守恒定律表明，孤立系統(tǒng)的某些屬性不會(huì)隨著系統(tǒng)的發(fā)展而改變。根據(jù)諾特定理，守恒定律“與基礎(chǔ)物理學(xué)中的對(duì)稱性有關(guān)”。換句話說，對(duì)稱性和守恒定律是緊密相連的。
偉大的理論物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者理查德費(fèi)曼在他的物理學(xué)教科書《費(fèi)曼物理學(xué)講義》中引用道：
“我們?yōu)槭裁搓P(guān)心對(duì)稱性？首先，對(duì)稱性對(duì)人類大腦很有吸引力。每個(gè)人都喜歡某種程度上對(duì)稱的物體或圖案?！薄聿榈隆べM(fèi)曼
下面是一個(gè)包含幾種對(duì)稱性的例子，這個(gè)物體包含三種對(duì)稱性，分別是反射對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、自相似。
圖 1：此形狀具有三種對(duì)稱性：反射對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和自相似性。我們將在此考慮自然法則本身的對(duì)稱性（而不僅僅是物體的對(duì)稱性），這些對(duì)稱性支配著宇宙物理系統(tǒng)的行為。
對(duì)此類對(duì)稱變換最好的兩個(gè)定義，分別由美國理論物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者史蒂芬·溫伯格和美籍華裔物理學(xué)家、作家安東尼·澤在他們的兩本量子場(chǎng)論著作中給出。
溫伯格對(duì)對(duì)稱變換的定義如下：
對(duì)稱變換只是改變了我們的觀點(diǎn)，它不會(huì)改變可能的實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。
Ze 給出了如下定義：
當(dāng)物理定律在某些變換下不會(huì)改變時(shí)，該定律就被稱為對(duì)稱的。
經(jīng)典的例子包括能量守恒、線性動(dòng)量和角動(dòng)量。它們與三種時(shí)空變換有關(guān)：空間平移、時(shí)間平移和旋轉(zhuǎn)。
可以使用稱為牛頓框架的裝置來觀察動(dòng)量和能量守恒電荷守恒定律公式，如下圖所示。
圖 2：五球牛頓架上述變換與時(shí)空的對(duì)稱性有關(guān)。正如我們將更詳細(xì)地看到的，（局部）守恒定律通常在數(shù)學(xué)上表示為連續(xù)性方程。后者是偏微分方程 (PDE)，給出了“量”與該量的“傳輸”之間的關(guān)系。前者稱為守恒量，后者稱為密度。更準(zhǔn)確地說，連續(xù)性方程表明，守恒量的數(shù)量只能隨著流入或流出包含系統(tǒng)的體積的量而變化。如前所述，整個(gè)物理學(xué)中最重要的結(jié)果之一，稱為諾特定理，指出在底層物理學(xué)中存在與每個(gè)對(duì)稱性相對(duì)應(yīng)的守恒電流。
在本文中，我將重點(diǎn)討論拉格朗日?qǐng)稣摚桥c通常的拉格朗日力學(xué)（處理粒子）相對(duì)應(yīng)的場(chǎng)論。
讓我們將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式。為此，我們首先需要了解兩個(gè)重要概念：
什么是拉格朗日密度？什么是最小作用原理？拉格朗日力學(xué)和最小作用原理
拉格朗日力學(xué)是由數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日提出的。它有幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)。例如：
它非常精妙，尤其是與牛頓的方法相比。它更加強(qiáng)大，讓物理學(xué)家能夠直接解決具有挑戰(zhàn)性的問題。這是一種全新的做事方式，為經(jīng)典動(dòng)力學(xué)提供了一個(gè)可以擴(kuò)展到所有物理定律的框架。它展示了經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)之間的聯(lián)系。
圖 3：意大利數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家約瑟夫-路易斯·拉格朗日的經(jīng)典場(chǎng)論中的拉格朗日力學(xué)
