旋轉(zhuǎn)不停的陀螺可算是最古老也是最普及的民間玩具了（圖1）。河南葉縣西陰村出土的屬于仰韶文化的陶制陀螺，以及浙江杭州圩墩舊址出土的陀螺，它們的歷史少說(shuō)也有五千年了。關(guān)于陀螺最早的文字記載為宋朝宮庭內(nèi)流行的稱為“千千”的陀螺玩具。前文提及的《帝京景物略》中除表述“楊柳兒活，抽陀螺”的京城民間風(fēng)俗以外定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理，對(duì)陀螺的構(gòu)造和玩法也有詳盡的描述：
“陀螺者，木質(zhì)如小空鐘，中實(shí)而無(wú)柄，繞以鞭之繩而無(wú)竹尺，卓于地，急掣其鞭。一掣，陀螺則轉(zhuǎn)，無(wú)聲也。視其緩而鞭之，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)無(wú)復(fù)往。轉(zhuǎn)之疾，正如卓立地上，頂光旋旋，影不動(dòng)也。”
圖1抽陀螺
陀螺是我國(guó)各民族的共同喜愛(ài)。打陀螺在哈薩克、佤族、瑤族、哈尼族、苗族、壯族留傳已久，是逢年過(guò)年的一項(xiàng)傳統(tǒng)娛樂(lè)活動(dòng)。全省少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)已將打陀螺列為大賽項(xiàng)目。在西方，陀螺作為閑暇玩意兒最早出現(xiàn)于唐代希臘和羅馬社會(huì)。14世紀(jì)西班牙的一些鄉(xiāng)民將抽陀螺作為過(guò)冬的體育活動(dòng)。英國(guó)的毛利人在喪禮上轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)雜音的陀螺。世界各地的玩具店里能看到各類各樣的陀螺玩具。
陀螺的魅力在于，它一旦旋轉(zhuǎn)上去就直立不倒。各類陀螺游戲就是用鞭鞭打或用絲線抽拉等方式使得它不停頓地旋轉(zhuǎn)。將接觸點(diǎn)O視為定點(diǎn)，陀螺就是前文中表述的拉格朗日情形質(zhì)心定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。它的直立不倒現(xiàn)象根據(jù)陀螺的進(jìn)動(dòng)性能夠作出簡(jiǎn)單解釋：當(dāng)陀螺繞直立的極軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，若有擾動(dòng)使極軸相對(duì)地垂線Z軸偏離微小角度，則重力形成對(duì)支點(diǎn)的扭矩M，其方向垂直于Z軸和陀螺極軸z組成的平面。設(shè)L為陀螺相對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩，依據(jù)動(dòng)量矩定律：
dL/dt=M(1)
陀螺繞極軸快速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)量矩矢量L與極軸方向一致。式(1)中右側(cè)的矢量行列式等于矢量L的端點(diǎn)速率，它與扭矩矢量M相等，方向相同。于是陀螺受擾后極軸不會(huì)朝重力方向傾倒，而是朝與重力呈90度的水平方向運(yùn)動(dòng)，偏離Z軸的角度則保持不變。表現(xiàn)出質(zhì)心的載流子軸z圍繞固定軸Z的圓柱運(yùn)動(dòng)，這些運(yùn)動(dòng)形態(tài)稱為質(zhì)心的規(guī)則進(jìn)動(dòng)（）（圖2）。
圖2陀螺的規(guī)則進(jìn)動(dòng)
