萬有引力定律應用的12個典型案例
萬有引力定律不僅是高考的一大看點，也是學生最感興趣的科學話題之一。下面我們來探討一下萬有引力定律在天文學中應用的12個典型案例：
【案例一】天體質量與密度估算
下列哪些數據可以估算地球的質量？
A.月球繞地球公轉的周期和月球與地球之間的距離
B.地球表面的重力加速度和地球半徑
C.衛星繞地球運行的周期和線速度
D. 地球表面衛星的周期與地球的密度
分析：人造衛星繞地球做勻速圓周運動，月球也是地球的衛星，設地球質量為M，衛星質量為m，衛星軌道周期為T，軌道半徑為r。
根據萬有引力定律：
【討論與評價】根據牛頓定律，我們只能求出中心天體的質量，而求不出周圍天體的質量；我們可以根據已知條件、已知常數，利用物理定律估算物理量，這也是高考對學生的要求?？傊?，牛頓萬有引力定律是解決天體運動問題的關鍵。
【案例二】普通衛星的運動問題
我國自主研制發射的“風云一號”和“風云二號”氣象衛星軌道不同?！帮L云一號”為極地圓軌道衛星，軌道平面垂直于赤道平面，周期為12小時?！帮L云二號”為同步軌道衛星，軌道為赤道平面，周期為24小時。問：哪顆衛星的向心加速度大？哪顆衛星的線速度大？如果某天早上8點，“風云一號”恰好經過赤道附近太平洋上的一個小島，那么下次“風云一號”什么時候經過這個小島呢？
分析：本題主要考查普通衛星的運動特性和規律
開普勒第三定律T2∝r3表明，風云二號衛星的軌道半徑較大。
（1）一切運動學量都是r的函數，要樹立函數思想。（2）運動學量v、a、ω、f隨r的增大而減小，只有T隨r的增大而增大。（3）任何衛星的軌道運行速度不大于7.9km/s，運動周期不小于85min。（4）學會總結規律，靈活運用規律解決問題，也是重要的學習方法。
【案例三】同步衛星移動
下列哪項關于地球同步衛星的表述是正確的？
A.為了避免通信衛星之間發生碰撞，應該將它們放置在不同的軌道上。
B. 通訊衛星固定在地球赤道上空某處。所有通訊衛星的運行周期為24小時。
C.不同的國家從不同的地點發射通信衛星，這些衛星的軌道不一定在同一平面上。
D.不同通信衛星的線速度相同，且其加速度的大小也相同。
分析：本題考查地球同步衛星的特點和規律。
同步衛星運動周期與地球自轉周期相同，T=24h，角速度ω恒定。
【討論與評價】通信衛星屬于地球同步通信衛星，其特點是：具有與地球相同的自轉周期和角速度；與地球赤道處于同一平面，位于赤道正上方，高度恒定，繞地球做勻速圓周運動；其線速度和向心加速度相同。3顆同步衛星即可覆蓋地球。
【案例四】“雙星”問題
天文學中，兩顆距離較近、距離較遠的恒星稱為雙星，雙星之間的距離是恒定的，設雙星的質量分別為m1和m2，恒星中心之間的距離為L。問題：
（1）兩天體分別做了哪些運動？
（２）兩顆恒星的軌道半徑分別為多少？（３）兩顆恒星的速度分別為多少？
分析：本題主要考查雙星的特征及其運動規律
（1）由于雙星之間只存在相互引力機械能守恒定律典型例題，質量不變，距離不變，引力大小也不變，根據牛頓第二定律，各恒星的加速度大小不變，因此它們只能做勻速圓周運動。
【討論與評價】雙星的特點是它們之間的距離是恒定的，它們之間只存在相互引力。引力是恒定的，所以加速度的大小是一個常數值，這樣的運動只能是勻速圓周運動。這個結論很重要。同時，運用對稱性，巧妙地解決問題貝語網校，找出結論的規律，明確結論的和諧美、對稱美，對我們以后的學習也很有幫助。
【案例五】“二星”問題
圖中兩顆人造衛星在同一平面的不同軌道上運行，設它們的運行周期分別為T1和T2（T1＜T2），某一時刻，兩顆衛星距離最近。問題：
