當物體平移和旋轉時，各有一個守恒量：平移-動量，旋轉-角動量。
動量用于研究平移運動，角動量用于研究旋轉。 研究用于平移的速度，研究用于旋轉的表面速度（表面速度在勻速圓周運動期間退化為角速度）。 研究平移力和旋轉力。
關鍵是，為什么？
我們先看翻譯。 要研究物體在力作用下的運動，不妨從沒有力的情況開始。 這正是牛頓第一定律的內容：自由物體（即不受力的物體）將保持靜止或勻速直線運動，直到有外力迫使它發生改變。 這意味著不受力的物體將處于“穩態”，其運動狀態保持不變。 什么是運動狀態？ 這是速度。 靜止或勻速直線運動，簡單來說就是速度不變，或者說加速度為零。
當沒有外力作用時，它處于穩定狀態。 當施加力時，穩??態會被打破，即速度發生變化，即加速度不為零，加速度與力成正比，也就是眾所周知的公式F=ma= m dv/dt。 這就是牛頓第二定律所揭示的內容。
旋轉呢？ 物體為什么會旋轉？ 因為它是受力的影響，具體來說，是某種向心力的作用。 因此，可以用牛頓第二定律來分析。 但問題是，似乎有一種更方便的方法。
自轉問題的研究首先源于對天體運動的分析。 雖然行星由于恒星的引力而不斷改變運動狀態，但行星運動有固定的周期和穩定的軌道，不能不說是“穩態”。 這種“穩態”與牛頓第一定律中描述的自由物體的“穩態”頗為相似，但顯然又不完全相同。 牛頓第一定律中的“穩態”暫稱為“平移穩態”。 我們已經知道它可以用速度這個物理量來表示。 這種穩定狀態意味著速度不會改變。 那么用什么物理量來描述物體在向心力作用下旋轉所對應的固定周期固定軌道的“旋轉穩態”呢？
我們先來看看勻速圓周運動。 最初，人們認為天體都做勻速圓周運動，因為勻速圓周運動是最簡單的自轉形式。 做勻速圓周運動的物體，雖然速度方向始終在變化，但其大小卻保持不變。 旋轉穩態可以用速度的絕對值來描述嗎？ 能。 但還有一個更合適的物理量，那就是角速度。 盡管繞力中心做圓周運動的物體的速度方向始終在變化動量守恒定律發現者，但單位時間內旋轉的角度保持不變，并且始終是同一方向（即順時針或逆時針）。 這找到了在勻速圓周運動中保持不變的守恒量。
角速度w和速度v之間的關系為v=w×r。 用速度來描述平移運動狀態，用角速度來描述旋轉運動狀態。 繼續與平移牛頓定律類比，由于F=m dv/dt，則有r×F= r×(m dv/dt)= r×md(w×r)/dt。 由于旋轉軸是固定的，我們可以知道向量相乘的結果是絕對值的乘積，r×(w×r)=r^2w。 所以r×F=mr^2dw/dt。 給r×F的量起個名字，叫矩，記為M，也給mr^2起個名字，叫慣性矩，記為I。至此，我們得到了“轉動牛頓定律”勻速圓周運動，與平移下的牛頓定律完全相似。 即：①不施加扭矩時，角速度保持不變； ②角速度的變化，即角加速度與力矩M=I dw/dt成正比。 它非常一致和整潔。
但這樣做有什么好處呢？ 難道只是為了好看嗎？
當然不是。 利用角速度和扭矩的概念，可以在不使用牛頓第二定律的情況下分析向心力，而僅研究其他力的影響，即使它顯然受到向心力的作用。 也就是說，求出物理量角速度w，在向心力作用下能保持不變。 因此，相應地構造了物理量扭矩M。 其含義是從“力”的概念中提取出向心力的部分，從而得到真正能夠改變角速度的力的部分。 即，表達式M=I dw/dt。
為什么可以做到這一點？ 看數學表達式，用徑向向量r與力向量相交，豈不是消除了平行于r的部分（俗稱徑向分量）而保留了平行于r的部分（俗稱切向分量） ？ 什么是徑向分量？ 不是向心力嗎？ 因此，你可以忽略已知的向心力的影響，把你的手拿開去研究其他力的影響。 而如果除了向心力之外沒有其他力，物體就會保持穩定狀態。 這種穩態由一個不變的物理量來描述，即角速度w。
不變性，俗稱守恒量。 物理學一直在尋找這樣的量。
