概括
本文首先利用時空區(qū)間的不變性和一些簡單的線性代數(shù)知識推導洛倫茲變換和四維向量。 最后，討論并論證了相對論中如何定義力和動量，這是教科書和科學文獻中沒有討論和論證的。
四維動量的前三個維度定義為動量，動量相對于時間的導數(shù)定義為力。 但有一個問題，即動量定義的合理性尚未得到討論和證明。 力和動量不能任意定義。 因為只有正確的定義才能保證當我們用恒定的力加速物體時，如果我們的感官足夠靈敏和復雜的話，動量會以恒定的速度增加。 經(jīng)典力學中無需討論，因為經(jīng)典力學中力與加速度成正比，力在前，動量在后。 但在相對論力學中，先有動量，后有力，這恰恰相反。 因此，討論和論證相對論中力和動量的定義非常重要。
另外，同樣的物理過程不依賴于時空點，這意味著洛倫茲變換一定是線性變換，因此我們可以利用時空的不變性推導出洛倫茲變換和四維向量區(qū)間和一些簡單的線性代數(shù)知識。
介紹
在經(jīng)典物理學中，時間和空間是相互獨立的。 在不同的參考系中，滿足空間分離不變性，且不影響時間。 例如，一根桿子的長度無論在什么參照系下測量都是固定的。然而，由于電動力學的發(fā)展，麥克斯韋提出了與電磁學相關(guān)的四個微分方程，形成了時間和長度等權(quán)重的方程組。空間。 因此，從經(jīng)典時空的角度來看，方程組不再滿足從一個參考系到另一個參考系的協(xié)方差。 所謂協(xié)方差，直觀地解釋為物理定律不會因為參考系的切換而改變。 從數(shù)學上講，這意味著運動方程的形式在不同的參考系中是一致的。 狹義相對論和廣義相對論分別由愛因斯坦于1905年和1915年提出。
我們知道，物理書籍和科學文獻中對力的定義如下
begin{} bm{F}=frac{dbm{P}}{dt} =frac{d(m_{0}frac{bm{}}{sqrt{1-frac {^{2}}{c^{2}}}})}{dt} =frac{m_{0}d(frac{bm{}}{sqrt{1-frac{ ^{2}}{c^{2}}}})}{dt} end{}
其中bm{P}表示物體四維動量的前三個維度； m_{0}表示物體的固有質(zhì)量，即靜止質(zhì)量； bm{} 表示物體的速度； 表示物體的速度，即速度的大?。? c代表光速。
但有一個問題，即動量定義的合理性尚未得到討論和證明。 力和動量不能任意定義。 因為只有正確的定義才能保證當我們用恒定的力加速物體時，如果我們的感官足夠敏感和復雜的話，動量會以恒定的速度增加。 但歷史文獻和教科書未能證明這一定義的合理性。
經(jīng)典力學中無需討論，因為經(jīng)典力學中力與加速度成正比，力在前，動量在后。 但在相對論力學中，動量在前，力在后動量守恒定律定義，這恰恰相反。 因此，討論和證明相對論中力和動量的定義具有重要意義。
另外，洛倫茲變換和四維向量的求導也可以有更簡單的方法，因為同一個物理過程不依賴于時空點，這意味著洛倫茲變換一定是線性變換，所以我們可以使用時空區(qū)間不變性和一些簡單的線性代數(shù)來得出這些結(jié)論。
在第二節(jié)和第三節(jié)中，我們首先使用了一種新的方法——時空區(qū)間不變性來推導狹義相對論的結(jié)論，這種方法更簡單、更自然。 在第四節(jié)中，我們討論并演示相對論中力和動量是如何定義的。
利用時空區(qū)間不變性推導洛倫茲變換
本節(jié)使用一種新的方法——時空區(qū)間不變性和一些簡單的線性代數(shù)知識來推導狹義相對論的結(jié)論。
在經(jīng)典力學中，滿足空間區(qū)間不變性。 由于時間和空間在相對論中具有同等的權(quán)重，因此應(yīng)滿足兩個事件之間的時空間隔不變性——即兩個事件之間的時空間隔在不同的參考系中保持不變。 ，時空間隔定義如下
begin{} c^{2}(Deltatau)^{2}=-[(Delta x)^{2}+(Delta y)^{2}+(Delta z)^{2 }-c^{2}(Delta t)^{2}] end{}
一方面，嚴格來說，時空間隔不變性已經(jīng)包含了光速不變的原理。因為當Deltatau=0時，無論我們處于哪個慣性系，都有
begin{} v=frac{sqrt{(Delta x)^{2}+(Delta y)^{2}+(Delta z)^{2}}}{Delta t}=c 結(jié)尾{}
這意味著光速在任何慣性系中都不會改變。
正是由于空間和時間間隔的不變性，才能保證空間和時間的因果結(jié)構(gòu)。 否則，在一個參考系中，兩件事同時在不同的地方發(fā)生，且瞬時空間間隔不大于零，光子無法在這兩個事件之間建立聯(lián)系。 本來沒有因果關(guān)系，但當變換到另一個參考系時，時空間隔小于零，光子就能在兩者之間建立聯(lián)系。 即當一個事件發(fā)生時，光子離開發(fā)生地，在另一個事件發(fā)生前傳播到另一個事件發(fā)生地，建立了兩個事件之間的因果關(guān)系，破壞了時空的因果結(jié)構(gòu)，從而產(chǎn)生了矛盾。
