守恒定律表明，孤立系統(tǒng)的某些屬性不會隨著系統(tǒng)的發(fā)展而改變。根據(jù)諾特定理，守恒定律“與基礎(chǔ)物理學(xué)中的對稱性有關(guān)”。換句話說，對稱性和守恒定律是緊密相連的。
偉大的理論物理學(xué)家、諾貝爾獎獲得者理查德費曼在他的物理學(xué)教科書《費曼物理學(xué)講義》中引用道：
“我們?yōu)槭裁搓P(guān)心對稱性？首先，對稱性對人類大腦很有吸引力。每個人都喜歡某種程度上對稱的物體或圖案。”——理查德·費曼
下面是一個包含幾種對稱性的例子，這個物體包含三種對稱性，分別是反射對稱、旋轉(zhuǎn)對稱、自相似。
圖 1：此形狀具有三種對稱性：反射對稱、旋轉(zhuǎn)對稱和自相似性。我們將在此考慮自然法則本身的對稱性（而不僅僅是物體的對稱性），這些對稱性支配著宇宙物理系統(tǒng)的行為。
對此類對稱變換最好的兩個定義，分別由美國理論物理學(xué)家、諾貝爾獎獲得者史蒂芬·溫伯格和美籍華裔物理學(xué)家、作家安東尼·澤在他們的兩本量子場論著作中給出。
溫伯格對對稱變換的定義如下：
對稱變換只是改變了我們的觀點，它不會改變可能的實驗的結(jié)果。
Ze 給出了如下定義：
當(dāng)物理定律在某些變換下不會改變時，該定律就被稱為對稱的。
經(jīng)典的例子包括能量守恒、線性動量和角動量。它們與三種時空變換有關(guān)：空間平移、時間平移和旋轉(zhuǎn)。
可以使用稱為牛頓框架的裝置來觀察動量和能量守恒電荷守恒定律公式，如下圖所示。
圖 2：五球牛頓架上述變換與時空的對稱性有關(guān)。正如我們將更詳細(xì)地看到的，（局部）守恒定律通常在數(shù)學(xué)上表示為連續(xù)性方程。后者是偏微分方程 (PDE)，給出了“量”與該量的“傳輸”之間的關(guān)系。前者稱為守恒量，后者稱為密度。更準(zhǔn)確地說，連續(xù)性方程表明，守恒量的數(shù)量只能隨著流入或流出包含系統(tǒng)的體積的量而變化。如前所述，整個物理學(xué)中最重要的結(jié)果之一，稱為諾特定理，指出在底層物理學(xué)中存在與每個對稱性相對應(yīng)的守恒電流。
在本文中，我將重點討論拉格朗日場論，它是與通常的拉格朗日力學(xué)（處理粒子）相對應(yīng)的場論。
讓我們將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式。為此，我們首先需要了解兩個重要概念：
什么是拉格朗日密度？什么是最小作用原理？拉格朗日力學(xué)和最小作用原理
拉格朗日力學(xué)是由數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日提出的。它有幾個優(yōu)點。例如：
它非常精妙，尤其是與牛頓的方法相比。它更加強大，讓物理學(xué)家能夠直接解決具有挑戰(zhàn)性的問題。這是一種全新的做事方式，為經(jīng)典動力學(xué)提供了一個可以擴展到所有物理定律的框架。它展示了經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)之間的聯(lián)系。
圖 3：意大利數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家約瑟夫-路易斯·拉格朗日的經(jīng)典場論中的拉格朗日力學(xué)
事實證明，迄今為止已知的所有基本物理定律（描述物理系統(tǒng)如何隨時間變化的方程）的運動方程都可以從拉格朗日力學(xué)理論（即拉格朗日場論）中獲得。要獲得系統(tǒng)的運動方程，我們首先需要理解產(chǎn)生此類方程的“最小作用量原理”。
考慮一個由多個標(biāo)量場組成的系統(tǒng)：
方程 1：一個向量，其分量是多個標(biāo)量場的集合。
圖 4：二次勢理論中標(biāo)量場的運動，其中 x = (t, x, y, z)。在拉格朗日場論中，運動方程是使用上面描述的最小作用原理獲得的。對于某個場 _a，這可以寫成：
公式2：如何用最小作用量原理解運動方程。我先解釋一下公式中各項的含義。括號中的曲線L是拉格朗日密度，它取決于公式1中的場、它們對應(yīng)的空間和時間導(dǎo)數(shù)以及坐標(biāo)t、x^1、x^2、x^3。花括號“{}”表示系統(tǒng)的n個獨立變量（包括時間變量），μ=0,1,2,3。應(yīng)用上述最小作用量原理，我們得到運動方程：
方程：歐拉-拉格朗日方程 諾特定理
這個強有力的定理于 1915 年由名不見經(jīng)傳的數(shù)學(xué)家埃米·諾特 (Emmy ) 證明，并于三年后發(fā)表。
艾米·諾特是誰？
德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家埃米·諾特是有史以來最偉大的無名科學(xué)英雄之一。盡管她在輝煌的職業(yè)生涯中飽受偏見，但她的同事們卻認(rèn)可她幾乎無與倫比的才華。
圖 5：埃米·諾特的肖像和她證明定理的文章的第一頁 她對抽象代數(shù)和理論物理學(xué)的貢獻是巨大的。諾特定理是現(xiàn)代物理學(xué)的基石。此外，她對現(xiàn)代代數(shù)的掌握讓數(shù)學(xué)家歐文·卡普蘭斯基稱她為“現(xiàn)代代數(shù)之母”。