事實(shí)證明，迄今為止已知的所有基本物理定律（描述物理系統(tǒng)如何隨時(shí)間變化的方程）的運(yùn)動(dòng)方程都可以從拉格朗日力學(xué)理論（即拉格朗日?qǐng)稣摚┲蝎@得。要獲得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，我們首先需要理解產(chǎn)生此類方程的“最小作用量原理”。
考慮一個(gè)由多個(gè)標(biāo)量場(chǎng)組成的系統(tǒng)：
方程 1：一個(gè)向量，其分量是多個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的集合。
圖 4：二次勢(shì)理論中標(biāo)量場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)，其中 x = (t, x, y, z)。在拉格朗日?qǐng)稣撝?，運(yùn)動(dòng)方程是使用上面描述的最小作用原理獲得的。對(duì)于某個(gè)場(chǎng) _a，這可以寫成：
公式2：如何用最小作用量原理解運(yùn)動(dòng)方程。我先解釋一下公式中各項(xiàng)的含義。括號(hào)中的曲線L是拉格朗日密度，它取決于公式1中的場(chǎng)、它們對(duì)應(yīng)的空間和時(shí)間導(dǎo)數(shù)以及坐標(biāo)t、x^1、x^2、x^3。花括號(hào)“{}”表示系統(tǒng)的n個(gè)獨(dú)立變量（包括時(shí)間變量），μ=0,1,2,3。應(yīng)用上述最小作用量原理，我們得到運(yùn)動(dòng)方程：
方程：歐拉-拉格朗日方程 諾特定理
這個(gè)強(qiáng)有力的定理于 1915 年由名不見經(jīng)傳的數(shù)學(xué)家埃米·諾特 (Emmy ) 證明，并于三年后發(fā)表。
艾米·諾特是誰？
德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家埃米·諾特是有史以來最偉大的無名科學(xué)英雄之一。盡管她在輝煌的職業(yè)生涯中飽受偏見，但她的同事們卻認(rèn)可她幾乎無與倫比的才華。
圖 5：埃米·諾特的肖像和她證明定理的文章的第一頁 她對(duì)抽象代數(shù)和理論物理學(xué)的貢獻(xiàn)是巨大的。諾特定理是現(xiàn)代物理學(xué)的基石。此外，她對(duì)現(xiàn)代代數(shù)的掌握讓數(shù)學(xué)家歐文·卡普蘭斯基稱她為“現(xiàn)代代數(shù)之母”。
1935年，愛因斯坦在給《紐約時(shí)報(bào)》的一封信中寫道：
諾特小姐是自女子高等教育開始以來出現(xiàn)的最具創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)天才。在代數(shù)領(lǐng)域，這個(gè)幾個(gè)世紀(jì)以來最有天賦的數(shù)學(xué)家一直忙碌的領(lǐng)域，她發(fā)現(xiàn)了一些方法，這些方法對(duì)當(dāng)代年輕數(shù)學(xué)家的發(fā)展具有重要意義?！柌亍垡蛩固?span style="display:none">ROX物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
然而，即使被哥廷根大學(xué)錄取，由于性別原因，她也很難找到一份有償工作。即使大學(xué)開始給她發(fā)工資，她也沒有成為正教授。當(dāng)時(shí)最杰出的科學(xué)家之一、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家赫爾曼·韋爾說：
“我感到很謙卑，因?yàn)槲抑浪诤芏喾矫娑际俏业睦蠋??！薄諣柭ろf爾
數(shù)學(xué)家巴特·林德特·范德瓦爾登在訃告中寫道，她的創(chuàng)造力無與倫比，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家帕維爾·亞歷山德羅夫、法國數(shù)學(xué)家讓·迪厄多內(nèi)等人也稱她為當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一。