在狹義相對論中，時空間隔可以用矩陣來表示，即
begin{} left( begin{array}{cccc} Delta x & Delta y & Delta z & cDelta t \ end{array} right) left( begin{array}{ cccc} 1 & 0& 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \ end{array} right) left( 開始{數(shù)組}{c} Delta x\ Delta y \ Delta z\ cDelta t \ end{array} right) end{}
在
begin{} G= left( begin{array}{cccc}1 & 0& 0 & 0 \0 & 1 & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & 0 \0 & 0 & 0 & - 1 \ end{數(shù)組} right) end{}
是慣性時空的度量矩陣。 這個空間稱為閔可夫斯基空間。 在歐幾里得空間中，正交變換使向量的長度保持恒定。 閔可夫斯基空間是一個不定空間，但是有相應(yīng)的偽正交變換，保持向量長度不變，實時空間間隔不變。與歐幾里得空間類似動量守恒定律定義，為了保證向量長度不變從一個慣性系切換到另一個慣性系后，變換后的度量矩陣保持不變，這顯然等價于A滿足
開始{} A^{T}GA=G 結(jié)束{}
為了簡單起見，假設(shè)移動參考系沿靜止參考系的x軸以勻速bm{}直線移動，并且y和z方向不受影響，我們可以得到
begin{} A= left{ begin{array}{c} left( begin{array}{cccc}coshtheta & 0 & 0 & sinhtheta \0 & 1 & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & 0 \sinhtheta & 0 & 0 & coshtheta \ end{array} right) \ left( begin{array}{cccc}cosh theta & 0 & 0 & sinhtheta \0 & 1 & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & 0 \-sinhtheta & 0 & 0 & -coshtheta \ end {array} right) \ left( begin{array}{cccc}-coshtheta & 0 & 0 & -sinhtheta \0 & 1 & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & 0 \sinhtheta & 0 & 0 & coshtheta \ end{array} right) end{array} right。 結(jié)尾{}
在
begin{} coshtheta=gamma=frac{1}{sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}}geq1, sinhtheta= pmsqrt{gamma^{2}-1} end{}
后兩種形式是不可行的，因為結(jié)合物理現(xiàn)實，時空只能發(fā)生偽旋轉(zhuǎn)，而不能發(fā)生時空反轉(zhuǎn)。 因此，只能采用第一種形式。將其寫成方程，我們可以得到
begin{} Delta x'=gamma(Delta xpmfrac{}{c}cDelta t)\ cDelta t'=gamma(pmfrac{}{c }Delta x+cDelta t) end{}
這是不同慣性系之間的變換，稱為洛倫茲變換。
現(xiàn)在我們將上面提到的 τ 定義為固有的，當它是參考系中兩個事件之間的時間間隔（其中兩個事件發(fā)生在同一位置）或者可以將其視為綁定到運動粒子的時鐘間隔。
根據(jù)
begin{} c^{2}(Delta tau)^{2}=-[(Delta x)^{2}+(Delta y)^{2}+(Delta z)^{2 }-c^{2}(Delta t)^{2}] end{}
可用的
begin{} frac{Deltatau}{Delta t}=sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}=frac{1}{gamma} leq 1 end{}
通過洛倫茲變換，我們發(fā)現(xiàn)了時間和空間的相對性。例如，如果一列火車以速度bm沿x軸行駛，對于火車上不同時間、同一地點發(fā)生的兩個事件，兩個事件之間的時間間隔之間的關(guān)系是
begin{} Delta t'=gammaDelta t end{}
其中t'為地面慣性參考系中的時間，t為列車慣性參考系中的時間。 地面上測量的時間間隔比火車上測量的時間間隔長。 地面上的人會感覺火車上的所有物理過程，包括人的新陳代謝都會減慢。 這就是著名的慢時鐘效應(yīng)。 當然，運動是相對的，所以火車上的人也會感覺到地面上的物理過程變慢了。
