前面已經(jīng)說過了
建立對計(jì)算電磁學(xué)更加“系統(tǒng)”的理解，將有助于電磁CAEer站在更高的視角，審視我們平時(shí)使用的各種電磁CAE軟件以及適合不同計(jì)算場景的各種電磁應(yīng)用。 計(jì)算算法，這一直是作者希望做但還沒有做的事情。 直到去年筆者看到胡軍教授在“電子波傳播年會”上發(fā)表的會議報(bào)告，記憶不由得被拉回到8年前的“計(jì)算電磁學(xué)”。 在課堂上，筆者始終對他“清晰的敘述邏輯、縝密的推理過程、謙遜溫和的語氣”印象深刻。 我覺得通過這個(gè)視頻來系統(tǒng)回顧一下電磁計(jì)算方法的發(fā)展是非常有意義的。 追蹤這些計(jì)算電磁學(xué)巨頭的研究足跡，了解這段波瀾壯闊的歷史，將是非常有意義的。
全文的編寫主要依據(jù)胡軍教授的會議報(bào)告和金建明教授的著作《計(jì)算電磁學(xué)（第二版）》。 胡軍教授會議演講視頻如下：
金建明，伊利諾伊大學(xué)厄巴納-香檳分校（UIUC）電氣與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院羅元智講席教授，IEEE電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)室和計(jì)算電磁學(xué)中心主任。 著有《The in, Third》和《and in》； 他與人合著了《of》、《of and》和《Fast and in》，并被 ISI 列入高被引作者名單。 作者之前關(guān)于計(jì)算電磁學(xué)的文章還包括《計(jì)算電磁學(xué)》一書的參考譯文。 全書體系完整，層次清晰，文字簡潔，可讀性好。
文章附件提供了全文涵蓋的各種電磁計(jì)算方法的“經(jīng)典專著”和“開創(chuàng)性著作”，方便有興趣進(jìn)一步探索的讀者深入學(xué)習(xí)。 點(diǎn)擊文末“閱讀原文”自行下載。
文本
自從麥克斯韋方程組建立以來，一百多年來，求解已知激勵(lì)和特定邊界條件下的麥克斯韋方程組一直是人們最關(guān)心的問題之一。
圍繞麥克斯韋方程組的解，無數(shù)科研人員努力奮斗，才成就了計(jì)算電磁學(xué)現(xiàn)在的面貌。 發(fā)展歷程大致可分為四個(gè)階段：
一
第一階段：分析方法
對于結(jié)構(gòu)形式簡單的模型，依靠高超的數(shù)學(xué)技能，根據(jù)方程和邊界條件，可以計(jì)算出空間場分布，即解析解。 它的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)果是經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，結(jié)果完全正確，沒有錯(cuò)誤。 因此，它可以作為驗(yàn)證各種計(jì)算方法正確性的標(biāo)準(zhǔn)。 在RCS測試中也常被用作校準(zhǔn)體，對測試系統(tǒng)進(jìn)行校準(zhǔn)。
1908年，米氏通過均勻球體給出了平面波散射的嚴(yán)格解（米氏理論）。 具體理論推導(dǎo)可參考蔣昌銀1996年發(fā)表在《無線電波科學(xué)學(xué)報(bào)》上的論文。
利用CST仿真軟件的時(shí)域求解器()計(jì)算球的寬帶單站RCS：球的半徑為50mm，計(jì)算頻率為0.1GHz~20GHz，參考文獻(xiàn)對求解結(jié)果進(jìn)行劃分： 1）0.1GHz~1GHz頻段，波長遠(yuǎn)大于球體半徑，為瑞利區(qū)。 此時(shí)，單站RCS隨著頻率的增加而迅速增加； 2）在1GHz~10GHz頻段，波長相當(dāng)于半徑，即米氏區(qū)，單站RCS隨頻率增加而增大。 頻率增加并呈現(xiàn)振蕩波動； 3）10GHz~，波長遠(yuǎn)小于半徑，為光區(qū)，單站RCS隨頻率變化基本穩(wěn)定。
