男士們，先生們：
明天我所要討論的問題，是彎曲空間及其與引力現象的關系。大家當中任何一個人都就能很容易地想像出一條曲線或一個曲面，對于這一點，我是一點也不懷疑的；并且，一提及三維的彎曲空間，大家的臉就全拉長了，大家大約覺得，這是某種極不尋常的、幾乎是超自然的東西。為何人們這樣普遍對彎曲空間懷有“惡感”，莫非這個概念真的比曲面的概念更無法理解嗎？要是大家稍微多想一想，大約就有許多人會說，大家之所以認為無法想像出一個彎曲空間，是由于大家難以像觀察一個球的曲面，或則像觀察馬鞍那類二維的曲面那樣，“從外邊”對它進行觀察。并且，這些說這些話的人，只不過是曝露出她們自己不懂得曲率的嚴格物理意義罷了，事實上，這個詞的物理含意同它的通常用法是有相當大的區別的。我們物理家說某個面是彎曲的，那是說，我們在這個面上所畫的幾何圖形的性質，不同于在平面上所畫的同一幾何圖形的性質，但是，我們用它們偏離歐幾里得古典法則的程度來評判曲率的大小。假如你在一張平坦的紙上畫一個三角形，這么，正如你從初等幾何學所獲知的那樣，這個三角形三個角的總和等于兩個直角。你可以把這張紙彎成圓錐形、圓錐形，或則甚至彎成更復雜的形狀，并且，畫在這張紙上那種三角形的三個角之和，必將永遠保持等于兩個直角。
這些面的幾何性質不隨上述形變而改變，因而，從“內在”曲率的觀點看來，形變后所得到的各類面（雖然在通常概念中是彎曲的），事實上是和平面一樣平坦的。
然而，你要是不把一張紙撕開，你就難以把它貼切地貼在球面上或鞍形面上；除了這般，假如你想在一個球面上畫一個三角形（即所謂球面三角形），這么，歐幾里得幾何學這些簡單的定律就不再組建了。事實上，我們可以用北半球上任何兩條半截的子午線（即緯線）與二者之間那段赤道所構成的三角形作為反例，這時，三角形斜邊的兩個角都是直角，而內角則可以具有任意大的角度，這三個角之和其實小于兩個直角。
同球面的情形相反重力加速度g等于多少，在鞍形面上，你會吃驚地發覺，三角形三個角之和永遠大于兩個直角。
可見，要確定一個面的曲率，必須研究這個面上的幾何性質，而從外邊來觀察往往會形成錯誤。僅僅借助這些觀察，你大約會把圓錐面同環面劃為一類，雖然，后者是平面，前者卻是難以矯治的曲面。你一旦習慣于曲率的這些新的、嚴格的物理概念，你就不難明白，化學學家們在討論我們所居住的空間究竟是不是彎曲的時侯，她們所指的是哪些東西了。我們不須要挪到我們所居住的三維空間的“外面”去“看看”它是否彎曲；而可以留在這個空間中進行一些實驗，去查明歐幾里得幾何學的普通定理是不是就能創立。
然而，大家似乎會感覺奇怪：為何我們在一切場合下都應當指望空間的幾何性質與早已成為“常識”的歐幾里得幾何有所不同呢？為了表明這些幾何性質確實取決于各類數學條件，讓我們構想有一個巨大的矩形舞臺，像唱片那樣繞著自己的軸勻速地轉動著。再假定有一些小量尺，順著從圓心到圓周上某一點的直徑，頭尾相接地排成一條直線；另一些量尺則順著圓周排成一個圓。
在相對于哪個安放舞臺的臥室靜止不動的觀察者A看來，當舞臺在轉動時，這些順著舞臺為圓周擺放的量尺是在其寬度方向上運動，因而，它們會發生尺縮（正像我在第一次講演中說過的那樣）。這樣一來，為了把圓周補全，所用的量尺就必須比舞臺靜止不動時更多一些。而這些順著直徑擺放的量尺，它們的寬度方向恰好同運動方向成直角，所以就不會發生尺縮，這樣一來，不管舞臺是不是在轉動，都要用同樣多的量尺去擺滿從舞臺的中心到圓周上某一點的距離。
