萬有引力定律應(yīng)用的12個(gè)典型案例
萬有引力定律不僅是高考的一大看點(diǎn)，也是學(xué)生最感興趣的科學(xué)話題之一。下面我們來探討一下萬有引力定律在天文學(xué)中應(yīng)用的12個(gè)典型案例：
【案例一】天體質(zhì)量與密度估算
下列哪些數(shù)據(jù)可以估算地球的質(zhì)量？
A.月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期和月球與地球之間的距離
B.地球表面的重力加速度和地球半徑
C.衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的周期和線速度
D. 地球表面衛(wèi)星的周期與地球的密度
分析：人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，月球也是地球的衛(wèi)星，設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星軌道周期為T，軌道半徑為r。
根據(jù)萬有引力定律：
【討論與評(píng)價(jià)】根據(jù)牛頓定律，我們只能求出中心天體的質(zhì)量，而求不出周圍天體的質(zhì)量；我們可以根據(jù)已知條件、已知常數(shù)，利用物理定律估算物理量，這也是高考對(duì)學(xué)生的要求。總之，牛頓萬有引力定律是解決天體運(yùn)動(dòng)問題的關(guān)鍵。
【案例二】普通衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)問題
我國自主研制發(fā)射的“風(fēng)云一號(hào)”和“風(fēng)云二號(hào)”氣象衛(wèi)星軌道不同。“風(fēng)云一號(hào)”為極地圓軌道衛(wèi)星，軌道平面垂直于赤道平面，周期為12小時(shí)。“風(fēng)云二號(hào)”為同步軌道衛(wèi)星，軌道為赤道平面，周期為24小時(shí)。問：哪顆衛(wèi)星的向心加速度大？哪顆衛(wèi)星的線速度大？如果某天早上8點(diǎn)，“風(fēng)云一號(hào)”恰好經(jīng)過赤道附近太平洋上的一個(gè)小島，那么下次“風(fēng)云一號(hào)”什么時(shí)候經(jīng)過這個(gè)小島呢？
分析：本題主要考查普通衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)特性和規(guī)律
開普勒第三定律T2∝r3表明，風(fēng)云二號(hào)衛(wèi)星的軌道半徑較大。
（1）一切運(yùn)動(dòng)學(xué)量都是r的函數(shù)，要樹立函數(shù)思想。（2）運(yùn)動(dòng)學(xué)量v、a、ω、f隨r的增大而減小，只有T隨r的增大而增大。（3）任何衛(wèi)星的軌道運(yùn)行速度不大于7.9km/s，運(yùn)動(dòng)周期不小于85min。（4）學(xué)會(huì)總結(jié)規(guī)律，靈活運(yùn)用規(guī)律解決問題，也是重要的學(xué)習(xí)方法。
【案例三】同步衛(wèi)星移動(dòng)
下列哪項(xiàng)關(guān)于地球同步衛(wèi)星的表述是正確的？
A.為了避免通信衛(wèi)星之間發(fā)生碰撞，應(yīng)該將它們放置在不同的軌道上。
B. 通訊衛(wèi)星固定在地球赤道上空某處。所有通訊衛(wèi)星的運(yùn)行周期為24小時(shí)。
C.不同的國家從不同的地點(diǎn)發(fā)射通信衛(wèi)星，這些衛(wèi)星的軌道不一定在同一平面上。
D.不同通信衛(wèi)星的線速度相同，且其加速度的大小也相同。
分析：本題考查地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)和規(guī)律。
同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，T=24h，角速度ω恒定。
【討論與評(píng)價(jià)】通信衛(wèi)星屬于地球同步通信衛(wèi)星，其特點(diǎn)是：具有與地球相同的自轉(zhuǎn)周期和角速度；與地球赤道處于同一平面，位于赤道正上方，高度恒定，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；其線速度和向心加速度相同。3顆同步衛(wèi)星即可覆蓋地球。
