動能定理是否有某個方向的分量方程？
我在知乎上看到這個問題：動能定理可以用在水平方向和垂直方向嗎？ 答案是肯定的。 但從知乎上的回答來看，我自己的學生也有類似的疑惑。
那么針對這個問題，我打算詳細的講一下這個過程。 讓我們從一個示例問題開始。
例題選自彭占軍老師撰寫的《中學物理教學參考（高中、初中）》2019年第12期論文《用合成法確定場強時要小心》。
------我先用彭占軍老師論文中的觀點來解釋一下動能定理的分量方程的使用，然后再談談論文中的不足之處或者值得討論的地方---- --
示例 1：將質量為 m 的物體靜止放置在光滑的水平桌子上。 在互相成60°角的兩個相等的水平恒定力的作用下，經過一段時間后，物體獲得速度v，在力的方向上獲得的速度為v_{1}，那么多少這段時間做功是由其中一種力量做的嗎？
解1：因為v=2v_{1}cos30°，所以v_1=frac{v}{sqrt{3}}，在v_{1}方向，將動能定理應用到物體上，我們有W_{ F1}= frac{1}{2}mv_{1}^{2}=frac{1}{2}m(frac{v}{sqrt{3}})^{2}=frac {1}{ 6}mv^{2} ，因此，W_{F1}= W_{F2}=frac{1}{6}mv^{2} 。
解二：將動能定理應用到物體上動能定理公式，則有W_{F1}+W_{F2}=frac{1}{2}mv^{2}-0，
因為W_{F1}=W_{F2}，所以W_{F1}=W_{F2}=frac{1}{4}mv^{2}。
顯然方案2沒有問題，那么方案1有什么問題呢？ 它只能由動能定理在不同方向上的應用而產生，因為動能和功都是標量，在某個方向上不存在動能和功。
但根據功w=Flcosα的計算公式，當α=90°時，功w=0，即力在垂直于它的方向上不做功。 在上面的例子中，兩個力不垂直。 因此，在v_{1}方向上，不僅F_{1}起作用，而且F_{2}也起作用。 因此，只有當兩個力垂直時，我們才能在兩個方向上使用動能定理分力方程。
------說到這里，我想引入另一個問題，它也犯了上面的錯誤。 ------
例2：如下圖所示，a、b、c為均勻電場中的三點，其中ab長4cm，ac長2cm，ab與ac夾角為120°，它們的平面為平行于電場線。 如果已知a、b、c三點電位分別為0V、6V、3V，那么均勻電場的場強是多少？
錯誤解：如下圖所示：a、b方向局部場強E_{ab}=frac{U_{ab}}{d_{ab}}=frac{6}{0.04}=150V /m, a ，c方向局部場強E_{ac}=frac{U_{ac}}{d_{ac}}=frac{3}{0.02}=150V/m，根據根據向量的平行四邊形規則：E= 150V/m。
------學生可以自己思考錯誤在哪里，并按照常規思路回答問題------
我們回到上面彭占軍老師的問題，我們換個角度再做一遍。 看看動能定理是不是真的沒有分量方程！
彭占軍老師說，在v_{1}方向，不僅F_{1}做功，F_{2}也做功，所以我們簡單求解兩個力在v_{1}方向做的功，查看最終結果。 。
首先做一個力分解圖，如下圖所示：F_{1}=frac{F}{sqrt{3}}，得到的功為W=FS。
然后求解 F_{1} 方向上的合力所做的功：
在F_{1}方向上，F_{1}所做的功為： W_{1F1}=F_{1} times S times cos30°=frac{F}{sqrt{3}} times S times frac{sqrt{3}} {2}=frac{FS}{2}=frac{W}{2} ，這確實是合力所做的功的一半，進一步驗證了彭占軍老師論文中的解法2。
同時，在F_{1}方向上，F_{2}所做的功為：W_{1F2}=F_{2}times cos60°times S times cos30°=frac{F} {sqrt{3}} 次 frac{1}{2} times S times frac{sqrt{3}}{2}=frac{FS}{4}=frac{W}{ 4} .
因此，F_{1}方向上所有力的總功為W_{1}= W_{1F1}+ W_{1F2}=frac{3}{4}W，則根據動能定理： F_{1 } 方向的動能應為總動能的 frac{3}{4}，即 E_{K1}=frac{3}{4}E_{K}。
讓我們回顧一下上面的解決方案 1： 在 E_{K1}=W_{F1}=frac{1}{6}mv^{2}=frac{1}{2}(frac{1}{2 }mv^ {2})=frac{1}{3}E_{K}。 所以有什么問題？
我們再看一下下面的速度分解圖。 你想到什么了嗎？
我在專欄里說過兩次，速度分解的關鍵點是速度分解要采用正交分解。 詳細內容請看下面兩篇文章。
因此，我們需要保證兩個分量速度是垂直的，或者在上面的例子中，F_{2}方向上的v_{1}也有F_{1}方向上的分量速度。 如下圖所示，合成速度v在F_{1}方向的分速度為：v_{11}=°=frac{sqrt{3}}{2}v，從而得到：
E_{K1}=frac{1}{2}mv_{11}^{2}=frac{1}{2}m(frac{sqrt{3}}{2}v)^{2} =frac{3}{8}mv^{2}=frac{3}{4}(frac{1}{2}mv^{2})=frac{3}{4}E_{K }
因此，我們驗證了某個方向的動能定理是正確的！ 關鍵是通過力和速度的分解動能定理公式，分解出該方向上的所有力和所有速度。 其實，這并不難理解。 根據某一方向的牛頓第二定律：F_{x}=ma_{x}，兩邊同時乘以位移x，可得：F_{x}x=ma_{x} x ，結合2a_{ x}x=v_{x2}^2-v_{x1}^2，可得： F_{x}x=frac{1}{2}m v_{x2}^2-frac{1}{ 2}m v_{x1}^2 ，即某一方向的動能定理。
但在實際應用中，當兩個力方向垂直時，使用動能定理分力方程會簡單很多，因為省去了很多向量分解的過程，所以很多教學推薦使用動能定理在兩個方向上的作用力。垂直方向。 分量方程。