可見，順著圓周測出的距離C（用所須要的量尺數量表示）必定小于通常情況下的2πr，這兒r是所測出的直徑。
我們曉得，在觀察者A看來，這一切都是合情合理的，由于順著圓周擺放的量尺的運動形成了尺縮效應。而且，對于站在舞臺中心并且隨著舞臺轉動的觀察者B，情形又是哪些樣呢？她會如何看待這個問題呢？因為她所見到的兩組量尺的數量和觀察者A相同，她同樣會下推論說，這兒的周長與直徑之比不符合歐幾里得幾何學的定律。并且，如果舞臺是處在一間沒有窗戶的封閉房屋里，她就看不出舞臺是在轉動。這么，她會用哪些誘因來解釋這些反常的幾何性質呢？
觀察者B可能并不曉得舞臺在轉動，并且卻會意識到在她周圍正在發生某種奇怪的事情。她會注意到，置于舞臺上不同地方的物體并不保持靜止不動，它們全都從中心向外圍進行加速運動，其加速度取決于它們的位置和中心的距離。換句話說，它們看上去都遭到一種力（離心力）的支配。這是一種很奇怪的力，不管物體處在哪些特定的位置，質量有多大，這個力總是以完全相同的加速度使它們向外圍進行加速運動。換句話說，這些“力”似乎還能手動調整自己的硬度去配合物體的質量，因此總是能形成物體所處位置特有的加速度。為此，觀察者B會做出推論說，在這些“力”與她發覺的非歐幾里得幾何性質之間，必然存在著某種關系。
除了這么，我們還可以考慮一束光線前進時的路徑。對于靜止的觀察者A來說，光線總是順著直線傳播的。并且，假如有一束光線貼著旋轉舞臺的表面穿過舞臺，又會怎樣樣呢？雖然在觀察者A看來、這束光線仍然是順著直線行進的，然而，它在旋轉舞臺的表面上劃出的路徑卻并不是直線，這是由于這束光須要一定的時間能夠穿過舞臺。而在這段時間內，舞臺早已轉過一定的角度（這如同你用快刀在旋轉的唱片上劃一條直線時，唱片上的凹痕會是一條曲線而不是直線那樣）。為此，站在旋轉舞臺中心的觀察者B會發覺，那束光線在從舞臺的右邊穿到另左側時，并不是順著直線、而是順著曲線行進。她會像上面提及的邊長與直徑之比的場合那樣，把這些現象歸因于在她周圍起作用的特殊化學條件所形成的那種特殊的“力”。
這些力除了影響到幾何性質（包括光線行進的路徑），而且還影響著時間的進程。把一個掛鐘置于旋轉舞臺的外圍，就可以把這些情況演示下來。觀察者B會發覺，這個掛鐘比置于舞臺中心的掛鐘走得慢。從觀察者A的觀點看，這個現象是最容易理解不過了，由于他注意到，那種置于外圍的掛鐘在隨著舞臺的轉動而運動，所以比起置于舞臺中心。位置保持不變的掛鐘來，它的時間便延長了（鐘慢效應）。而觀察者B因為沒有意識到舞臺的轉動，就必將把那種掛鐘走得慢歸因于上面所說的那種“力”的存在。這樣一來，我們便可以曉得，不論是幾何性質還是時間進程，都能夠成為化學環境的函數。
如今我們再來討論一種不同的化學場合——這是我們在地面附近發覺的情形：一切物體都被地心引力吸向地面。這同旋轉舞臺上的一切物體都被甩向外圍的情形有點相像。假如我們注意到下落的物體所得到的加速度只與其位置有關而與其質量無關時，這些相像性便更顯著了。從下邊要介紹的例子，我們甚至可以愈發清楚地看見引力與加速運動之間的這些對應關系。