圖 6：帕維爾·亞歷山德羅夫、讓·迪烏多內(nèi)、赫爾曼·外爾、阿爾伯特·愛因斯坦和巴特利特·瑞安特。一群杰出的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家認(rèn)為諾特是一位偉大的數(shù)學(xué)家。諾特定理的數(shù)學(xué)
讓我們首先考慮連續(xù)對(duì)稱性和無窮小變化、拉格朗日密度不變性：
方程 4：對(duì)于連續(xù)對(duì)稱性電荷守恒定律公式，當(dāng)我們對(duì)場(chǎng)進(jìn)行無窮小的改變時(shí)，拉格朗日量不會(huì)改變。接下來，我們需要使用歐拉-拉格朗日方程。這兩個(gè)方程結(jié)合起來得到：
等式 5：兩個(gè)方程的組合。然后我們將括號(hào)內(nèi)的對(duì)象定義為 4-J：
等式 6 的第一部分表明 J 是守恒的：
方程 7：電流 J 守恒。能量和動(dòng)量守恒
在本節(jié)中，我們將研究?jī)煞N類型的轉(zhuǎn)換。
平移是空間變換，將圖形或空間中的每個(gè)點(diǎn)沿給定方向移動(dòng)相同的距離。在這種情況下，連續(xù)平移對(duì)稱性是物理方程組在任何平移下的不變性。
圖 7：平移不變函數(shù)滿足方程 f(A) = f(A + t)。時(shí)間平移是將某物以恒定間隔移動(dòng)的變換。時(shí)間平移對(duì)稱性的假設(shè)是運(yùn)動(dòng)不會(huì)改變物理定律。
圖 8：2017 年，耶魯大學(xué)物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了時(shí)間晶體的跡象，時(shí)間晶體是一種破壞時(shí)間平移對(duì)稱性的物質(zhì)狀態(tài)。我們可以將這兩個(gè)變換寫成：
方程 8：時(shí)空平移 其中 x^0=t、x^1=x、x^2=y，a 是描述時(shí)空中位移的任意小參數(shù)?，F(xiàn)在考慮一個(gè)標(biāo)量場(chǎng) (x)。如果我們通過一個(gè)小的擾動(dòng)來改變它：
公式9采用了歐拉-拉格朗日方程，經(jīng)過幾行代數(shù)運(yùn)算后，我們發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的拉格朗日量隨坐標(biāo)t和x的變化而變化：
公式 10 利用公式 9 可得：
方程 11：方程 9 和方程 10 的組合現(xiàn)在，我們可以將拉格朗日密度的變化寫成：
將公式 12 與公式 11 進(jìn)行比較，其中 a 是任意的，我們得到：
方程 13：由于平移參數(shù) a 是任意選擇的，因此該方程必定成立。括號(hào)中的表達(dá)式稱為能量動(dòng)量張量。方程 13 可以寫成：
方程 14：能量動(dòng)量張量的守恒。T 的 00 分量是系統(tǒng)的能量密度，T（i=1,2,3）的 i0 分量是場(chǎng)動(dòng)量密度的分量。對(duì)空間積分，我們得到能量和三個(gè)動(dòng)量分量。方程 14 顯示了在時(shí)空中平移而不改變拉格朗日密度時(shí)能量和動(dòng)量的守恒。
如前所述，場(chǎng)也可以在“內(nèi)部空間”內(nèi)變換。連續(xù)對(duì)稱拉格朗日量的示例，其中對(duì)稱變換是內(nèi)部的：
方程 15：內(nèi)部變換電流空間守恒的拉格朗日對(duì)稱性
讓我們考慮標(biāo)量場(chǎng)的變換。這意味著：
方程16：標(biāo)量場(chǎng)的變換產(chǎn)生拉格朗日變換。假設(shè)拉格朗日不變。與上一節(jié)完全相同，我們得到以下結(jié)果：
式17：對(duì)式14進(jìn)行變換，得到守恒電流J。物理系統(tǒng)的拉格朗日連續(xù)對(duì)稱性有相應(yīng)的守恒定律。也就是說，當(dāng)拉格朗日對(duì)稱時(shí)，每一個(gè)守恒電流都有一個(gè)守恒電荷。
最明顯的例子是電荷守恒：
公式 18：應(yīng)用公式 17，其中 J 是電流密度。
圖 9：電荷 Q 穿過表面 S 的通量 J。諾特定理可用于許多不同的系統(tǒng)，包括電磁場(chǎng)、廣義規(guī)范理論等。它可以輕松擴(kuò)展到量子力學(xué)和量子場(chǎng)論。