采用FEKO仿真軟件計(jì)算金屬球在單頻點(diǎn)（10GHz）下的兩站RCS。 兩站RCS的分布形式與之前文章介紹的陣列天線的方向圖有些相似，但與感知上的感知有所不同。 ，其最大散射方向不是向后，而是向前，即與入射電磁波方向相同。 這就是科幻小說《三體》中利用太陽作為無線電放大器的理論依據(jù)嗎，哈哈。
“收斂”的由來——方程與解”，正如《方程與解》中提到的，球體等規(guī)則形狀的目標(biāo)，借助高超的數(shù)學(xué)技巧，仍然可以進(jìn)行解析計(jì)算。但是，一旦模型的形狀發(fā)生變化，復(fù)雜的形狀會帶來復(fù)雜的邊界條件，導(dǎo)致方程組無法解析求解。
二
第二階段：近似方法
在那個(gè)“計(jì)算能力”尚未發(fā)達(dá)的時(shí)代，無法實(shí)現(xiàn)“全波模擬”這樣的精確計(jì)算方法。 近似方法因其“計(jì)算能力要求”較低而被廣泛使用，其中幾何光學(xué)算法（GO）和物理光學(xué)算法（PO）應(yīng)用最為廣泛。
GO（幾何光學(xué)）
幾何光學(xué)的基本思想是基于：高頻電磁波的傳播與光的傳播類似，因此可以通過光線追跡（Ray-）來解決波的傳播問題，從而使得場的振幅可以根據(jù)波前表面的形狀來確定。 顯然，采用幾何光學(xué)方法，陰影區(qū)域的場完全為零，而照明區(qū)域的場是單獨(dú)的入射場或入射場與反射場的疊加。 完全忽略物體邊緣和割理的衍射場，總場有兩個(gè)非物理不連續(xù)點(diǎn)：一個(gè)在亮區(qū)和陰影區(qū)的邊界處（稱為入射陰影邊界，ISB），另一個(gè)是邊界反射區(qū)域和反射無法到達(dá)的區(qū)域（稱為反射陰影區(qū)域，RSB）之間。
入射場和反射場可以通過以下公式獲得：
入射場和反射場是否設(shè)置為零取決于系數(shù)和的值：
GTD（衍射幾何理論）
我們可以在幾何光學(xué)的解中加入衍射場，以提高幾何光學(xué)解的精度，從而產(chǎn)生了衍射幾何理論（GTD）。 GO 的修改衍射線在結(jié)構(gòu)不連續(xù)性和材料不連續(xù)性處以及當(dāng)電磁波入射到光滑凸表面時(shí)產(chǎn)生。 主要有以下幾種集中類型：
UTD（均勻衍射理論）
導(dǎo)出的 GTD 理論在亮區(qū)和暗區(qū)邊界兩側(cè)的過渡區(qū)域失效。 如圖所示，以無限導(dǎo)帶的散射為例，根據(jù)GTD理論，在兩個(gè)邊界處會發(fā)生無限散射。 該場與客觀事實(shí)不符，但UTD通過引入比例系數(shù)將過渡區(qū)的場控制在有限范圍內(nèi)，計(jì)算精度更高。
PO（物理光學(xué)）
另一類高頻近似技術(shù)從物理光學(xué)（PO）出發(fā)，將電大導(dǎo)體亮區(qū)表面的感應(yīng)電流密度近似為 ，而暗區(qū)的電流密度近似為 。 然后根據(jù)源場關(guān)系可以得到自由空間中的場分布：
物理光學(xué)算法廣泛用于計(jì)算反射面天線的輻射特性。 饋源采用全波算法，反射面采用PO算法。 兩種算法混合使用，對于電學(xué)大尺寸的反射面可以快速得到相對準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。
PTD（衍射物理理論）
物理光學(xué)理論（PO）近似忽略了幾何不連續(xù)性對感應(yīng)電流的影響，因此近似的感應(yīng)電流在亮區(qū)和暗區(qū)的邊界處存在不連續(xù)性。 這種不連續(xù)性會影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。 通過在電流中加入非均勻邊緣電流來提高物理光學(xué)的計(jì)算精度。 這個(gè)想法導(dǎo)致了衍射物理理論（PTD），詳細(xì)內(nèi)容可以閱讀Petr教授的書《論》。