假定有一艘專門進行星際航行的宇宙飛船，它自由自在地在空間中某個地方懸浮著，不管離哪一顆星體都十分遠，因此在飛船中不存在任何引力。結果，在這樣一艘飛船里的一切物體，包括搭乘它旅行的實驗者在內，就都沒有任何重力，她們會像凡爾納知名的幻想小說中的阿爾丹及其旅伴在飛往地球的旅途中那樣，自由自在地在空氣中懸浮著。
如今，底盤開動了，我們的飛船開始運動，但是漸漸減小速率。這時在飛船內部會發生哪些情況呢？很容易看出，只要飛船處在加速狀態，飛船內部的一切物體才會顯示出朝著飛船頂部運動的傾向，或則是說，飛船頂部將朝著那些物體運動——這兩種說法是一碼事。舉個反例吧，要是我們的實驗者手中拿著一個蘋果，之后撒手把它放開，這么，這個蘋果必定以固定不變的速率——即飛船在放開蘋果那剎那間的運動速率——相對于周圍的星體繼續運動。并且，飛船本身卻在加強速率，結果，甲板的頂部因為在整個時間里運動得越來越快，它最后必定趕上那種蘋果，但是撞上它。從這個瞬時起，這個蘋果還會永遠同頂部保持接觸狀態，而且靠穩定的加速度而壓在頂部上。
然而，在飛船內部的實驗者看來，這些情況卻似乎是那種蘋果在以固定的加速度“下落”，但是在擊中底板之后，繼續靠它自身的重力壓在底板上。假如他再讓別的物體掉下，他都會進一步發覺，所有那些物體全都以完全相同的加速度落下（假如忽視掉空氣的磨擦力的話），于是他都會想起，這正好就是伽利略所發覺的自由落體定律。事實上，他根本不能否發覺在加速甲板中的現象與通常重力現象之間有一點點最細微的差異。他完全可以使用帶鐘擺的時鐘，可以把書放到書柜上而毋須害怕它們飛掉，還可以把愛因斯坦的相片掛在鐵釘上。你們曉得，正是愛因斯坦最先強調，參考系的加速度是與重力場等效的，他還在這個基礎上提出了所謂廣義相對論。
然而，正像轉動舞臺那種反例一樣，在這兒，我們也會發覺一些伽利略和牛頓在研究重力時所不曉得的現象。這時，穿過甲板的光線將發生彎曲，但是隨著飛船加速度的不同，而投射在旁邊墻壁屏幕的不同地方。其實，在貨艙外的觀察者看來，這可以解釋成光的勻速直線運動同飛船甲板的加速運動相疊加的結果。在貨艙內的幾何圖形也必將是不正常的，由三條光線構成的三角形，它的三個角的總和并不等于兩個直角，而一個圓的圓周與其半徑之比則將小于一般的π值。在這兒，我們所考慮的是加速系統的兩個最簡單的事例，然而，前面所說的等效性，對于任何一個指定的剛性的（或不可變形的）參考系的運動也同樣創立。
如今我們就要接觸到最重要的問題了。我們剛剛早已聽到，在一個加速的參考系中，可以觀察到許多在通常萬有引力場中從未觀察到的現象。這么，像光線彎曲或掛鐘走慢這樣的新現象，在由可測質量所形成的引力場中，是不是同樣存在呢？
要量度光線在引力場中的曲率，借助上面提及的宇宙飛船那種事例比較便捷。假如l是貨艙的跨距，這么，光線走過這段距離所需的時間就是
在這段時間內，以加速度g運動的飛船所掠過的距離為L，從初等熱學的公式，我們曉得
為此，表示光線方向改變的角度具有如下的數目級
光在引力場中走過的距離越大，Φ的值也越大。其實，如今應當把宇宙飛船的加速度解釋成重力加速度。假如我如今讓一束光線穿過這個講演廳，我可以簡略地取L＝10米。地面上的重力加速度g＝9.81米/秒2，c＝3×108米/秒，所以
