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運(yùn)動(dòng)是在時(shí)間（t）空間（r：位置向量）中進(jìn)行的動(dòng)量守恒定律公式推導(dǎo)，因此需要一個(gè)函數(shù)r=r(t)來連接r和t，這就是運(yùn)動(dòng)方程。 又因?yàn)樾枰齻€(gè)自變量r、v、a來描述運(yùn)動(dòng)，但v=dr/dt且a=dv/dt，所以知道運(yùn)動(dòng)方程就可以預(yù)測物體任意時(shí)刻的狀態(tài)。問題是如何找到運(yùn)動(dòng)方程，F(xiàn)=ma 是
-du/dr=m(d^2)r/(dt)^2
告訴我們一切都只是為了解決偏微分方程。
下面我將用微積分（九陽真經(jīng)）和F=ma（宇宙大挪移）來推導(dǎo)大部分力學(xué)公式。
主要參考書籍：
1. 等
2.力學(xué)與理論力學(xué)。 楊衛(wèi)紅
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我們先從最簡單的勻加速運(yùn)動(dòng)開始：
【方法一】
【方法二】
【方法三】
接下來，將討論不同坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述。
這些內(nèi)容都很基礎(chǔ)，一定要合上書，能夠獨(dú)立推演。
主要工具是微積分和向量代數(shù)
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【直角坐標(biāo)系】
【自然坐標(biāo)系】
如下圖所示，經(jīng)過dt時(shí)間后，物體從P點(diǎn)移動(dòng)到Q點(diǎn)，
【極坐標(biāo)系】
如下圖所示，經(jīng)過dt時(shí)間后，物體從P點(diǎn)移動(dòng)到Q點(diǎn)。
下面是加速度的推導(dǎo)：
下面開始推演經(jīng)典力學(xué)最精彩的章節(jié)——萬有引力定律。
我將帶你領(lǐng)略山頂?shù)臒o限風(fēng)光。
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我將分以下幾個(gè)步驟來介紹：
1 均勻球體引力場模型
2. 一個(gè)蘋果引發(fā)的想法
-----利用向心力推導(dǎo)出萬有引力定律
3.利用萬有引力推導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)三大定律
4.利用三大定律推導(dǎo)出萬有引力定律
【注】：三大定律可以推導(dǎo)出萬有引力定律，也就是說距離萬有引力只有半步之遙。 真可惜！ 然而，沒有微積分作為工具，就不可能揭開“秘密”。
第谷·布拉赫將20多年來觀察到的數(shù)千條數(shù)據(jù)歸納為三個(gè)簡潔的定律，但他未能進(jìn)一步推論出更簡潔、優(yōu)美、普遍的萬有引力定律。 破譯隱藏在三大法則背后的秘密就落在了你的肩上。
我們首先考慮步驟 2：
2. 一個(gè)蘋果引發(fā)的想法
---利用向心力推導(dǎo)出萬有引力定律
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考慮月球繞地球的運(yùn)動(dòng)和撞擊頭部的蘋果
考慮下面的第一步。 事實(shí)上，在上面推導(dǎo)萬有引力定律的過程中，使用了一個(gè)假設(shè)：即把地球視為一個(gè)粒子，所有質(zhì)量都集中在地心。 下面我們給出嚴(yán)格的證明：
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1 均勻球體引力場模型
如下圖，左為球面坐標(biāo)變換圖，右為單位粒子的地球引力場模型：
下面是球坐標(biāo)變換和對應(yīng)的行列式
從上面我們發(fā)現(xiàn)，在F=ma之前，人類甚至很難理解最簡單的自由落體運(yùn)動(dòng)。 F=ma之后，情況就完全不同了。 可以說，最復(fù)雜的機(jī)械動(dòng)作盡在掌握。
萬有引力定律的發(fā)表被推遲了6年。 據(jù)說是由于地球半徑和地月距離的誤差造成的。 另外，它是上述均勻球體的引力場模型的解。 因此，物理學(xué)科對數(shù)學(xué)的要求比較高。 可以說，數(shù)學(xué)是物理的內(nèi)功。
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我們來談?wù)剶?shù)學(xué)吧。
我們先來看看微積分。
有了微積分和F=ma，任何有才華的人都可以推導(dǎo)出大部分力學(xué)公式。