（一）兩顆衛星何時能再次接近？
（２）兩顆衛星相距最遠的時刻是什么時候？
分析：本題考察兩顆在同一平面內不同軌道上運行的人造衛星的位置特性及衛星的運動規律。 （1）由題意可知，T1<T2，軌道半徑較大，周期也較大，因此外軌道衛星運行時間較長。假設經過△t之后，兩顆衛星再次處于最接近狀態。
【討論與評估】求解曲線運動的時間常用公式為φ=ωt，通過畫圖可以找出它們旋轉與終邊相同的角之間的角度關系，這是解決該類問題的關鍵。
【案例六】同步衛星發射問題
發射地球同步衛星時，先將衛星發射到近地圓軌道1，然后點火使衛星沿橢圓軌道2運行，最后再次點火將衛星送入同步圓軌道3。設軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，當衛星分別在軌道1、2、3上正常運行時，
（1）比較衛星在軌道1、2上通過點Q時的加速度大小；比較衛星在軌道2、3上通過點P時的加速度大小
（２）設軌道１、３上的衛星速度分別為Ｖ１、Ｖ３，橢圓軌道上點Ｑ、Ｐ的速度分別為
，比較一下四種速度的大??？
分析：同步衛星的發射方法有兩種，本題提供一種同步衛星的發射方法，考察衛星在不同軌道上運行的特性。
【討論與評價】衛星運動的加速度是由地球引力作用于衛星所提供的，所以研究加速度時，首先要考慮牛頓第二運動定律；衛星在外軌道運動時，做離心運動，半徑增大，速度也要增大，所以只能做加速運動。
同步衛星是如何發射的？
通過上面的例子和教材，我們知道發射同步衛星有兩種方法，一種是直接發射進入同步軌道；另一種是先發射到低地球軌道，然后加速進入橢圓軌道，再加速進入地球同步軌道。
【案例七】“連續組”與“衛星組”
土星的外層有一個環，為了確定它到底是土星的一部分，也就是土星的“連續體”還是土星的“衛星群”，可以通過測量環內各層的線速度v與該層到土星中心的距離R的關系來確定：
【討論與評價】土星也在旋轉，能分辨出光環是附著在土星上的還是土星的衛星，并理解其中適用的物理定律是解題的關鍵。同時要注意的是，衛星不一定是同步衛星。
【案例八】空間站“完全失重”問題
假設空間站繞地球做勻速圓周運動，則在空間站上無法進行以下實驗：
A. 天平測量物體的質量
B.使用彈簧秤測量物體的重量
C. 用測力計測量力
D.用水銀氣壓表測量飛船密閉艙內的氣壓
E. 用單擺確定重力加速度
F. 使用點計時器驗證機械能守恒定律
分析：本題考察空間站上“完全失重”的現象。
當航天器繞地球做勻速圓周運動時，地球引力提供向心加速度。
答案是：F = 0，即完全失重
在完全失重狀態下，物體在重力方向上所受的彈力等于零，物體所受的重力等于重力，所以只能進行實驗C和F，其他實驗都無法進行。
【討論與評價】當物體的加速度等于重力加速度時，物體在重力方向上受到的彈力等于零，但物體的重力不等于零；人們可以在人造衛星或空間站上進行機械運動，卻無法測量物體的重力。
【案例9】黑洞問題
“黑洞”問題是愛因斯坦廣義相對論預言的一種特殊天體，它密度非常大，對周圍物質（包括光子）有很強的吸引力。按照愛因斯坦理論，光子是有質量的，光子到達黑洞表面也會被吸入，最多只能繞著黑洞表面做圓周運動。根據天文觀測，銀河系中心可能存在一個黑洞，距離可能存在的黑洞6.0×1012m處有一顆恒星，以2.0×106m/s的速度圍繞其旋轉。據此，可能存在的黑洞的最大半徑是多少？（保留一位有效數字）解析：本題考查“黑洞”的基本知識，為信息題。