這樣，大家可以看出，在這些條件下，光線的曲率是肯定沒法觀察到的。并且，在太陽表面附近，g＝270米/秒2，但是光線在太陽的引力場中走過的路程是特別長的。有一些精確的估算表明，一束光線從太陽表面附近經過時的偏轉值應當等于1.75弧秒。天文學家在日全蝕時觀察到的。太陽對面的星體視位置的位移值就剛好是這樣大。現今因為天文學家借助了從類恒星發出的強射電幅射，就毋須再等到日全蝕時再進行檢測了。從類恒星發出并從太陽后面穿過來的射電波，就是在大晚上也可以毫無困難地偵測到。正是這種檢測使我們才能最精確地測出光線的彎曲。為此，我們可以做出推論說，我們在加速系統中發覺的光線彎曲，實際上是和它在引力場中的彎曲相同的。這么，觀察者B在旋轉舞臺上發覺的另一個奇怪的現象——放在舞臺外圍的掛鐘走得比較慢，會不會也是這樣呢？在月球重力場中，置于地面上空某個地方的掛鐘，會不會有類似的表現？換句話說，加速度所形成的療效與重力所形成的療效是否除了特別相像，但是完全等同呢？
這個問題只能靠直接的實驗來解答。事實上，這樣的實驗早已證明，時間是可以深受普通重力場的影響的。通過加速運動與引力場的等效關系所預想的效應是十分小的，這正是直至科學家們開始專門探求它們之后才會發覺它們的誘因。
用旋轉舞臺這個反例，很容易確定掛鐘速度變慢的數目級。從初等熱學獲知，作用在離中心的距離為r。質量為1的粒子上的離心力，可由下邊公式算出：
式中ω是轉動舞臺的固定的角速率。因而，這個力在粒子從中心運動到邊沿時所作的總功是
式中R是舞臺的直徑。
根據前面所說的等效原理，我們應當把F看做是舞臺上的引力，而把W看做是舞臺中心與邊沿之間的引力勢之差。
我們應當記得，正像我在上一次講演中所提到的那樣，以速率v運動的時鐘要比不運動的時鐘走得慢一些，二者相差一個因子
假如v同c比上去十分小，我們可以把第二項之后的各項都略去不計。根據角速率的定義，v＝Rω，這樣，“減慢因子”就弄成
這是用兩個地點的萬有引力勢差來表示的時鐘速度的改變。
假如我們把一個時鐘置于艾菲爾鐵塔（300米高）的頂部，再把另一個時鐘置于塔頂，因為它們之間的勢差特別之小，所以，置于頂部的那種時鐘走慢的因子只有
0.99999999999997
然而，月球表面上和太陽表面上的重力勢差卻大得多了，由此形成的減弱因子等于0.9999995，這是用很精密的檢測所能偵測到的。其實，從來沒有人想把普通時鐘遷往太陽表面起來，瞧瞧它走得如何樣。化學學家們有一些更妙的辦法，借助分光計，我們可以觀察太陽表面上各類原子的震動周期，并把它們與同一種元素的原子在實驗室本生燈火焰中的震動周期相比較。在太陽表面上，原子的震動應當比地面上慢一些，二者相差一個由公式（11）所給出的減弱因子，因而，它們所發出的光應當比地面光源的光稍紅一些，也就是說，它們發出的光的頻度會向波譜的紅端聯通。這些“紅移”確實早已在太陽的波譜中觀察到了，對于其他一些才能精確測定其波譜的星體，也同樣觀察到這些效應，而且觀察到的結果同我們的理論公式所給出的值相符。