世界著名的第一架隱身戰(zhàn)斗機(jī)F-117的隱身設(shè)計(jì)就是基于這一理論。
SBR（和光線彈跳光線算法）
結(jié)合幾何光學(xué)和物理光學(xué)的方法，開發(fā)了一種強(qiáng)大的算法來計(jì)算大規(guī)模復(fù)雜目標(biāo)的電磁散射。 這種混合技術(shù)稱為彈跳射線 (SBR) 方法。 在此方法中，源自源的入射波由指向物體的射線簇表示。 當(dāng)每條光線反彈時(shí)，都會跟蹤其相關(guān)的振幅和相位，并且反彈過程由幾何光學(xué)控制。 應(yīng)用物理光學(xué)方法在射線與目標(biāo)的每個(gè)交點(diǎn)處進(jìn)行積分，以確定射線對散射場或輻射場的貢獻(xiàn)。 最終的解是所有光線貢獻(xiàn)的總和。 該算法已實(shí)現(xiàn)并廣泛應(yīng)用于計(jì)算雷達(dá)散射特性、大型平臺上天線的輻射特性以及復(fù)雜城市環(huán)境中的電磁波傳播。
依靠CST軟件（漸進(jìn)式求解器）的SBR算法，使用個(gè)人筆記本電腦（8GHz內(nèi)存）即可完成電尺寸為200倍波長的按比例縮小的船模散射特性的計(jì)算。 計(jì)算效率可以說是相當(dāng)高了。
三
第三階段：數(shù)值方法階段
隨著電子計(jì)算機(jī)“ENIAC”的誕生以及隨后“計(jì)算能力”的快速發(fā)展，基于“數(shù)值計(jì)算”的全波分析方法也迎來了爆發(fā)式發(fā)展。 其中時(shí)域有限差分算法（FDTD）、有限元算法（FEM）和矩量法（MOM）最為完善，已成為三種最主流的電磁數(shù)值計(jì)算方法。
FDTD（時(shí)域有限差分）：
1966年，加州大學(xué)伯克利分校的Kane S. Yee教授發(fā)表了一篇關(guān)于基于交替網(wǎng)格的有限差分方程的論文。 1980年，該方法被命名為FDTD，全文被引用達(dá)8000次。 其離散對象直接是時(shí)域微分形式的方程組：
FDTD使用的離散形式也是最簡單的立方網(wǎng)格，每個(gè)立方網(wǎng)格是一個(gè)Yee單元。
每個(gè)細(xì)胞上的電場和磁場可以在笛卡爾坐標(biāo)系中分解為三個(gè)方向分量 、 和 。 上述向量形式的方程可以展開為標(biāo)量形式的方程：
從標(biāo)量形式方程可以看出，該方程包含了電場和磁場分布函數(shù)的時(shí)間微分運(yùn)算和空間微分運(yùn)算。 以電場為例，其中 代表時(shí)間的微分運(yùn)算， 代表空間的微分運(yùn)算，其中 和 ，最終都可以分解為 、 的組合，這四個(gè)微分運(yùn)算可以用下式來描述：一般表達(dá)式，可以近似為簡單的微分形式：
利用這種近似運(yùn)算，可以將電場對時(shí)間的微分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為前一時(shí)刻的電場與下一時(shí)刻的電場之間的運(yùn)算關(guān)系。 類似地，電場E的空間微分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為前一位置的電場與后一位置的電場之間的運(yùn)算關(guān)系。 因此，只要給定電磁場的初值和（初始條件）和邊界值和（邊界條件），即根據(jù)差值關(guān)系，通過不斷循環(huán)迭代，得到電磁場的和與和可以求解任意時(shí)間、任意位置的電磁場分布。
想要進(jìn)一步了解FDTD的讀者可以閱讀IEEE和西北大學(xué)教授Allen所著的教材《：The-Time-》。 教材位于《The》第629~670頁（見附件）。
MOM（矩量法）：
