【題目】有一個直徑為R的半球形碗，如圖1所示，質點m的初速度v0沿碗邊切線。 碗已固定，頂部光滑。 分析粒子 m 的運動。
【解】曲面支撐的質點有兩個自由度。 而這道題的支撐力通過z軸，粒子的引力平行于z，所以粒子在z軸上的動量矩守恒，這樣就可以加上一個方程。 據(jù)報道，球的機械能是守恒的。
選擇 θ 和 φ 作為圖 1 中的兩個坐標。
繞 z 軸的動量矩守恒為：
討論
(€6) 沒有基本解。 雖然退化為初始切線速度為0什么是質點系的動量定理，但只能退化為尖擺橢圓積分（仍不是初等函數(shù)解）。
對于（€3）衍生品，我們有
它不同于單擺結果。 這應該是從不同方向取極限的結果（（9 歐元）到（10 歐元）有一個 0/??0 不確定的介紹）。
總結
解決更復雜的動力學問題需要結合三大定律（動量定律、動量矩定律和動能定律）。
在物理解釋上，三大定律都源于牛頓第二定理（發(fā)現(xiàn)過程并非如此），而如果每一個問題的“分析”都從牛頓第二定理開始，這樣的分析過程是非常繁瑣的，而第二個是真的 對牛頓第二定理的微分表達式進行積分也是一件令人討厭的事情。 從粒子的牛頓第二定理過渡到我們工程中常用的系統(tǒng)和剛性系統(tǒng)，每次也需要對粒子求和（本質上是空間積分，還需要知道排斥和反排斥的特性，理想約束等），這也是一個漫長的過程。 鑒于化學和工程中常用的粒子系統(tǒng)和質心的特殊性，可以從三定律中解釋更容易使用的具體方法，尤其是積分后的守恒公式，使用起來更方便。
動量定律和動量矩定律，以及對質點系統(tǒng)和質心解釋的剛體運動定律，質心平面運動的微分多項式都是向量的表達。 它們給出加速度（或角加速度）和力（或質心）之間的多項式。 只有外力出現(xiàn)在多項式中，所以對于這套定律，力分為內力和外力。
動能定律及其導數(shù)、機械能守恒和冪多項式是給出系統(tǒng)能量與力功之間關系的標量多項式。 只有做功的力才會出現(xiàn)在多項式中，所以對于這組定律，力分為理想約束和非理想約束。 一個系統(tǒng)只有一個動能定律多項式。 所以就目前的學習水平來說，最適合分析單自由度系統(tǒng)。 如果是多自由度系統(tǒng)，看一下，借助守恒定理，變成“偽”單自由度系統(tǒng)。
對于理論熱力學中經(jīng)常討論的單自由度系統(tǒng)，從目標來看，如果只需要速度信息，那么動能定律就足夠了。 如果目標只是加速，則使用冪多項式。 如果要估計速度和加速度，則使用動能定律（機械能守恒定律）和導數(shù)。 這時，要得到的系統(tǒng)動能的通式其實更容易寫下來。
如果要分析力，通常會用到動量定律和動量矩定律。 為了減少未知量，我們往往需要通過動能定律求解個別關鍵點的速度，從而得到該點的法向加速度。
初始瞬態(tài)問題是運動訓練中的常見類型。 其特點是初始瞬間各質點速度為零，各質心角速度為零（故速度不再用動能定律分析）。 對于這類問題，通常先分析加速度，再用動量定律和動量力矩定律分析力。
綜上所述，結合目前理論熱力學中動力學的難點，將要分析的問題大致分為兩類，一類是初始瞬態(tài)問題，一類是單自由度問題。 第一類問題比較少，技術上已經(jīng)講過了。 第二類問題是最常見的。 通常先用動能定律（或其派生定律）分析運動量什么是質點系的動量定理，再用動量定律和動量矩定律分析力的信息。
參考資料：理論卡路里強化教程。 復旦大學出版社。 2018.9