1765年歐拉（Euler,L）（圖3）為推論質(zhì)心定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)多項(xiàng)式，構(gòu)建了以剛體Oc為原點(diǎn)，與質(zhì)心土體的直角座標(biāo)系(Oc-xyz)，x,y,z各座標(biāo)軸為質(zhì)心的慣性主軸。如質(zhì)心為軸對(duì)稱體，則以z軸為對(duì)稱軸。再完善以固定點(diǎn)O為原點(diǎn)的定參考座標(biāo)系(O-XYZ)。則質(zhì)心的位置由(Oc-xyz)與(O-XYZ)之間的相對(duì)位置確定。為易于剖析，將(Oc-xyz)的原點(diǎn)Oc移到與定點(diǎn)O重合。歐拉提出用3個(gè)角度座標(biāo)表示座標(biāo)系之間的相對(duì)位置。方式是先構(gòu)想(O-xyz)與(O-XYZ)完全重合，之后繞OZ軸轉(zhuǎn)過(guò)ψ角，再繞Ox軸的新位置轉(zhuǎn)過(guò)θ角，最后再繞Oz軸轉(zhuǎn)過(guò)φ角后抵達(dá)質(zhì)心的實(shí)際位置（圖4）。3個(gè)角度座標(biāo)ψ,θ,φ彰顯了質(zhì)心繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的3個(gè)自由度，分別名為進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角和載流子角，也稱為歐拉角。
圖3歐拉（Euler,L.1707-1783）圖4歐拉角
借助歐拉角可對(duì)規(guī)則進(jìn)動(dòng)給出更準(zhǔn)確的定義：質(zhì)心的章動(dòng)角θ保持常值θ0，進(jìn)動(dòng)角ψ和載流子角φ隨時(shí)間勻速下降的運(yùn)動(dòng)稱為規(guī)則進(jìn)動(dòng)。就陀螺而言，令OZ軸為沿重力方向的垂直軸，則規(guī)則進(jìn)動(dòng)表現(xiàn)為質(zhì)心在繞極軸Oz旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，極軸圍繞垂直軸作圓柱運(yùn)動(dòng)。θ0=0是一種特殊的規(guī)則進(jìn)動(dòng)，此時(shí)極軸與垂直軸重合，重力對(duì)支點(diǎn)的扭矩等于零，其直立旋轉(zhuǎn)的狀態(tài)才能繼續(xù)維持。旋轉(zhuǎn)不倒的陀螺看上去似乎已“入定”，有的文獻(xiàn)形象地稱之為入眠的陀螺(top)。
關(guān)于抖空竹的博文里提及過(guò)的歐拉情形質(zhì)心也可能出現(xiàn)規(guī)則進(jìn)動(dòng)。雙輪空竹的高頻異響就是章動(dòng)角θ極小的規(guī)則進(jìn)動(dòng)。因?yàn)槭且驊T性形成，可稱之為“自由規(guī)則進(jìn)動(dòng)”，以區(qū)別于上述拉格朗日質(zhì)心因重扭力形成的“強(qiáng)迫規(guī)則進(jìn)動(dòng)”。
規(guī)則進(jìn)動(dòng)也是宇宙空間中天體的一種運(yùn)動(dòng)形式。以月球?yàn)槔虑蚶@極軸Oz的角速率即自轉(zhuǎn)角速率，以24小時(shí)為周期。將月球的公轉(zhuǎn)軸，即黃軸作為OZ軸，Oz軸相對(duì)OZ軸偏轉(zhuǎn)的章動(dòng)角θ0約為23.50。月球沿黃道繞OZ軸公轉(zhuǎn)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理，周期為一年。在此過(guò)程中，因極軸Oz的方向固定不變，不符合上述規(guī)則進(jìn)動(dòng)的定義。但實(shí)際上極軸的方向并非仍然不變，只是由于變化非常平緩而無(wú)法察覺(jué)。Oz軸的方向改變?cè)斐闪⑶稂c(diǎn)位置的變化，其聯(lián)通速率非常平緩，須要漫長(zhǎng)的25700年才會(huì)在公轉(zhuǎn)軌道即黃道上聯(lián)通一周。換言之，月球的規(guī)則進(jìn)動(dòng)周期為25700年。天體熱學(xué)上將月球的這些特殊規(guī)則進(jìn)動(dòng)稱為“歲差”。據(jù)悉，月球的章動(dòng)角θ0也不是恒定不變，因?yàn)樘?yáng)和地球的引力影響，θ0以角秒級(jí)的幅度作微幅周期性波動(dòng)。