矩量法的基本數(shù)學(xué)概念最早于20世紀(jì)初提出。 直到20世紀(jì)60年代中期，KK Mei教授等研究人員將其引入電磁學(xué)數(shù)值計(jì)算中，才逐漸引起廣泛關(guān)注。 1968年，教授在其開創(chuàng)性的專著《Field by》中對矩量法進(jìn)行了統(tǒng)一的解釋。 此后，矩量法得到進(jìn)一步發(fā)展并廣泛應(yīng)用于解決各種重要的電磁問題。
FDTD 和 FEM 的控制方程都是基于微分形式的方程。 它們的特點(diǎn)是： 1）通過直接求解“場”（電場或磁場）滿足的方程來獲得電磁場在空間的分布； 2）求解對象為“微分型”方程。 MoM 基于完全不同的解決方案理念。
MoM算法理論主要分為兩部分：一是矩支持理論方法，主要包括“格林函數(shù)”、“源場關(guān)系”和“等價(jià)原理”三個(gè)子理論。 它們使得 MoM 算法如此獨(dú)特。 根本原因； 另一種是矩量法的計(jì)算理論，主要包括建立控制方程->離散化->匹配->矩陣求解四個(gè)步驟，與FEM或FDTD算法的求解過程沒有明顯區(qū)別。 作者在之前的文章《作為CAE設(shè)計(jì)師，你需要了解計(jì)算電磁學(xué)嗎？》中詳細(xì)演示了詳細(xì)的推理過程。 這里不再重復(fù)。
FEM（有限元）：
1969年，PP利用有限元方法分析了空心波導(dǎo)中的波傳播。 這是有限元方法首次應(yīng)用于微波工程和電磁學(xué)領(lǐng)域。
有限元方法基于頻域方程，其求解的對象是時(shí)諧電磁場。 即電磁場在時(shí)間維度上呈周期性分布，周而復(fù)始，無始無終。 時(shí)間變量自然就失去了意義，電磁場只是空間變量。 分配功能：
它采用擬合效果較好的四面體網(wǎng)格來分割解區(qū)域體積。
求解完空間離散化后，下一步就是對空間中待求解的電磁場分布進(jìn)行離散化。 核心思想是找到一組擴(kuò)展未知解的基函數(shù)：
其中 是第 j 條邊的切向分量， 是要查找的切向分量， 是相應(yīng)邊上的相應(yīng)基函數(shù)。 一旦解決了所有未知量，整個(gè)空間的電場分布就解決了。 這類似于使用三角函數(shù)來展開傅立葉級數(shù)中任何形式的周期函數(shù)。 需要做的就是求解每個(gè)基函數(shù)先前的系數(shù)。 然而，對于形狀不規(guī)則的電磁問題，找到這樣的基函數(shù)是極其困難的。 甚至不可能。 有限元方法的做法是將目標(biāo)離散成小單元（三角形、四面體），然后使用非常簡單的線性函數(shù)或二次函數(shù)來逼近該單元上的未知解。 這些簡單的基函數(shù)就是子域基函數(shù)，與上面提到的傅里葉級數(shù)展開中的全局基函數(shù)有很大不同。 利用有限元對目標(biāo)進(jìn)行離散化，根據(jù)空間Ω中電場E滿足的波動方程以及邊界Γ上滿足的邊界條件，建立子域基函數(shù)系數(shù)滿足的方程組：
該方程的未知量是子域基函數(shù)的系數(shù)，所有未知量均已求解。 整個(gè)空間的電場分布可以表示為子域函數(shù)的疊加。
想要進(jìn)一步了解FEM算法的讀者可以進(jìn)一步閱讀金建明教授的書《The in》或者John L.教授的書《For》。
四
第四階段：快速計(jì)算
傳統(tǒng)數(shù)值方法（FEM/FDTD/MOM等）精度較高，但對于復(fù)雜電大目標(biāo)，需要大量未知量進(jìn)行離散化，計(jì)算存儲量巨大，效率低下。 高頻逼近方法（GO/GTD/UTD/PO/PTD等）要求存儲容量低、計(jì)算速度快，但精度很難滿足要求。
尋找準(zhǔn)確、高效的數(shù)值建模方法是計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域備受關(guān)注的重要課題。 直到世紀(jì)之交，快速算法的出現(xiàn)及其隨后的快速發(fā)展大大降低了計(jì)算的復(fù)雜度和存儲量。 由于電子科技大學(xué)胡軍教授的電磁輻射/散射研究團(tuán)隊(duì)主攻“積分方程方法”，因此會議報(bào)告中“快速算法”的一些進(jìn)展主要圍繞“積分方程”展開。 積分方程法的主要特點(diǎn)是：
