【題目】有一個直徑為R的半球形碗，如圖1所示，質點m的初速度v0沿碗邊切線。 碗已固定，頂部光滑。 分析粒子 m 的運動。
【解】曲面支撐的質點有兩個自由度。 而這道題的支撐力通過z軸，粒子的引力平行于z，所以粒子在z軸上的動量矩守恒，這樣就可以加上一個方程。 據報道，球的機械能是守恒的。
選擇 θ 和 φ 作為圖 1 中的兩個坐標。
繞 z 軸的動量矩守恒為：
討論
(€6) 沒有基本解。 雖然退化為初始切線速度為0什么是質點系的動量定理，但只能退化為尖擺橢圓積分（仍不是初等函數解）。
對于（€3）衍生品，我們有
它不同于單擺結果。 這應該是從不同方向取極限的結果（（9 歐元）到（10 歐元）有一個 0/??0 不確定的介紹）。
總結
解決更復雜的動力學問題需要結合三大定律（動量定律、動量矩定律和動能定律）。
在物理解釋上，三大定律都源于牛頓第二定理（發現過程并非如此），而如果每一個問題的“分析”都從牛頓第二定理開始，這樣的分析過程是非常繁瑣的，而第二個是真的 對牛頓第二定理的微分表達式進行積分也是一件令人討厭的事情。 從粒子的牛頓第二定理過渡到我們工程中常用的系統和剛性系統，每次也需要對粒子求和（本質上是空間積分，還需要知道排斥和反排斥的特性，理想約束等），這也是一個漫長的過程。 鑒于化學和工程中常用的粒子系統和質心的特殊性，可以從三定律中解釋更容易使用的具體方法，尤其是積分后的守恒公式，使用起來更方便。
動量定律和動量矩定律，以及對質點系統和質心解釋的剛體運動定律，質心平面運動的微分多項式都是向量的表達。 它們給出加速度（或角加速度）和力（或質心）之間的多項式。 只有外力出現在多項式中，所以對于這套定律，力分為內力和外力。
動能定律及其導數、機械能守恒和冪多項式是給出系統能量與力功之間關系的標量多項式。 只有做功的力才會出現在多項式中，所以對于這組定律，力分為理想約束和非理想約束。 一個系統只有一個動能定律多項式。 所以就目前的學習水平來說，最適合分析單自由度系統。 如果是多自由度系統，看一下，借助守恒定理，變成“偽”單自由度系統。
對于理論熱力學中經常討論的單自由度系統，從目標來看，如果只需要速度信息，那么動能定律就足夠了。 如果目標只是加速，則使用冪多項式。 如果要估計速度和加速度，則使用動能定律（機械能守恒定律）和導數。 這時，要得到的系統動能的通式其實更容易寫下來。
如果要分析力，通常會用到動量定律和動量矩定律。 為了減少未知量，我們往往需要通過動能定律求解個別關鍵點的速度，從而得到該點的法向加速度。
初始瞬態問題是運動訓練中的常見類型。 其特點是初始瞬間各質點速度為零，各質心角速度為零（故速度不再用動能定律分析）。 對于這類問題，通常先分析加速度，再用動量定律和動量力矩定律分析力。
綜上所述，結合目前理論熱力學中動力學的難點，將要分析的問題大致分為兩類，一類是初始瞬態問題，一類是單自由度問題。 第一類問題比較少，技術上已經講過了。 第二類問題是最常見的。 通常先用動能定律（或其派生定律）分析運動量什么是質點系的動量定理，再用動量定律和動量矩定律分析力的信息。
參考資料：理論卡路里強化教程。 復旦大學出版社。 2018.9