當測量火車上沿運動方向放置在地面上并同時與地面相對靜止的桿時，我們有
begin{} Delta x'=gammaDelta x end{}
也就是說，火車上的人測量的橫桿在地面上的長度比人在地面上測量的橫桿的長度短。 這就是所謂的規(guī)?？s小效應(yīng)。 這是因為火車上的人同時讀取桿子兩端兩個坐標的動作對于地面上的人來說是不同的時間，導致地面上的空間間隙較大。
利用時空區(qū)間不變性推導四維不變量
洛倫茲變換表達式的第二個公式可以寫為
begin{} cDelta t'=gamma(pmfrac{}{c}VDelta t+cDelta t) end{}
在
begin{} V=frac{Delta x}{Delta t} end{}
是物體相對于火車的速度。我們用它除以洛倫茲變換的第一個公式得到
begin{} '=frac{+V}{1+frac{ V}{c^{2}}} end{}
這就是相對論速度的綜合公式。 也就是說，第二個物體相對于第一個物體的速度為，第三個物體相對于第二個物體的速度為V，那么第三個物體相對于第一個物體的速度是'。 當然，這是兩個速度共線的情況。 非共線的情況可以通過向量分解和合成來解決。
當然，還有另一種推導相對論速度合成公式的方法。因為矢量
begin{} (Delta x, Delta y, Delta z, cDelta t)^{T} end{}
是一個在洛倫茲變換下長度不變的向量，Deltatau 是固有的時間間隔并且是不變的，所以
begin{} (frac{Delta x}{Deltatau}, frac{Delta y}{Deltatau}, frac{Delta z}{Deltatau}, cfrac {Delta t}{Deltatau})^{T} end{}
也是模長度恒定的向量，因此根據(jù)
begin{} (frac{Delta x'}{Deltatau}, frac{Delta y'}{Deltatau}, frac{Delta z'}{Deltatau}, cfrac{Delta t'}{Deltatau})^{T}=A(frac{Delta x}{Deltatau}, frac{Delta y}{Deltatau} , frac{Delta z}{Deltatau}, cfrac{Delta t}{Deltatau})^{T} end{}
也可得到上述速度合成公式。
因為
begin{} (frac{Delta x}{Deltatau}, frac{Delta y}{Deltatau}, frac{Delta z}{Deltatau}, cfrac {Delta t}{Deltatau})^{T} end{}
洛倫茲變換下長度恒定。因此，對于內(nèi)稟質(zhì)量為 m_{0} 的粒子，其四動量定義為
begin{} P=(m_{0}frac{Delta x}{Deltatau}, m_{0}frac{Delta y}{Deltatau}, m_{0}frac{ Delta z}{Deltatau}, m_{0}cfrac{Delta t}{Deltatau})^{T}\ =(m_{0}gammafrac{Delta x {Delta t}，m_{0}gammafrac{Delta y}{Delta t}，m_{0}gammafrac{Delta z}{Delta t}，m_{0}伽瑪 cfrac{Delta t}{Delta t})^{T}\ =(frac{m_{0}{x}}{sqrt{1-frac{^{2}} {c^{2}}}}，frac{m_{0}{y}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}}，frac{ m_{0}{z}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}}, frac{m_{0}c}{sqrt{1-壓裂{^{2}}{c^{2}}}})^{T} end{}
由于m_{0}是不變的，所以洛倫茲變換下四動量模塊的長度也是不變的。 這種不變性稱為四動量守恒。
力和動量的推導
我們可以將力定義為加速度乘以慣性參考系中相對于物體靜止的物體的內(nèi)在質(zhì)量。 這個定義的原因很簡單，因為這個定義對于每個慣性參考系都是相同的，沒有哪個慣性參考系是特殊的。 然后我們可以將該表達式恢復到一般慣性參考系，以獲得力的合理定義。
當我們將物體的速度從加速到'時，為了簡單起見，我們假設(shè)和'共線。根據(jù)相對論速度的綜合公式，在瞬時相對靜止的慣性參考系中觀察到的速度變化一個對象是：
begin{} Delta bm{bar{}}=frac{bm{}'-bm{}}{1-frac{bm{}}{c}cdot frac{bm{}'}{c}}=frac{Deltabm{}}{1-frac{bm{}}{c}cdotfrac{bm{} '}{c}}dbar{bm{}}=frac{dbm{}}{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2} }} 結(jié)尾{}
