前面已經說過了
建立對計算電磁學更加“系統”的理解，將有助于電磁CAEer站在更高的視角，審視我們平時使用的各種電磁CAE軟件以及適合不同計算場景的各種電磁應用。 計算算法，這一直是作者希望做但還沒有做的事情。 直到去年筆者看到胡軍教授在“電子波傳播年會”上發表的會議報告，記憶不由得被拉回到8年前的“計算電磁學”。 在課堂上，筆者始終對他“清晰的敘述邏輯、縝密的推理過程、謙遜溫和的語氣”印象深刻。 我覺得通過這個視頻來系統回顧一下電磁計算方法的發展是非常有意義的。 追蹤這些計算電磁學巨頭的研究足跡，了解這段波瀾壯闊的歷史，將是非常有意義的。
全文的編寫主要依據胡軍教授的會議報告和金建明教授的著作《計算電磁學（第二版）》。 胡軍教授會議演講視頻如下：
金建明，伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校（UIUC）電氣與計算機工程學院羅元智講席教授，IEEE電磁學實驗室和計算電磁學中心主任。 著有《The in, Third》和《and in》； 他與人合著了《of》、《of and》和《Fast and in》，并被 ISI 列入高被引作者名單。 作者之前關于計算電磁學的文章還包括《計算電磁學》一書的參考譯文。 全書體系完整，層次清晰，文字簡潔，可讀性好。
文章附件提供了全文涵蓋的各種電磁計算方法的“經典專著”和“開創性著作”，方便有興趣進一步探索的讀者深入學習。 點擊文末“閱讀原文”自行下載。
文本
自從麥克斯韋方程組建立以來，一百多年來，求解已知激勵和特定邊界條件下的麥克斯韋方程組一直是人們最關心的問題之一。
圍繞麥克斯韋方程組的解，無數科研人員努力奮斗，才成就了計算電磁學現在的面貌。 發展歷程大致可分為四個階段：
一
第一階段：分析方法
對于結構形式簡單的模型，依靠高超的數學技能，根據方程和邊界條件，可以計算出空間場分布，即解析解。 它的優點是結果是經過嚴格的數學推導，結果完全正確，沒有錯誤。 因此，它可以作為驗證各種計算方法正確性的標準。 在RCS測試中也常被用作校準體，對測試系統進行校準。
1908年，米氏通過均勻球體給出了平面波散射的嚴格解（米氏理論）。 具體理論推導可參考蔣昌銀1996年發表在《無線電波科學學報》上的論文。
利用CST仿真軟件的時域求解器()計算球的寬帶單站RCS：球的半徑為50mm，計算頻率為0.1GHz~20GHz，參考文獻對求解結果進行劃分： 1）0.1GHz~1GHz頻段，波長遠大于球體半徑，為瑞利區。 此時，單站RCS隨著頻率的增加而迅速增加； 2）在1GHz~10GHz頻段，波長相當于半徑，即米氏區，單站RCS隨頻率增加而增大。 頻率增加并呈現振蕩波動； 3）10GHz~，波長遠小于半徑，為光區，單站RCS隨頻率變化基本穩定。
采用FEKO仿真軟件計算金屬球在單頻點（10GHz）下的兩站RCS。 兩站RCS的分布形式與之前文章介紹的陣列天線的方向圖有些相似，但與感知上的感知有所不同。 ，其最大散射方向不是向后，而是向前，即與入射電磁波方向相同。 這就是科幻小說《三體》中利用太陽作為無線電放大器的理論依據嗎，哈哈。
“收斂”的由來——方程與解”，正如《方程與解》中提到的，球體等規則形狀的目標，借助高超的數學技巧，仍然可以進行解析計算。但是，一旦模型的形狀發生變化，復雜的形狀會帶來復雜的邊界條件，導致方程組無法解析求解。
二
第二階段：近似方法
在那個“計算能力”尚未發達的時代，無法實現“全波模擬”這樣的精確計算方法。 近似方法因其“計算能力要求”較低而被廣泛使用，其中幾何光學算法（GO）和物理光學算法（PO）應用最為廣泛。
GO（幾何光學）
幾何光學的基本思想是基于：高頻電磁波的傳播與光的傳播類似，因此可以通過光線追跡（Ray-）來解決波的傳播問題，從而使得場的振幅可以根據波前表面的形狀來確定。 顯然，采用幾何光學方法，陰影區域的場完全為零，而照明區域的場是單獨的入射場或入射場與反射場的疊加。 完全忽略物體邊緣和割理的衍射場，總場有兩個非物理不連續點：一個在亮區和陰影區的邊界處（稱為入射陰影邊界，ISB），另一個是邊界反射區域和反射無法到達的區域（稱為反射陰影區域，RSB）之間。