1935年，愛因斯坦在給《紐約時報》的一封信中寫道：
諾特小姐是自女子高等教育開始以來出現(xiàn)的最具創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)天才。在代數(shù)領(lǐng)域，這個幾個世紀(jì)以來最有天賦的數(shù)學(xué)家一直忙碌的領(lǐng)域，她發(fā)現(xiàn)了一些方法，這些方法對當(dāng)代年輕數(shù)學(xué)家的發(fā)展具有重要意義。——阿爾伯特·愛因斯坦
然而，即使被哥廷根大學(xué)錄取，由于性別原因，她也很難找到一份有償工作。即使大學(xué)開始給她發(fā)工資，她也沒有成為正教授。當(dāng)時最杰出的科學(xué)家之一、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家赫爾曼·韋爾說：
“我感到很謙卑，因為我知道她在很多方面都是我的老師。”——赫爾曼·韋爾
數(shù)學(xué)家巴特·林德特·范德瓦爾登在訃告中寫道，她的創(chuàng)造力無與倫比，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家帕維爾·亞歷山德羅夫、法國數(shù)學(xué)家讓·迪厄多內(nèi)等人也稱她為當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一。
圖 6：帕維爾·亞歷山德羅夫、讓·迪烏多內(nèi)、赫爾曼·外爾、阿爾伯特·愛因斯坦和巴特利特·瑞安特。一群杰出的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家認(rèn)為諾特是一位偉大的數(shù)學(xué)家。諾特定理的數(shù)學(xué)
讓我們首先考慮連續(xù)對稱性和無窮小變化、拉格朗日密度不變性：
方程 4：對于連續(xù)對稱性電荷守恒定律公式，當(dāng)我們對場進行無窮小的改變時，拉格朗日量不會改變。接下來，我們需要使用歐拉-拉格朗日方程。這兩個方程結(jié)合起來得到：
等式 5：兩個方程的組合。然后我們將括號內(nèi)的對象定義為 4-J：
等式 6 的第一部分表明 J 是守恒的：
方程 7：電流 J 守恒。能量和動量守恒
在本節(jié)中，我們將研究兩種類型的轉(zhuǎn)換。
平移是空間變換，將圖形或空間中的每個點沿給定方向移動相同的距離。在這種情況下，連續(xù)平移對稱性是物理方程組在任何平移下的不變性。
圖 7：平移不變函數(shù)滿足方程 f(A) = f(A + t)。時間平移是將某物以恒定間隔移動的變換。時間平移對稱性的假設(shè)是運動不會改變物理定律。
圖 8：2017 年，耶魯大學(xué)物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了時間晶體的跡象，時間晶體是一種破壞時間平移對稱性的物質(zhì)狀態(tài)。我們可以將這兩個變換寫成：
方程 8：時空平移 其中 x^0=t、x^1=x、x^2=y，a 是描述時空中位移的任意小參數(shù)。現(xiàn)在考慮一個標(biāo)量場 (x)。如果我們通過一個小的擾動來改變它：
公式9采用了歐拉-拉格朗日方程，經(jīng)過幾行代數(shù)運算后，我們發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的拉格朗日量隨坐標(biāo)t和x的變化而變化：
公式 10 利用公式 9 可得：
方程 11：方程 9 和方程 10 的組合現(xiàn)在，我們可以將拉格朗日密度的變化寫成：
將公式 12 與公式 11 進行比較，其中 a 是任意的，我們得到：
方程 13：由于平移參數(shù) a 是任意選擇的，因此該方程必定成立。括號中的表達式稱為能量動量張量。方程 13 可以寫成：
方程 14：能量動量張量的守恒。T 的 00 分量是系統(tǒng)的能量密度，T（i=1,2,3）的 i0 分量是場動量密度的分量。對空間積分，我們得到能量和三個動量分量。方程 14 顯示了在時空中平移而不改變拉格朗日密度時能量和動量的守恒。
如前所述，場也可以在“內(nèi)部空間”內(nèi)變換。連續(xù)對稱拉格朗日量的示例，其中對稱變換是內(nèi)部的：
方程 15：內(nèi)部變換電流空間守恒的拉格朗日對稱性
讓我們考慮標(biāo)量場的變換。這意味著：
方程16：標(biāo)量場的變換產(chǎn)生拉格朗日變換。假設(shè)拉格朗日不變。與上一節(jié)完全相同，我們得到以下結(jié)果：
式17：對式14進行變換，得到守恒電流J。物理系統(tǒng)的拉格朗日連續(xù)對稱性有相應(yīng)的守恒定律。也就是說，當(dāng)拉格朗日對稱時，每一個守恒電流都有一個守恒電荷。
最明顯的例子是電荷守恒：
公式 18：應(yīng)用公式 17，其中 J 是電流密度。
圖 9：電荷 Q 穿過表面 S 的通量 J。諾特定理可用于許多不同的系統(tǒng)，包括電磁場、廣義規(guī)范理論等。它可以輕松擴展到量子力學(xué)和量子場論。