【案例四】“雙星”問題
天文學(xué)中，兩顆距離較近、距離較遠(yuǎn)的恒星稱為雙星，雙星之間的距離是恒定的，設(shè)雙星的質(zhì)量分別為m1和m2，恒星中心之間的距離為L。問題：
（1）兩天體分別做了哪些運(yùn)動(dòng)？
（２）兩顆恒星的軌道半徑分別為多少？（３）兩顆恒星的速度分別為多少？
分析：本題主要考查雙星的特征及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律
（1）由于雙星之間只存在相互引力機(jī)械能守恒定律典型例題，質(zhì)量不變，距離不變，引力大小也不變，根據(jù)牛頓第二定律，各恒星的加速度大小不變，因此它們只能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
【討論與評(píng)價(jià)】雙星的特點(diǎn)是它們之間的距離是恒定的，它們之間只存在相互引力。引力是恒定的，所以加速度的大小是一個(gè)常數(shù)值，這樣的運(yùn)動(dòng)只能是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這個(gè)結(jié)論很重要。同時(shí)，運(yùn)用對(duì)稱性，巧妙地解決問題貝語網(wǎng)校，找出結(jié)論的規(guī)律，明確結(jié)論的和諧美、對(duì)稱美，對(duì)我們以后的學(xué)習(xí)也很有幫助。
【案例五】“二星”問題
圖中兩顆人造衛(wèi)星在同一平面的不同軌道上運(yùn)行，設(shè)它們的運(yùn)行周期分別為T1和T2（T1＜T2），某一時(shí)刻，兩顆衛(wèi)星距離最近。問題：
（一）兩顆衛(wèi)星何時(shí)能再次接近？
（２）兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時(shí)刻是什么時(shí)候？
分析：本題考察兩顆在同一平面內(nèi)不同軌道上運(yùn)行的人造衛(wèi)星的位置特性及衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 （1）由題意可知，T1<T2，軌道半徑較大，周期也較大，因此外軌道衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間較長。假設(shè)經(jīng)過△t之后，兩顆衛(wèi)星再次處于最接近狀態(tài)。
【討論與評(píng)估】求解曲線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間常用公式為φ=ωt，通過畫圖可以找出它們旋轉(zhuǎn)與終邊相同的角之間的角度關(guān)系，這是解決該類問題的關(guān)鍵。
【案例六】同步衛(wèi)星發(fā)射問題
發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道1，然后點(diǎn)火使衛(wèi)星沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。設(shè)軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，當(dāng)衛(wèi)星分別在軌道1、2、3上正常運(yùn)行時(shí)，
（1）比較衛(wèi)星在軌道1、2上通過點(diǎn)Q時(shí)的加速度大小；比較衛(wèi)星在軌道2、3上通過點(diǎn)P時(shí)的加速度大小
（２）設(shè)軌道１、３上的衛(wèi)星速度分別為Ｖ１、Ｖ３，橢圓軌道上點(diǎn)Ｑ、Ｐ的速度分別為
，比較一下四種速度的大小？
分析：同步衛(wèi)星的發(fā)射方法有兩種，本題提供一種同步衛(wèi)星的發(fā)射方法，考察衛(wèi)星在不同軌道上運(yùn)行的特性。
【討論與評(píng)價(jià)】衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的加速度是由地球引力作用于衛(wèi)星所提供的，所以研究加速度時(shí)，首先要考慮牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律；衛(wèi)星在外軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，做離心運(yùn)動(dòng)，半徑增大，速度也要增大，所以只能做加速運(yùn)動(dòng)。