同樣，微積分中也有一些最基本的概念和定理。
上述極限的定義是整個(gè)分析的基礎(chǔ)，也是最基本的概念。 像陶哲軒這樣的天才，僅僅依靠極限的定義就可以推導(dǎo)出微積分的所有結(jié)論和公式！
對于一般學(xué)術(shù)碩士，需要加上如下泰勒()公式：
因此，在普通學(xué)者眼中：泰勒公式+極限定義=微積分的全部
對于像我們這樣的凡人，我們需要添加另一個(gè) () 公式：
事實(shí)真的是這樣嗎？ 其實(shí)還有一些更重要的結(jié)論：那就是實(shí)數(shù)的連續(xù)性（或完備性）！
首先，我們看一下極限的定義。
您可以自己進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，找出高等數(shù)學(xué)中直接或間接依賴于極限定義的定理、結(jié)論或公式。 你會驚訝地發(fā)現(xiàn)...
這個(gè)定義怎么強(qiáng)調(diào)都不為過，如果你真正掌握了極限，微積分就是小菜一碟！
很多概念都是用極限來定義的，比如：連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等，而大多數(shù)定理公式的證明都依賴于極限的定義！
然而動(dòng)量守恒定律公式推導(dǎo)，對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，只要求他們能夠計(jì)算極限，卻不太重視用極限定義來證明這樣一把天劍，或許是因?yàn)榘嗉壍南拗啤?span style="display:none">NHa物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
我們來看看()公式。
這個(gè)公式可以說是計(jì)算機(jī)和我們?nèi)祟愔g計(jì)算的基礎(chǔ)。 僅使用紙和筆，我們只能進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算。 計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行加法和移位運(yùn)算，對其他運(yùn)算無能為力。 這個(gè)公式正好解決了這個(gè)問題。 學(xué)過高等數(shù)學(xué)的同學(xué)可能會發(fā)現(xiàn)，有一種切線法也可以用來計(jì)算，但這種方法也依賴于公式。
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關(guān)于公式，我摘錄一段來結(jié)束討論：“我們不想說得太絕對，但至少我們可以說：使用一變量微積分中的定理和技術(shù)可以解決的大多數(shù)問題都可以是使用公式解決。 來解決它。 掌握了定理之后，再回頭看看之前的理論。 仿佛一切都在你的掌控之中，給你一種“身在山頂，一覽眾山小”的意境。 從這個(gè)意義上來說，說該公式是單變量微分學(xué)的巔峰之作也不為過。”
好了，斯托克斯公式就在這里登場了。 其實(shí)上面已經(jīng)出現(xiàn)了，但是因?yàn)檫@個(gè)公式太重要了，所以我再列出來：
上面的公式極其簡潔，極其美觀。 更重要的是，它結(jié)合了一變量函數(shù)的牛頓-萊布尼茨(-)公式、多變量函數(shù)的格林公式、高斯公式和高斯公式。 Tox()公式全部統(tǒng)一。 - 一變量函數(shù)的公式連接定積分、不定積分和微分（導(dǎo)數(shù)）； 而格林公式、高斯公式和多元函數(shù)公式則鏈接多重積分、第一類和第二類曲線積分以及曲面積分。 所以它也有著極其深刻的內(nèi)涵。
總結(jié)一下：該公式簡單、優(yōu)美、深刻，是整個(gè)微積分中最重要的公式。
下面詳細(xì)介紹該公式如何統(tǒng)一牛頓萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。
最后 - 公式：
綜上所述，牛頓萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的統(tǒng)一形式為：
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【闡明】：
上面介紹了微分形式、微分形式的外積、微分形式的外微分。 具體定義這里不再贅述！
讓我們回到物理學(xué)。
根據(jù)之前的討論
我利用向心力和F=ma推導(dǎo)出了萬有引力定律，然后利用萬有引力定律推導(dǎo)出了行星運(yùn)動(dòng)三大定律。