根據(jù)求解方法，快速算法可分為迭代求解技術(shù)和直接求解技術(shù)。 迭代求解技術(shù)速度較快，但在處理病態(tài)矩陣時(shí)會出現(xiàn)不收斂問題。 直接求解技術(shù)不存在收斂問題，適合處理多個(gè)右手項(xiàng)。 問題。
FMM（快速多級）：
FMM（快速多級算法）最初是由耶魯大學(xué)教授提出的，用于快速求解粒子之間的相互作用和靜態(tài)方程。 后來，WC Chew教授引入了計(jì)算電磁學(xué)，大大降低了計(jì)算復(fù)雜度和內(nèi)存消耗。 隨后，我國聶在平教授領(lǐng)導(dǎo)的團(tuán)隊(duì)在該領(lǐng)域獨(dú)立率先取得突破。
在矩量法中，矩陣向量積的計(jì)算可以等價(jià)地視為計(jì)算多個(gè)電流單元的自作用和相互作用，即計(jì)算每個(gè)電流單元輻射并被所有電流單元接收的場。 快速多級的基本思想是基于：首先將當(dāng)前元素按照其在空間中的位置分為若干組。 每組都是相互相鄰的當(dāng)前元素的集合。 然后，根據(jù)加法定理，將組中不同的當(dāng)前元素從不同的中心分離出來。 發(fā)射的輻射場轉(zhuǎn)變?yōu)閺墓仓行妮椛涞膱觥?span style="display:none">0Wq物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
作為一名 CAE 設(shè)計(jì)師，您需要了解計(jì)算電磁學(xué)嗎？ 從圖中可以看出《》中“跨省快遞”的類比：快速的多級子算法大大減少了單元之間耦合的計(jì)算量。
CG-FFT（共軛梯度快速傅立葉變換）：
歷史上為計(jì)算電磁學(xué)開發(fā)的第一個(gè)快速算法是共軛梯度快速傅里葉變換方法，由于其簡單性，該方法至今仍然是最有效的快速算法。 該算法的核心思想是將矩量法的矩陣分解為近相互作用和遠(yuǎn)相互作用兩部分。 這個(gè)思想和后來的fast subon有著相同的核心思想。
關(guān)于共軛梯度快速傅里葉變換算法（CG-FFT）更深入的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，受限于作者目前的認(rèn)知水平和精力電磁學(xué)發(fā)展史，暫時(shí)只能留下相關(guān)的研究著作和參考文獻(xiàn)。 互相鼓勵(lì)，滿足進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的需要。
以上簡單介紹了兩種基于迭代求解技術(shù)的快速算法。 有關(guān)直接求解方法和其他“快速算法”研究方向的更多信息，可以進(jìn)一步閱讀《The IEEE》雜志2013年第二期關(guān)于“快速算法”的專刊，其中介紹了當(dāng)前快速算法的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了系統(tǒng)的討論和論證。 文末附件摘錄了部分文章供閱讀。
延伸：基于積分方程的方法的一些最新進(jìn)展
由于胡軍教授的研究團(tuán)隊(duì)主要致力于“積分方程法”的研究，目前電磁計(jì)算的前沿研究“延伸”主要集中在積分方程法（IE）。
隨著電磁計(jì)算方法的日益廣泛應(yīng)用電磁學(xué)發(fā)展史，所面臨的求解問題也越來越復(fù)雜。 復(fù)雜目標(biāo)電磁建模面臨的困難主要分為以下幾個(gè)方面：
針對這些問題，主要研究思路是：1）發(fā)展區(qū)域分解方法； 2）開發(fā)直接求解器...