入射場和反射場可以通過以下公式獲得：
入射場和反射場是否設置為零取決于系數和的值：
GTD（衍射幾何理論）
我們可以在幾何光學的解中加入衍射場，以提高幾何光學解的精度，從而產生了衍射幾何理論（GTD）。 GO 的修改衍射線在結構不連續性和材料不連續性處以及當電磁波入射到光滑凸表面時產生。 主要有以下幾種集中類型：
UTD（均勻衍射理論）
導出的 GTD 理論在亮區和暗區邊界兩側的過渡區域失效。 如圖所示，以無限導帶的散射為例，根據GTD理論，在兩個邊界處會發生無限散射。 該場與客觀事實不符，但UTD通過引入比例系數將過渡區的場控制在有限范圍內，計算精度更高。
PO（物理光學）
另一類高頻近似技術從物理光學（PO）出發，將電大導體亮區表面的感應電流密度近似為 ，而暗區的電流密度近似為 。 然后根據源場關系可以得到自由空間中的場分布：
物理光學算法廣泛用于計算反射面天線的輻射特性。 饋源采用全波算法，反射面采用PO算法。 兩種算法混合使用，對于電學大尺寸的反射面可以快速得到相對準確的計算結果。
PTD（衍射物理理論）
物理光學理論（PO）近似忽略了幾何不連續性對感應電流的影響，因此近似的感應電流在亮區和暗區的邊界處存在不連續性。 這種不連續性會影響計算結果的準確性。 通過在電流中加入非均勻邊緣電流來提高物理光學的計算精度。 這個想法導致了衍射物理理論（PTD），詳細內容可以閱讀Petr教授的書《論》。
世界著名的第一架隱身戰斗機F-117的隱身設計就是基于這一理論。
SBR（和光線彈跳光線算法）
結合幾何光學和物理光學的方法，開發了一種強大的算法來計算大規模復雜目標的電磁散射。 這種混合技術稱為彈跳射線 (SBR) 方法。 在此方法中，源自源的入射波由指向物體的射線簇表示。 當每條光線反彈時，都會跟蹤其相關的振幅和相位，并且反彈過程由幾何光學控制。 應用物理光學方法在射線與目標的每個交點處進行積分，以確定射線對散射場或輻射場的貢獻。 最終的解是所有光線貢獻的總和。 該算法已實現并廣泛應用于計算雷達散射特性、大型平臺上天線的輻射特性以及復雜城市環境中的電磁波傳播。
依靠CST軟件（漸進式求解器）的SBR算法，使用個人筆記本電腦（8GHz內存）即可完成電尺寸為200倍波長的按比例縮小的船模散射特性的計算。 計算效率可以說是相當高了。
三
第三階段：數值方法階段
隨著電子計算機“ENIAC”的誕生以及隨后“計算能力”的快速發展，基于“數值計算”的全波分析方法也迎來了爆發式發展。 其中時域有限差分算法（FDTD）、有限元算法（FEM）和矩量法（MOM）最為完善，已成為三種最主流的電磁數值計算方法。
FDTD（時域有限差分）：
1966年，加州大學伯克利分校的Kane S. Yee教授發表了一篇關于基于交替網格的有限差分方程的論文。 1980年，該方法被命名為FDTD，全文被引用達8000次。 其離散對象直接是時域微分形式的方程組：
FDTD使用的離散形式也是最簡單的立方網格，每個立方網格是一個Yee單元。
每個細胞上的電場和磁場可以在笛卡爾坐標系中分解為三個方向分量 、 和 。 上述向量形式的方程可以展開為標量形式的方程：
從標量形式方程可以看出，該方程包含了電場和磁場分布函數的時間微分運算和空間微分運算。 以電場為例，其中 代表時間的微分運算， 代表空間的微分運算，其中 和 ，最終都可以分解為 、 的組合，這四個微分運算可以用下式來描述：一般表達式，可以近似為簡單的微分形式：
利用這種近似運算，可以將電場對時間的微分運算轉化為前一時刻的電場與下一時刻的電場之間的運算關系。 類似地，電場E的空間微分運算轉化為前一位置的電場與后一位置的電場之間的運算關系。 因此，只要給定電磁場的初值和（初始條件）和邊界值和（邊界條件），即根據差值關系，通過不斷循環迭代，得到電磁場的和與和可以求解任意時間、任意位置的電磁場分布。
想要進一步了解FDTD的讀者可以閱讀IEEE和西北大學教授Allen所著的教材《：The-Time-》。 教材位于《The》第629~670頁（見附件）。
MOM（矩量法）：