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考慮下面地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)：
以太陽為直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的原點(diǎn)，
【以下是第一定律的推導(dǎo)】
【最后我們看一下第三定律的推導(dǎo)】
以上就是利用萬有引力定律推導(dǎo)行星運(yùn)動(dòng)三大定律的整個(gè)過程。
接下來反其道而行之，利用行星運(yùn)動(dòng)三定律推導(dǎo)出萬有引力定律。
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早些時(shí)候，我們利用運(yùn)動(dòng)定律推導(dǎo)出著名的萬有引力定律。
面積定律意味著角動(dòng)量守恒，軌道定律指出向心力是引力，周期律定量地描述了力的大小。
萬有引力定律是人類歷史上最成功的數(shù)學(xué)模型之一。 最受關(guān)注的話題之一是海王星的發(fā)現(xiàn)。 它是利用萬有引力通過純數(shù)學(xué)推理得出的，被稱為“筆尖上的發(fā)現(xiàn)”。
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好了，現(xiàn)在我們已經(jīng)完成了經(jīng)典力學(xué)最難部分的推導(dǎo)。 這是山頂。 我保證剩下的都會走下坡路。 其他公式的推導(dǎo)都比較簡單。
【方程可以推導(dǎo)出二體運(yùn)動(dòng)方程，二體運(yùn)動(dòng)方程相當(dāng)于運(yùn)動(dòng)三定律】
我們來推導(dǎo)出力學(xué)中三個(gè)極其重要的守恒定律：動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、角動(dòng)量守恒定律。
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1、1951年，德國數(shù)學(xué)家Weyl提出了【對稱性】的嚴(yán)格定義，在數(shù)學(xué)上可以描述為【群】。 在物理學(xué)中，對稱性就是不變性，例如：
力學(xué)定律在變換下保持不變；
電磁定律在變換下保持不變。
麥克斯韋方程組是如此優(yōu)雅和深刻，以至于他們堅(jiān)信力學(xué)定律在變換下應(yīng)該保持不變。 因此，就有了狹義相對論——它可以簡單地認(rèn)為是對力學(xué)公式的修改，使其在變換下保持不變。 變性人。
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2、客觀世界存在以下一些對稱性，如：時(shí)間平移對稱性、空間平移對稱性（或空間均勻性）、空間旋轉(zhuǎn)對稱性（或空間各向同性）。
1918年，德國數(shù)學(xué)家諾特嚴(yán)格證明了每一個(gè)對稱性都對應(yīng)著一個(gè)守恒定律。 喜歡：
時(shí)間平移對稱性——能量守恒定律；
空間平移對稱性——?jiǎng)恿渴睾愣桑?span style="display:none">NHa物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
空間旋轉(zhuǎn)對稱——角動(dòng)量守恒定律。
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3、動(dòng)量守恒是數(shù)學(xué)家笛卡爾提出的；
機(jī)械能守恒是由數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的；
角動(dòng)量守恒隱含在開普勒第二定律中。
接下來我們尋找力學(xué)中的不變量（）。
【注】：我們這里不是求對稱性，而是利用運(yùn)動(dòng)三定律。
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我們先來看【動(dòng)量守恒定律】。
接下來看【能量守恒定律】
我們先對動(dòng)量和動(dòng)能做一個(gè)簡單的比較，然后再進(jìn)行角動(dòng)量守恒定律的推導(dǎo)。
我們開始推導(dǎo)角動(dòng)量守恒定律
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一般來說，教科書都是從求不變量開始的，所以這里不再贅述。 眾所周知，表面掠射速度是一個(gè)不變量。
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