DDM（域分解算法）
2013年，IEEE學(xué)生、俄亥俄州立大學(xué)教授Jin-Fa Lee發(fā)表論文《A for Wave From》，并于次年獲得“最佳論文獎(jiǎng)”，引發(fā)了一陣熱潮。積分方程研究。 領(lǐng)域分解方法（IE-DDM）的研究動態(tài)。
傳統(tǒng)的積分方程方法（ ），例如我們在FEKO仿真軟件中使用的矩量法（MOM）或者基于其改進(jìn)的多層快速多級子算法（MLFMM），由于需要保持網(wǎng)格在邊緣上不會有電荷積累，所以對網(wǎng)格的要求是必須是共形的，即所有細(xì)分單元必須共享邊緣。 這就是為什么當(dāng)使用 FEKO 細(xì)分接觸模型時(shí)，需要并集以確保相鄰模型集成并保持保形條件。
網(wǎng)格共形的要求在處理一些“多尺度問題”（既包括精細(xì)結(jié)構(gòu)，也包括平面結(jié)構(gòu)）時(shí)會帶來很大的麻煩：如下圖所示，尖點(diǎn)模型的示意圖，如果需要的話更好的貼合頭部的形狀（精細(xì)結(jié)構(gòu)），細(xì)分尺寸會小，根部平坦區(qū)域的網(wǎng)格會顯得太密，網(wǎng)格數(shù)量會多。 如果按照根部平坦區(qū)域設(shè)置細(xì)分大小，則網(wǎng)格在擬合頭部區(qū)域時(shí)會造成網(wǎng)格扭曲，影響計(jì)算精度； 同時(shí)，模型表面網(wǎng)格尺寸增長過快也會導(dǎo)致矩陣性能惡化，導(dǎo)致收斂不良。
IE-DDM的思想是根據(jù)細(xì)化程度對模型進(jìn)行分類。 不同的地區(qū)按照不同的劃分規(guī)模劃分，分別計(jì)算，分而治之。 需要克服的主要困難是解決柵極不連續(xù)處的電荷積累問題。 具體的理論推演可以閱讀振鵬的原文，這里不再贅述。
文章中，作者挑戰(zhàn)了F-16戰(zhàn)斗機(jī)的電磁計(jì)算問題，其中包括天線罩、機(jī)載天線、進(jìn)氣道、掛載武器等各個(gè)部件，使得積分方程變得更加麻煩。 分別計(jì)算了戰(zhàn)斗機(jī)在3GHz和10GHz頻率下的表面電流分布。
（直接求解法）
圍繞“積分方程”方法，提出了兩種求解思路，一種類似于上述共軛梯度快速傅里葉變換算法和快速多級子算法的迭代求解方法。 此類方法計(jì)算速度快、內(nèi)存消耗小，是大多數(shù)電磁計(jì)算問題的最佳選擇。 但不適合以下情況：
當(dāng)遇到這些場景時(shí)，高效的直接求解算法可能是更好的選擇。 直接求解法圍繞散射矩陣直接進(jìn)行計(jì)算，因此不存在收斂問題。 對于有多項(xiàng)右手項(xiàng)的問題，只需要計(jì)算一種狀態(tài)，其余的狀態(tài)就可以快速給出。 因此，當(dāng)狀態(tài)較多時(shí)，這是一個(gè)很好的解決方案。 選擇。
針對“傳統(tǒng)直接求解算法”矩陣計(jì)算速度過慢、內(nèi)存消耗過大的問題，開發(fā)了高效的直接求解算法。 它們通?；诘碗A壓縮。 主要方法有：
由于詳細(xì)介紹不是筆者了解的領(lǐng)域，所以暫時(shí)不展開，留下一些相關(guān)參考資料以供后續(xù)深入學(xué)習(xí)。
總結(jié)
參考電子科技大學(xué)胡軍教授的會議演講視頻和UIUC金建明教授的《計(jì)算電磁學(xué)》一書，完成了《電磁計(jì)算方法的發(fā)展與展望》一文。 希望通過這篇文章，能夠幫助讀者更加系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。 了解計(jì)算電磁學(xué)的發(fā)展歷史和主要算法的核心概念； 另一方面，對各種電磁計(jì)算方法的開創(chuàng)性作品和經(jīng)典專著進(jìn)行了整理，這是一個(gè)促進(jìn)那些有興趣更快加深相關(guān)主題的人的入口處。