如今，我們可以再回頭討論空間曲率的問題了。大家大約還記得，我們當初借助直線的最合理的定義得出推論說，在非勻速運動的參考系中所得到的幾何圖形是與歐幾里得幾何學不同的，因而，應當覺得這樣的空間是彎曲空間。既然任何一個重力場都同參考系的某種加速度等效，這也就意味著，任何一個有重力場存在的空間都是彎曲空間。我們還可以進一步說，重力場只不過是空間曲率的一種數學表現。為此，每一點上的空間曲率都應當由質量分布所決定，但是在重的物體（或天體）近旁，空間曲率應當達到其極大值。因為描述彎曲空間的性質及其與質量分布的關系的數學公式相當復雜，我沒法在這兒進行介紹。我只想提一提，這個曲率通常不是取決于一個量，而是取決于幾個不同的量，這種量一般稱為重力勢的份量gμν，它們是我們上面用W表示的古典數學學重力勢的推廣。與此相應，每一點上的曲率也由幾個不同的曲率直徑來描述，前者一般寫成Rμν，這種曲率直徑同質量分布的關系由愛因斯坦的基本多項式來描述：
式中R是另一種曲率，代表曲率起因的源項Tμν取決于密度、速度和質量所形成的引力場的其他性質。G是你們熟悉的引力常數。
這個等式早已通過研究水星的運動而得到驗證。這顆行星最緊靠太陽，因而，它的軌道最靈敏地反映出愛因斯坦基本多項式的細節，早已發覺，它的軌道的近期點（也就是這顆行星在沿其扁長橢圓形軌道運行時最接近太陽的那一點）在空間并不是固定不變的，而是每轉一圈就會系統地改變它相對于太陽的取向，這些進動，有一部份來始于其他行星的引力場對水星所起的攝動作用，有一部份可以用水星的質量因為其運動而形成的狹義相對論性增大來解釋。并且，還剩下一個很小的剩余量（每世紀43弧秒）是難以用舊的牛頓萬有引力理論來說明的，不過卻很容易用廣義相對論來解釋。
對水星的觀察連同后面所提及的其他實驗結果，都否認了我們關于廣義相對論的判定是正確的——它是才能最好地解釋我們在宇宙中實際看見的各類現象的引力理論。
在結束這篇講演之前，我想再強調多項式（12）的兩個很有意義的推論。假如我們所考慮的是一個均勻分布著質量的空間，例如像我們這個分布著星體和星體的空間，這么，我們將得出這樣一個推論：不僅在各個分開的星體附近時常出現很大的曲率以外，這個空間在正常情況下總是傾向于在大距離上均勻地彎曲。從物理上說，多項式（12）有幾種不同的解，其中有一些解相當于空間本身最后是封閉的重力加速度g等于多少，因此具有有限的容積；另一些解所代表的則是類似于鞍形面的無限空間，前者我早已在這篇講演的開頭提及過了。多項式（12）的第二個重要的結果是：這樣一些彎曲空間應當總是處在膨脹（或收縮）的狀態中，從數學學上說，這就意味著分布在這些空間中的粒子應當不斷彼此飛離（或則恰好相反，應當不斷互相靠攏）。除了這般，我們還可以證明，對于容積有限的封閉空間來說，膨脹和收縮是周期性地互相交替著的——這就是所謂脈動宇宙。并且，無限的“類鞍形”空間則一直不變地處在膨脹（或收縮）狀態中。
在物理上各類不同的可能解當中，到底哪一個解同我們所居住的空間相適應呢——這個問題只能借助對星體團的運動（包括它們彼此飛散的速率減緩的情況）進行實驗觀察來解答，或則也可以把宇宙現有的全部質量加在一起，再估算出減弱的療效會有多大。目前，天文學所得到的證據還不太明晰。并且，有一點是肯定的——我們這個空間目前正在膨脹著。不過，這些膨脹是不是有朝一日會轉弄成收縮？我們這個空間的大小到底是有限的還是無限的——這兩個問題如今都還沒有明晰的答案。
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