如上所述，陀螺繞垂直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)能夠直立不倒，取決于受擾后是否形成規(guī)則進(jìn)動(dòng)。依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，陀螺的規(guī)則進(jìn)動(dòng)與怠速密切相關(guān)。旋轉(zhuǎn)中的陀螺會(huì)因支點(diǎn)的磨擦造成減速，當(dāng)?shù)∷僭鲩L(zhǎng)到一定程度時(shí)，規(guī)則進(jìn)動(dòng)即不能維持，章動(dòng)角會(huì)逐步減小直到傾倒。因而才須要不停鞭打以維持陀螺的怠速。除怠速以外，質(zhì)心的質(zhì)量分布情況是另一重要誘因，并非任何物體都能成為陀螺。例如捻轉(zhuǎn)一只鋼筆，無(wú)論使多大勁讓它快轉(zhuǎn)都不可能讓它直立不倒?？梢妼?duì)陀螺的運(yùn)動(dòng)還須作更深入的剖析。
假設(shè)陀螺的支點(diǎn)O位置固定，暫不考慮地面的磨擦。設(shè)陀螺的質(zhì)量為m，剛體Oc至支點(diǎn)O的距離為l，陀螺的赤道力矩矩，即相對(duì)Ox軸和Oy軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為A，陀螺的極力矩矩，即相對(duì)Oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為C，陀螺繞Oz軸勻速旋轉(zhuǎn)的角速率為ω0，Oz軸偏離OZ軸的角度為θ0。剖析表明，上述規(guī)則進(jìn)動(dòng)僅在旋轉(zhuǎn)角速率滿足ω0>ω0,cr條件時(shí)才可能存在。ω0,cr為ω0的臨界角速率：
ω0,cr=(2/C)(θ0)1/2(2)
推論過(guò)程可參閱原文的注釋或文獻(xiàn)[1]。對(duì)于極軸在垂直軸附近時(shí)的規(guī)則進(jìn)動(dòng)，近似令θ0=0，臨界角速率ω0,cr簡(jiǎn)化為(2/C)(Amgl)1/2。因?yàn)棣?,cr與陀螺的極力矩矩C成正比，陀螺愈瘦削，C愈小，ω0,cr就愈大。對(duì)于像鋼筆這些質(zhì)量幾乎全部集中在極軸上的狹長(zhǎng)質(zhì)心，C接近于零，則ω0,cr接近于無(wú)限大。于是再大的怠速也不可能使它直立穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)。
圖5旋轉(zhuǎn)彈丸的穩(wěn)定性
上述關(guān)于陀螺穩(wěn)定性的剖析也適用于旋轉(zhuǎn)彈丸的穩(wěn)定性。槍彈或子彈在飛行過(guò)程中，與速率v接近平行但方向相反的空氣動(dòng)力合力F相當(dāng)于陀螺的重力，其作用點(diǎn)Oa在剛體Oc的前方，對(duì)力偶Oc形成沉沒(méi)轉(zhuǎn)矩，會(huì)使彈丸不停翻滾影響彈道的確切性（圖5）。為防止此現(xiàn)象，受旋轉(zhuǎn)陀螺的啟發(fā)，讓彈丸在飛行中旋轉(zhuǎn)是一項(xiàng)重大技術(shù)革新。于是在槍炮的內(nèi)鏜出現(xiàn)了來(lái)復(fù)線，出鏜后的彈丸被迫繞自身的軸線旋轉(zhuǎn)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速率小于公式(2)表示的臨界值時(shí)，飛行中的彈丸在空氣動(dòng)力作用下也會(huì)做規(guī)則進(jìn)動(dòng)。將速率v的方向作為OZ軸，與陀螺的規(guī)則進(jìn)動(dòng)類似，彈丸的規(guī)則進(jìn)動(dòng)表現(xiàn)為圍繞軌道切線的圓柱運(yùn)動(dòng)。
參考文獻(xiàn)：[1]劉延柱.高等動(dòng)力學(xué)(第二版).南京：高等教育出版社，2016
（基于：劉延柱.趣味質(zhì)心動(dòng)力學(xué)(第2版).上海：高等教育出版社，2018，第1.4節(jié)）