不幸的是，現實并不像想象的那么完美。 進一步觀察發現，沒有一個天體按完美的圓形軌道運行，而且每個天體都不同。 速度不僅方向不斷變化，大小也時時變化。 角速度不再是一個守恒量。 那么，天體的運行有什么規律可尋嗎？
有。 這不能不說一下偉大的開普勒。 開普勒花了十多年的時間，從他的導師第谷十多年的觀測數據中總結出了我們所知的開普勒三定律。 其中，開普勒第二定律：連接太陽和太陽系中運動行星的連線（徑向矢量）在相等的時間內掃過相等的面積。 由此，可以引入物理量，即表面掠射速度。 根據牛頓力學可以證明，如果一個物體受到一個中心力的作用，那么該物體繞力心的掃掠速度是恒定的； 而不受力的自由粒子（因此它必須以勻速直線運動）圍繞任何給定點運動時，表面掠過的速度是恒定的。
表面掠射速度是我們真正尋找的旋轉守恒量。 角速度只是當旋轉恰好是勻速圓周運動時的特例。
我們先看看不加力的情況：如下圖a。 由于勻速直線運動，粒子每固定時間前進的距離是相同的。 雖然連接粒子到固定點O的線的長度（即徑向矢量r）不斷變化，但直徑矢量垂直于速度方向（圖中的OH）的分量保持不變。 因此，單位時間內徑向矢量掃過的面積（掃面三角形）是等底、等高的三角形族。 它們的面積顯然相等，即掠面速度恒定，始終為 1/2 rvsin θ。 用矢量表示，就是掠面速度s=1/2r×v。
（圖片選自趙開華老師的《新概念物理教程·力學》）
我們用精神力來看一下情況：如上圖b所示，在第一個時間間隔dt內，物體以一定的初速度從A移動到B。 在接下來的時間間隔內，如果物體不受力，它將繼續沿AB方向前進。 對于到 C 的相同距離，AB=BC。
這與前面討論的勻速直線運動的情況相同。 △OAB和△OBC的面積相等。 但由于中心力的作用，物體也會產生BO與C'平行方向的位移。 CC'∥BO。
夾在兩條平行線OB和CC'之間的△OBC和△OBC'具有相同的底OB和高度CD、C'D'，因此它們的面積相等。 因此，△OAB和△OBC'的面積也相等，即表面掠射速度保持不變。
以此類推動量守恒定律發現者，可以看出掠地速度將始終保持不變。
對比以上兩種情況，我們可以發現，中心力作用下的運動與勻速直線運動的區別在于，中心力每時每刻都被“拉”向重心。 但由于“拉”的方向與前一時刻的徑向矢量平行，因此不會改變掠射三角形的面積，因此掠射面的速度保持不變。
至此，我們已經得到：當物體受到中心力作用時，其在力心連線上的表面掠過速度保持不變，即表面加速度為零。 這是從力學原理推導出來的，不是經驗歸納的，所以它是定理而不是定律。 我們稱之為開普勒第二定理。
開普勒第二定理擴大和縮小了牛頓第一定律的范圍。 牛頓第一定律發現了一個不變量或守恒量——速度v，但它不會永遠改變，只有當力為零時才會改變。 開普勒第二定理發現了另一個守恒量——掠地速度 r 保持不變。 它們都是一定的守恒量，一個只適用于力為零的情況，另一個適用于沒有力和有精神力的情況。 適用的情況更多，所以開普勒第二定理拓寬了牛頓第一定律的范圍。 但在擴大范圍的同時，對節約數量的要求也變得更加嚴格。 因為守恒量不再是速度，而是徑向矢量與速度的叉積r×v，即掠地速度。 所以說它縮小了牛頓第一定律的范圍。
由于開普勒第二定律與牛頓第一定律如此相似，因此完全可以用精神力量構造出“牛頓第二定律”和“牛頓第三定律”。 由于動量可以由速度和質量的乘積構建，因此也可以用精神力構建“動量”。 下面列出：
其余的與和平動態相同。 但有一點不同：在平移的情況下，質心系統的總動量為零；在平移的情況下，質心系統的總動量為零；在平移的情況下，質心系統的總動量為零。 在旋轉的情況下，質心系統的總角動量可能不為零，即具有自旋角動量。 以后有機會我會再討論這個問題。
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