矩量法的基本數學概念最早于20世紀初提出。 直到20世紀60年代中期，KK Mei教授等研究人員將其引入電磁學數值計算中，才逐漸引起廣泛關注。 1968年，教授在其開創性的專著《Field by》中對矩量法進行了統一的解釋。 此后，矩量法得到進一步發展并廣泛應用于解決各種重要的電磁問題。
FDTD 和 FEM 的控制方程都是基于微分形式的方程。 它們的特點是： 1）通過直接求解“場”（電場或磁場）滿足的方程來獲得電磁場在空間的分布； 2）求解對象為“微分型”方程。 MoM 基于完全不同的解決方案理念。
MoM算法理論主要分為兩部分：一是矩支持理論方法，主要包括“格林函數”、“源場關系”和“等價原理”三個子理論。 它們使得 MoM 算法如此獨特。 根本原因； 另一種是矩量法的計算理論，主要包括建立控制方程->離散化->匹配->矩陣求解四個步驟，與FEM或FDTD算法的求解過程沒有明顯區別。 作者在之前的文章《作為CAE設計師，你需要了解計算電磁學嗎？》中詳細演示了詳細的推理過程。 這里不再重復。
FEM（有限元）：
1969年，PP利用有限元方法分析了空心波導中的波傳播。 這是有限元方法首次應用于微波工程和電磁學領域。
有限元方法基于頻域方程，其求解的對象是時諧電磁場。 即電磁場在時間維度上呈周期性分布，周而復始，無始無終。 時間變量自然就失去了意義，電磁場只是空間變量。 分配功能：
它采用擬合效果較好的四面體網格來分割解區域體積。
求解完空間離散化后，下一步就是對空間中待求解的電磁場分布進行離散化。 核心思想是找到一組擴展未知解的基函數：
其中 是第 j 條邊的切向分量， 是要查找的切向分量， 是相應邊上的相應基函數。 一旦解決了所有未知量，整個空間的電場分布就解決了。 這類似于使用三角函數來展開傅立葉級數中任何形式的周期函數。 需要做的就是求解每個基函數先前的系數。 然而，對于形狀不規則的電磁問題，找到這樣的基函數是極其困難的。 甚至不可能。 有限元方法的做法是將目標離散成小單元（三角形、四面體），然后使用非常簡單的線性函數或二次函數來逼近該單元上的未知解。 這些簡單的基函數就是子域基函數，與上面提到的傅里葉級數展開中的全局基函數有很大不同。 利用有限元對目標進行離散化，根據空間Ω中電場E滿足的波動方程以及邊界Γ上滿足的邊界條件，建立子域基函數系數滿足的方程組：
該方程的未知量是子域基函數的系數，所有未知量均已求解。 整個空間的電場分布可以表示為子域函數的疊加。
想要進一步了解FEM算法的讀者可以進一步閱讀金建明教授的書《The in》或者John L.教授的書《For》。
四
第四階段：快速計算
傳統數值方法（FEM/FDTD/MOM等）精度較高，但對于復雜電大目標，需要大量未知量進行離散化，計算存儲量巨大，效率低下。 高頻逼近方法（GO/GTD/UTD/PO/PTD等）要求存儲容量低、計算速度快，但精度很難滿足要求。
尋找準確、高效的數值建模方法是計算電磁學領域備受關注的重要課題。 直到世紀之交，快速算法的出現及其隨后的快速發展大大降低了計算的復雜度和存儲量。 由于電子科技大學胡軍教授的電磁輻射/散射研究團隊主攻“積分方程方法”，因此會議報告中“快速算法”的一些進展主要圍繞“積分方程”展開。 積分方程法的主要特點是：
根據求解方法，快速算法可分為迭代求解技術和直接求解技術。 迭代求解技術速度較快，但在處理病態矩陣時會出現不收斂問題。 直接求解技術不存在收斂問題，適合處理多個右手項。 問題。
FMM（快速多級）：
FMM（快速多級算法）最初是由耶魯大學教授提出的，用于快速求解粒子之間的相互作用和靜態方程。 后來，WC Chew教授引入了計算電磁學，大大降低了計算復雜度和內存消耗。 隨后，我國聶在平教授領導的團隊在該領域獨立率先取得突破。
在矩量法中，矩陣向量積的計算可以等價地視為計算多個電流單元的自作用和相互作用，即計算每個電流單元輻射并被所有電流單元接收的場。 快速多級的基本思想是基于：首先將當前元素按照其在空間中的位置分為若干組。 每組都是相互相鄰的當前元素的集合。 然后，根據加法定理，將組中不同的當前元素從不同的中心分離出來。 發射的輻射場轉變為從公共中心輻射的場。
