng)地改變它相對(duì)于太陽(yáng)的取向，這些進(jìn)動(dòng)，有一部份來(lái)始于其他行星的引力場(chǎng)對(duì)水星所起的攝動(dòng)作用，有一部份可以用水星的質(zhì)量因?yàn)槠溥\(yùn)動(dòng)而形成的狹義相對(duì)論性增大來(lái)解釋。并且，還剩下一個(gè)很小的剩余量（每世紀(jì)43弧秒）是難以用舊的牛頓萬(wàn)有引力理論來(lái)說(shuō)明的，不過(guò)卻很容易用廣義相對(duì)論來(lái)解釋。
對(duì)水星的觀察連同后面所提及的其他實(shí)驗(yàn)結(jié)果，都否認(rèn)了我們關(guān)于廣義相對(duì)論的判定是正確的——它是才能最好地解釋我們?cè)谟钪嬷袑?shí)際看見(jiàn)的各類(lèi)現(xiàn)象的引力理論。
在結(jié)束這篇講演之前，我想再?gòu)?qiáng)調(diào)多項(xiàng)式（12）的兩個(gè)很有意義的推論。假如我們所考慮的是一個(gè)均勻分布著質(zhì)量的空間，例如像我們這個(gè)分布著星體和星體的空間，這么，我們將得出這樣一個(gè)推論：不僅在各個(gè)分開(kāi)的星體附近時(shí)常出現(xiàn)很大的曲率以外，這個(gè)空間在正常情況下總是傾向于在大距離上均勻地彎曲。從物理上說(shuō)，多項(xiàng)式（12）有幾種不同的解，其中有一些解相當(dāng)于空間本身最后是封閉的重力加速度g等于多少，因此具有有限的容積；另一些解所代表的則是類(lèi)似于鞍形面的無(wú)限空間，前者我早已在這篇講演的開(kāi)頭提及過(guò)了。多項(xiàng)式（12）的第二個(gè)重要的結(jié)果是：這樣一些彎曲空間應(yīng)當(dāng)總是處在膨脹（或收縮）的狀態(tài)中，從數(shù)學(xué)學(xué)上說(shuō)，這就意味著分布在這些空間中的粒子應(yīng)當(dāng)不斷彼此飛離（或則恰好相反，應(yīng)當(dāng)不斷互相靠攏）。除了這般，我們還可以證明，對(duì)于容積有限的封閉空間來(lái)說(shuō)，膨脹和收縮是周期性地互相交替著的——這就是所謂脈動(dòng)宇宙。并且，無(wú)限的“類(lèi)鞍形”空間則一直不變地處在膨脹（或收縮）狀態(tài)中。
在物理上各類(lèi)不同的可能解當(dāng)中，到底哪一個(gè)解同我們所居住的空間相適應(yīng)呢——這個(gè)問(wèn)題只能借助對(duì)星體團(tuán)的運(yùn)動(dòng)（包括它們彼此飛散的速率減緩的情況）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察來(lái)解答，或則也可以把宇宙現(xiàn)有的全部質(zhì)量加在一起，再估算出減弱的療效會(huì)有多大。目前，天文學(xué)所得到的證據(jù)還不太明晰。并且，有一點(diǎn)是肯定的——我們這個(gè)空間目前正在膨脹著。不過(guò)，這些膨脹是不是有朝一日會(huì)轉(zhuǎn)弄成收縮？我們這個(gè)空間的大小到底是有限的還是無(wú)限的——這兩個(gè)問(wèn)題如今都還沒(méi)有明晰的答案。
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選自|化學(xué)世界奇遇記
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