旋轉不停的陀螺可算是最古老也是最普及的民間玩具了（圖1）。河南葉縣西陰村出土的屬于仰韶文化的陶制陀螺，以及浙江杭州圩墩舊址出土的陀螺，它們的歷史少說也有五千年了。關于陀螺最早的文字記載為宋朝宮庭內流行的稱為“千千”的陀螺玩具。前文提及的《帝京景物略》中除表述“楊柳兒活，抽陀螺”的京城民間風俗以外定點轉動的動量矩定理，對陀螺的構造和玩法也有詳盡的描述：
“陀螺者，木質如小空鐘，中實而無柄，繞以鞭之繩而無竹尺，卓于地，急掣其鞭。一掣，陀螺則轉，無聲也。視其緩而鞭之，轉轉無復往。轉之疾，正如卓立地上，頂光旋旋，影不動也。”
圖1抽陀螺
陀螺是我國各民族的共同喜愛。打陀螺在哈薩克、佤族、瑤族、哈尼族、苗族、壯族留傳已久，是逢年過年的一項傳統娛樂活動。全省少數民族傳統體育運動會已將打陀螺列為大賽項目。在西方，陀螺作為閑暇玩意兒最早出現于唐代希臘和羅馬社會。14世紀西班牙的一些鄉民將抽陀螺作為過冬的體育活動。英國的毛利人在喪禮上轉動發雜音的陀螺。世界各地的玩具店里能看到各類各樣的陀螺玩具。
陀螺的魅力在于，它一旦旋轉上去就直立不倒。各類陀螺游戲就是用鞭鞭打或用絲線抽拉等方式使得它不停頓地旋轉。將接觸點O視為定點，陀螺就是前文中表述的拉格朗日情形質心定點運動。它的直立不倒現象根據陀螺的進動性能夠作出簡單解釋：當陀螺繞直立的極軸旋轉時，若有擾動使極軸相對地垂線Z軸偏離微小角度，則重力形成對支點的扭矩M，其方向垂直于Z軸和陀螺極軸z組成的平面。設L為陀螺相對O點的動量矩，依據動量矩定律：
dL/dt=M(1)
陀螺繞極軸快速轉動時，動量矩矢量L與極軸方向一致。式(1)中右側的矢量行列式等于矢量L的端點速率，它與扭矩矢量M相等，方向相同。于是陀螺受擾后極軸不會朝重力方向傾倒，而是朝與重力呈90度的水平方向運動，偏離Z軸的角度則保持不變。表現出質心的載流子軸z圍繞固定軸Z的圓柱運動，這些運動形態稱為質心的規則進動（）（圖2）。
圖2陀螺的規則進動
1765年歐拉（Euler,L）（圖3）為推論質心定點運動的動力學多項式，構建了以剛體Oc為原點，與質心土體的直角座標系(Oc-xyz)，x,y,z各座標軸為質心的慣性主軸。如質心為軸對稱體，則以z軸為對稱軸。再完善以固定點O為原點的定參考座標系(O-XYZ)。則質心的位置由(Oc-xyz)與(O-XYZ)之間的相對位置確定。為易于剖析，將(Oc-xyz)的原點Oc移到與定點O重合。歐拉提出用3個角度座標表示座標系之間的相對位置。方式是先構想(O-xyz)與(O-XYZ)完全重合，之后繞OZ軸轉過ψ角，再繞Ox軸的新位置轉過θ角，最后再繞Oz軸轉過φ角后抵達質心的實際位置（圖4）。3個角度座標ψ,θ,φ彰顯了質心繞定點轉動的3個自由度，分別名為進動角、章動角和載流子角，也稱為歐拉角。
圖3歐拉（Euler,L.1707-1783）圖4歐拉角
借助歐拉角可對規則進動給出更準確的定義：質心的章動角θ保持常值θ0，進動角ψ和載流子角φ隨時間勻速下降的運動稱為規則進動。就陀螺而言，令OZ軸為沿重力方向的垂直軸，則規則進動表現為質心在繞極軸Oz旋轉的同時，極軸圍繞垂直軸作圓柱運動。θ0=0是一種特殊的規則進動，此時極軸與垂直軸重合，重力對支點的扭矩等于零，其直立旋轉的狀態才能繼續維持。旋轉不倒的陀螺看上去似乎已“入定”，有的文獻形象地稱之為入眠的陀螺(top)。