作為一名 CAE 設計師，您需要了解計算電磁學嗎？ 從圖中可以看出《》中“跨省快遞”的類比：快速的多級子算法大大減少了單元之間耦合的計算量。
CG-FFT（共軛梯度快速傅立葉變換）：
歷史上為計算電磁學開發的第一個快速算法是共軛梯度快速傅里葉變換方法，由于其簡單性，該方法至今仍然是最有效的快速算法。 該算法的核心思想是將矩量法的矩陣分解為近相互作用和遠相互作用兩部分。 這個思想和后來的fast subon有著相同的核心思想。
關于共軛梯度快速傅里葉變換算法（CG-FFT）更深入的數學推導，受限于作者目前的認知水平和精力電磁學發展史，暫時只能留下相關的研究著作和參考文獻。 互相鼓勵，滿足進一步深入學習的需要。
以上簡單介紹了兩種基于迭代求解技術的快速算法。 有關直接求解方法和其他“快速算法”研究方向的更多信息，可以進一步閱讀《The IEEE》雜志2013年第二期關于“快速算法”的專刊，其中介紹了當前快速算法的研究現狀進行了系統的討論和論證。 文末附件摘錄了部分文章供閱讀。
延伸：基于積分方程的方法的一些最新進展
由于胡軍教授的研究團隊主要致力于“積分方程法”的研究，目前電磁計算的前沿研究“延伸”主要集中在積分方程法（IE）。
隨著電磁計算方法的日益廣泛應用電磁學發展史，所面臨的求解問題也越來越復雜。 復雜目標電磁建模面臨的困難主要分為以下幾個方面：
針對這些問題，主要研究思路是：1）發展區域分解方法； 2）開發直接求解器...
DDM（域分解算法）
2013年，IEEE學生、俄亥俄州立大學教授Jin-Fa Lee發表論文《A for Wave From》，并于次年獲得“最佳論文獎”，引發了一陣熱潮。積分方程研究。 領域分解方法（IE-DDM）的研究動態。
傳統的積分方程方法（ ），例如我們在FEKO仿真軟件中使用的矩量法（MOM）或者基于其改進的多層快速多級子算法（MLFMM），由于需要保持網格在邊緣上不會有電荷積累，所以對網格的要求是必須是共形的，即所有細分單元必須共享邊緣。 這就是為什么當使用 FEKO 細分接觸模型時，需要并集以確保相鄰模型集成并保持保形條件。
網格共形的要求在處理一些“多尺度問題”（既包括精細結構，也包括平面結構）時會帶來很大的麻煩：如下圖所示，尖點模型的示意圖，如果需要的話更好的貼合頭部的形狀（精細結構），細分尺寸會小，根部平坦區域的網格會顯得太密，網格數量會多。 如果按照根部平坦區域設置細分大小，則網格在擬合頭部區域時會造成網格扭曲，影響計算精度； 同時，模型表面網格尺寸增長過快也會導致矩陣性能惡化，導致收斂不良。
IE-DDM的思想是根據細化程度對模型進行分類。 不同的地區按照不同的劃分規模劃分，分別計算，分而治之。 需要克服的主要困難是解決柵極不連續處的電荷積累問題。 具體的理論推演可以閱讀振鵬的原文，這里不再贅述。
文章中，作者挑戰了F-16戰斗機的電磁計算問題，其中包括天線罩、機載天線、進氣道、掛載武器等各個部件，使得積分方程變得更加麻煩。 分別計算了戰斗機在3GHz和10GHz頻率下的表面電流分布。
（直接求解法）
圍繞“積分方程”方法，提出了兩種求解思路，一種類似于上述共軛梯度快速傅里葉變換算法和快速多級子算法的迭代求解方法。 此類方法計算速度快、內存消耗小，是大多數電磁計算問題的最佳選擇。 但不適合以下情況：
當遇到這些場景時，高效的直接求解算法可能是更好的選擇。 直接求解法圍繞散射矩陣直接進行計算，因此不存在收斂問題。 對于有多項右手項的問題，只需要計算一種狀態，其余的狀態就可以快速給出。 因此，當狀態較多時，這是一個很好的解決方案。 選擇。
針對“傳統直接求解算法”矩陣計算速度過慢、內存消耗過大的問題，開發了高效的直接求解算法。 它們通常基于低階壓縮。 主要方法有：
由于詳細介紹不是筆者了解的領域，所以暫時不展開，留下一些相關參考資料以供后續深入學習。
總結
參考電子科技大學胡軍教授的會議演講視頻和UIUC金建明教授的《計算電磁學》一書，完成了《電磁計算方法的發展與展望》一文。 希望通過這篇文章，能夠幫助讀者更加系統的學習。 了解計算電磁學的發展歷史和主要算法的核心概念； 另一方面，對各種電磁計算方法的開創性作品和經典專著進行了整理，這是一個促進那些有興趣更快加深相關主題的人的入口處。