黑洞作為一種特殊的天體，一直受到人們的廣泛關注。種種跡象表明，它們確實存在于人類的視覺之外。黑洞的黑性在于，連光子都無法逃脫它的引力束縛。當光子繞黑洞做勻速圓周運動時，它的軌道半徑就是黑洞可能的最大半徑。設光子的質量為m，黑洞的質量為M，黑洞可能的最大半徑為R，光子的速度為c。
【討論與評價】通過以上數據分析，我們知道黑洞是一種特殊的天體，質量和半徑都很大，因此對周圍的恒星有特別強的引力，任何物質（包括光子）都會被吸入其中，這就是它被命名為“黑洞”的原因。黑洞是否真的存在，其運動特征和規律是什么，同學們可以上網查找資料，充分考察研究。希望同學們將來成為真正的探索宇宙的科學家，一定要認真學習課本上的閱讀材料，能夠運用中學物理知識來分析和解決科技問題。
【案例十】宇宙膨脹問題
在研究宇宙發展演化的理論中，有一種理論叫“宇宙膨脹論”，認為引力常數G在慢慢減小。根據該理論，很久很久以前，與現在地球在太陽系公轉的情況相比，（1）公轉半徑如何變化？（2）公轉周期如何變化？（3）公轉線速度如何變化？要求寫出必要的推理依據和推理過程。
分析：這也是一道信息題，主要考查學生運用萬有引力定律進行推理分析的能力。提供的信息是“引力常數在慢慢減小”。在漫長的宇宙演化過程中，由于“G”在減小，地球上的引力在變化，因此地球公轉的半徑和周期速度都在變化。也就是說，地球不再做勻速圓周運動了。但是由于G減小得很慢，在比較短的時間內，可以認為地球還在做勻速圓周運動——引力提供了向心力。設M為太陽質量，m為地球質量，r為地球公轉半徑，T為地球公轉周期，v為地球公轉速度。
【討論與評價】本題為信息推理與論證類題目，由于要求寫出推理依據和推理過程，這就要求我們充分利用“引力提供向心加速度”這一重要定律，了解信息，理清規律，找出變量，進行嚴謹的推理。
【案例11】月球開發問題
科學探索表明，月球擁有豐富的氧、硅、鋁、鐵等礦產資源。設想人類開發月球，源源不斷地把月球上的礦產運往地球。假設經過長時間的開采，月球和地球仍然被認為是均勻的球體，月球仍然在開采前的軌道上運行，請問：
（一）地球和月球的引力如何變化？
（二）月球繞地球公轉的周期是怎樣變化的？
（三）月球繞地球運動的速度如何變化？
分析：本題主要考查數學在天文學中的應用。
【討論與評價】這也是一道信息題，了解題中的信息，明確變量，充分利用幾種數學方法，尋找極值來思考問題，用函數的思想來解決問題，這些都很重要。
【案例十二】“宇宙飛船”與能源問題
飛船即將與在軌運行的空間站對接。 （1）飛船應采取什么措施追上在軌運行的空間站？ （2）飛船脫離原定軌道返回大氣層時，重力勢能如何變化？動能如何變化？機械能如何變化？
分析：本題主要考察航天器運行過程中的能源問題。
隨著航天器距地面的高度逐漸減小，航天器的重力勢能減?。挥捎诤教炱髯龉π枰朔髿庾枇椭苿恿?，所以航天器的機械能減小。
【討論與評價】航天器在空間軌道上的運動，是靠地球引力產生的向心加速度來維持的。如果軌道固定，速度就固定。如果它想向外軌道運動，就要加速，使它做離心運動；如果它想向內軌道運動，就要減速，使它做向心運動。研究航天器的能量問題，要從功的角度去考慮，從實用的角度去研究，要抓住矛盾的主要方面去分析。
萬有引力在天文學中的應用還有很多，這里就不一一研究了。不管是什么問題，只要我們認真審題，理清物體運動的物理圖景，知道物體的狀態參數，理解應用的物理規律，勇于探索，善于總結規律機械能守恒定律典型例題，就一定能學好高中物理。
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