根據(jù)洛倫茲變換的表達式，我們有
begin{} Delta t=frac{\Delta x'}{c^{2}sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}}+frac{ Delta t'}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}} =frac{Delta t'}{sqrt{1-frac{^{ 2}}{c^{2}}}} 結(jié)束{}
其中t是靜止參考系中的時間，t'是相對于物體相對靜止的慣性參考系中的時間。因此，在物體以瞬時速度運動的慣性系中，物體的速度為為零，其加速度為
begin{} bm{a}=frac{dbm{bar{}}}{dt'}=frac{dbm{}}{sqrt{(1-frac{ ^{2}}{c^{2}})^{3}}dt} =frac{dfrac{bm{}}{sqrt{1-frac{^{2}}{ c^{2}}}}}{dt} end{}
所以我們可以得到一般坐標下的力為
begin{} bm{F}=m_{0}bm{a}=m_{0}frac{dbm{bar{}}}{dt'}=frac{m_{0} dfrac{bm{}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}}}{dt}=frac{dfrac{m_{0} bm{}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}}}{dt}=frac{dbm{P}}{dt} end {}
至此我們已經(jīng)證明了四維動量的前三個維度
begin{} bm{P}=frac{m_{0}bm{}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}} end{ }
是動量的合理定義。
能量和質(zhì)能方程的推導
動能
begin{} dE_{k}=bm{F}cdot dbm{s}=frac{dbm{P}}{dt}cdotbm{}dt=bm{} dbm{P} = m_{0}bm{}d{frac{bm{}}{sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{ 2}}}}}結(jié)束{}
因此，速度為 bm{} 的物體的動能
begin{} E_{k}=int_{0}^{E_{k}}dE_{k}=int_{0}^{}m_{0}bm{}d{frac{ bm{}}{sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}}}}\ =m_{0}{frac{bm{} ^{2}}{sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}}}}|_{0}^{}-int_{0}^ {}m_{0}{frac{bm{}}{sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}}}}dbm{ } \ =m_{0}{frac{bm{}^{2}}{sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}} }}|_{0}^{}-frac{1}{2}int_{0}^{}m_{0}{frac{dbm{}^{2}}{ sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}}}}\ =m_{0}{frac{bm{}^{2}}{ sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}}}}|_{0}^{}+frac{1}{2}int_{0} ^{}m_{0}c^{2}{frac{d(-frac{bm{}^{2}}{c^{2}})}{sqrt{1-frac {bm{}^{2}}{c^{2}}}}}\ =m_{0}{frac{bm{}^{2}}{sqrt{1-frac {bm{}^{2}}{c^{2}}}}}|_{0}^{}+m_{0}c^{2}sqrt{1-frac{bm {}^{2}}{c^{2}}}|_{0}^{}\ =frac{m_{0}c^{2}}{sqrt{1-frac{ {}^{2}}{c^{2}}}}-m_{0}c^{2} end{}
因此，我們將物體的運動質(zhì)量定義為
begin{} m=frac{m_{0}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}} end{}
那么動能可以表示為
begin{} E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2} end{}
當速度遠小于光速時，即