關于抖空竹的博文里提及過的歐拉情形質心也可能出現規則進動。雙輪空竹的高頻異響就是章動角θ極小的規則進動。因為是因慣性形成，可稱之為“自由規則進動”，以區別于上述拉格朗日質心因重扭力形成的“強迫規則進動”。
規則進動也是宇宙空間中天體的一種運動形式。以月球為例，月球繞極軸Oz的角速率即自轉角速率，以24小時為周期。將月球的公轉軸，即黃軸作為OZ軸，Oz軸相對OZ軸偏轉的章動角θ0約為23.50。月球沿黃道繞OZ軸公轉定點轉動的動量矩定理，周期為一年。在此過程中，因極軸Oz的方向固定不變，不符合上述規則進動的定義。但實際上極軸的方向并非仍然不變，只是由于變化非常平緩而無法察覺。Oz軸的方向改變造成立秋點位置的變化，其聯通速率非常平緩，須要漫長的25700年才會在公轉軌道即黃道上聯通一周。換言之，月球的規則進動周期為25700年。天體熱學上將月球的這些特殊規則進動稱為“歲差”。據悉，月球的章動角θ0也不是恒定不變，因為太陽和地球的引力影響，θ0以角秒級的幅度作微幅周期性波動。
如上所述，陀螺繞垂直軸旋轉時能夠直立不倒，取決于受擾后是否形成規則進動。依據經驗，陀螺的規則進動與怠速密切相關。旋轉中的陀螺會因支點的磨擦造成減速，當怠速增長到一定程度時，規則進動即不能維持，章動角會逐步減小直到傾倒。因而才須要不停鞭打以維持陀螺的怠速。除怠速以外，質心的質量分布情況是另一重要誘因，并非任何物體都能成為陀螺。例如捻轉一只鋼筆，無論使多大勁讓它快轉都不可能讓它直立不倒。可見對陀螺的運動還須作更深入的剖析。
假設陀螺的支點O位置固定，暫不考慮地面的磨擦。設陀螺的質量為m，剛體Oc至支點O的距離為l，陀螺的赤道力矩矩，即相對Ox軸和Oy軸的轉動力矩為A，陀螺的極力矩矩，即相對Oz軸的轉動力矩為C，陀螺繞Oz軸勻速旋轉的角速率為ω0，Oz軸偏離OZ軸的角度為θ0。剖析表明，上述規則進動僅在旋轉角速率滿足ω0>ω0,cr條件時才可能存在。ω0,cr為ω0的臨界角速率：
ω0,cr=(2/C)(θ0)1/2(2)
推論過程可參閱原文的注釋或文獻[1]。對于極軸在垂直軸附近時的規則進動，近似令θ0=0，臨界角速率ω0,cr簡化為(2/C)(Amgl)1/2。因為ω0,cr與陀螺的極力矩矩C成正比，陀螺愈瘦削，C愈小，ω0,cr就愈大。對于像鋼筆這些質量幾乎全部集中在極軸上的狹長質心，C接近于零，則ω0,cr接近于無限大。于是再大的怠速也不可能使它直立穩定旋轉。
圖5旋轉彈丸的穩定性
上述關于陀螺穩定性的剖析也適用于旋轉彈丸的穩定性。槍彈或子彈在飛行過程中，與速率v接近平行但方向相反的空氣動力合力F相當于陀螺的重力，其作用點Oa在剛體Oc的前方，對力偶Oc形成沉沒轉矩，會使彈丸不停翻滾影響彈道的確切性（圖5）。為防止此現象，受旋轉陀螺的啟發，讓彈丸在飛行中旋轉是一項重大技術革新。于是在槍炮的內鏜出現了來復線，出鏜后的彈丸被迫繞自身的軸線旋轉。當旋轉角速率小于公式(2)表示的臨界值時，飛行中的彈丸在空氣動力作用下也會做規則進動。將速率v的方向作為OZ軸，與陀螺的規則進動類似，彈丸的規則進動表現為圍繞軌道切線的圓柱運動。
參考文獻：[1]劉延柱.高等動力學(第二版).南京：高等教育出版社，2016
（基于：劉延柱.趣味質心動力學(第2版).上海：高等教育出版社，2018，第1.4節）