同步衛(wèi)星是如何發(fā)射的？
通過上面的例子和教材，我們知道發(fā)射同步衛(wèi)星有兩種方法，一種是直接發(fā)射進(jìn)入同步軌道；另一種是先發(fā)射到低地球軌道，然后加速進(jìn)入橢圓軌道，再加速進(jìn)入地球同步軌道。
【案例七】“連續(xù)組”與“衛(wèi)星組”
土星的外層有一個(gè)環(huán)，為了確定它到底是土星的一部分，也就是土星的“連續(xù)體”還是土星的“衛(wèi)星群”，可以通過測量環(huán)內(nèi)各層的線速度v與該層到土星中心的距離R的關(guān)系來確定：
【討論與評(píng)價(jià)】土星也在旋轉(zhuǎn)，能分辨出光環(huán)是附著在土星上的還是土星的衛(wèi)星，并理解其中適用的物理定律是解題的關(guān)鍵。同時(shí)要注意的是，衛(wèi)星不一定是同步衛(wèi)星。
【案例八】空間站“完全失重”問題
假設(shè)空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在空間站上無法進(jìn)行以下實(shí)驗(yàn)：
A. 天平測量物體的質(zhì)量
B.使用彈簧秤測量物體的重量
C. 用測力計(jì)測量力
D.用水銀氣壓表測量飛船密閉艙內(nèi)的氣壓
E. 用單擺確定重力加速度
F. 使用點(diǎn)計(jì)時(shí)器驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律
分析：本題考察空間站上“完全失重”的現(xiàn)象。
當(dāng)航天器繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，地球引力提供向心加速度。
答案是：F = 0，即完全失重
在完全失重狀態(tài)下，物體在重力方向上所受的彈力等于零，物體所受的重力等于重力，所以只能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)C和F，其他實(shí)驗(yàn)都無法進(jìn)行。
【討論與評(píng)價(jià)】當(dāng)物體的加速度等于重力加速度時(shí)，物體在重力方向上受到的彈力等于零，但物體的重力不等于零；人們可以在人造衛(wèi)星或空間站上進(jìn)行機(jī)械運(yùn)動(dòng)，卻無法測量物體的重力。
【案例9】黑洞問題
“黑洞”問題是愛因斯坦廣義相對(duì)論預(yù)言的一種特殊天體，它密度非常大，對(duì)周圍物質(zhì)（包括光子）有很強(qiáng)的吸引力。按照愛因斯坦理論，光子是有質(zhì)量的，光子到達(dá)黑洞表面也會(huì)被吸入，最多只能繞著黑洞表面做圓周運(yùn)動(dòng)。根據(jù)天文觀測，銀河系中心可能存在一個(gè)黑洞，距離可能存在的黑洞6.0×1012m處有一顆恒星，以2.0×106m/s的速度圍繞其旋轉(zhuǎn)。據(jù)此，可能存在的黑洞的最大半徑是多少？（保留一位有效數(shù)字）解析：本題考查“黑洞”的基本知識(shí)，為信息題。
黑洞作為一種特殊的天體，一直受到人們的廣泛關(guān)注。種種跡象表明，它們確實(shí)存在于人類的視覺之外。黑洞的黑性在于，連光子都無法逃脫它的引力束縛。當(dāng)光子繞黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的軌道半徑就是黑洞可能的最大半徑。設(shè)光子的質(zhì)量為m，黑洞的質(zhì)量為M，黑洞可能的最大半徑為R，光子的速度為c。
【討論與評(píng)價(jià)】通過以上數(shù)據(jù)分析，我們知道黑洞是一種特殊的天體，質(zhì)量和半徑都很大，因此對(duì)周圍的恒星有特別強(qiáng)的引力，任何物質(zhì)（包括光子）都會(huì)被吸入其中，這就是它被命名為“黑洞”的原因。黑洞是否真的存在，其運(yùn)動(dòng)特征和規(guī)律是什么，同學(xué)們可以上網(wǎng)查找資料，充分考察研究。希望同學(xué)們將來成為真正的探索宇宙的科學(xué)家，一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)課本上的閱讀材料，能夠運(yùn)用中學(xué)物理知識(shí)來分析和解決科技問題。
【案例十】宇宙膨脹問題
在研究宇宙發(fā)展演化的理論中，有一種理論叫“宇宙膨脹論”，認(rèn)為引力常數(shù)G在慢慢減小。根據(jù)該理論，很久很久以前，與現(xiàn)在地球在太陽系公轉(zhuǎn)的情況相比，（1）公轉(zhuǎn)半徑如何變化？（2）公轉(zhuǎn)周期如何變化？（3）公轉(zhuǎn)線速度如何變化？要求寫出必要的推理依據(jù)和推理過程。
分析：這也是一道信息題，主要考查學(xué)生運(yùn)用萬有引力定律進(jìn)行推理分析的能力。提供的信息是“引力常數(shù)在慢慢減小”。在漫長的宇宙演化過程中，由于“G”在減小，地球上的引力在變化，因此地球公轉(zhuǎn)的半徑和周期速度都在變化。也就是說，地球不再做勻速圓周運(yùn)動(dòng)了。但是由于G減小得很慢，在比較短的時(shí)間內(nèi)，可以認(rèn)為地球還在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)——引力提供了向心力。設(shè)M為太陽質(zhì)量，m為地球質(zhì)量，r為地球公轉(zhuǎn)半徑，T為地球公轉(zhuǎn)周期，v為地球公轉(zhuǎn)速度。
【討論與評(píng)價(jià)】本題為信息推理與論證類題目，由于要求寫出推理依據(jù)和推理過程，這就要求我們充分利用“引力提供向心加速度”這一重要定律，了解信息，理清規(guī)律，找出變量，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评怼?span style="display:none">vqP物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
【案例11】月球開發(fā)問題
科學(xué)探索表明，月球擁有豐富的氧、硅、鋁、鐵等礦產(chǎn)資源。設(shè)想人類開發(fā)月球，源源不斷地把月球上的礦產(chǎn)運(yùn)往地球。假設(shè)經(jīng)過長時(shí)間的開采，月球和地球仍然被認(rèn)為是均勻的球體，月球仍然在開采前的軌道上運(yùn)行，請(qǐng)問：
（一）地球和月球的引力如何變化？
（二）月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期是怎樣變化的？
（三）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的速度如何變化？
分析：本題主要考查數(shù)學(xué)在天文學(xué)中的應(yīng)用。
【討論與評(píng)價(jià)】這也是一道信息題，了解題中的信息，明確變量，充分利用幾種數(shù)學(xué)方法，尋找極值來思考問題，用函數(shù)的思想來解決問題，這些都很重要。
【案例十二】“宇宙飛船”與能源問題
飛船即將與在軌運(yùn)行的空間站對(duì)接。 （1）飛船應(yīng)采取什么措施追上在軌運(yùn)行的空間站？ （2）飛船脫離原定軌道返回大氣層時(shí)，重力勢能如何變化？動(dòng)能如何變化？機(jī)械能如何變化？
分析：本題主要考察航天器運(yùn)行過程中的能源問題。
隨著航天器距地面的高度逐漸減小，航天器的重力勢能減小；由于航天器做功需要克服大氣阻力和制動(dòng)力，所以航天器的機(jī)械能減小。
【討論與評(píng)價(jià)】航天器在空間軌道上的運(yùn)動(dòng)，是靠地球引力產(chǎn)生的向心加速度來維持的。如果軌道固定，速度就固定。如果它想向外軌道運(yùn)動(dòng)，就要加速，使它做離心運(yùn)動(dòng)；如果它想向內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)，就要減速，使它做向心運(yùn)動(dòng)。研究航天器的能量問題，要從功的角度去考慮，從實(shí)用的角度去研究，要抓住矛盾的主要方面去分析。
萬有引力在天文學(xué)中的應(yīng)用還有很多，這里就不一一研究了。不管是什么問題，只要我們認(rèn)真審題，理清物體運(yùn)動(dòng)的物理圖景，知道物體的狀態(tài)參數(shù)，理解應(yīng)用的物理規(guī)律，勇于探索，善于總結(jié)規(guī)律機(jī)械能守恒定律典型例題，就一定能學(xué)好高中物理。
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