貢獻者：；亞的斯亞貝巴
初步知識：電場高斯定律、磁場高斯定律、安培環路定律（靜磁學）
在本文中，我們總結了靜電場和磁場的一些基本屬性。這里所謂的“靜態”是指系統的狀態不隨時間而改變。例如，電荷、電流、電場等的強度和分布是恒定的。注意，這里的“安靜”和“靜止”的含義并不完全相同。并不是說沒有電荷流（電流），而是意味著電荷流的速度是均勻的，即所謂的“恒定電流”。
1. 電荷、電流和電荷守恒
什么是收費？從有意義的角度來說，電荷是“粒子與電磁場相互作用的強度”。然而，對于初學者來說，您需要知道的是，電荷是粒子/物質的屬性，就像質量一樣。引入電荷概念是因為人們發現物質之間除了源于質量的引力相互作用外，還存在另一種相互作用，其強度與質量無關，而是與物質的另一種性質有關。這種性質稱為“電荷”，這種相互作用稱為“靜電力”。
當電荷呈離散分布時（例如眾所周知的點電荷模型，對應于“粒子”），我們可以描述每個點電荷所攜帶的電荷量$q_i$；而當電荷連續分布時（例如物體各處都有電荷，對應“剛體”），我們更喜歡使用電荷密度，即單位體積的電荷量 $rho = frac{{ d}{q}}{txrzbvzd{V}} $.
當（大量）電荷沿一個方向移動時，就會產生電流。電流可以用電流強度$I$和電流密度${{j}}$來表示：
表1：電流強度和電流密度
電流強度$I$：“單位時間內通過橫截面的電荷量”
$I = frac{txrzbvzd{q}}{txrzbvzd{t}} $
電流密度${{j}}$：“單位時間內通過單位面積的電荷量”
$$I = oint {{j}} cdot ,txrzbvzd{ {{S}} } ~$$ $$ {{j}} = frac{txrzbvzd {I}}{txrzbvzd{S_perp}} hat n~$$ $$ {{j}} = ne {{v}} ~$$其中，$n$ 是攜帶 載流子的體積數密度（載流子就是電荷載流子）高中物理磁場公式，$e$是每個載流子的電荷量，${{v}}$是載流子的速度。
與質量一樣，電荷也是守恒的。也就是說，如果某個區域有電荷（電流）流出，那么該區域的電荷量就會相應減少。 $$oint {{j}} \cdot ,txrzbvzd{ {{s}} } = - frac{txrzbvzd}{txrzbvzd{t}} int rho ,txrzbvzd{V} qquad sum_i I_i = - frac{txrzbvzd{q}}{txrzbvzd{t}} ~,$$其中，$ {{j }} $ 為電流密度網校頭條，$rho = frac{txrzbvzd{q}}{txrzbvzd{V}} $ 為電荷密度，$I>0$ 表示流出的電流區域，否則輸入電流?；?$${nabla}{cdot} {{j}} + frac{ rho}{ t} = 0~.$$ 靜態場條件下，空間中的電荷密度和電流密度不隨時間變化，所以 $${nabla}{cdot} {{j}} = 0 qquad sum_i I_i = 0~.$$這個結論也稱為 丈夫第一定律。
2.靜電場和靜磁場
圖1：電荷和電流分別在截面上產生的電場和磁場的示意圖。 CC 0
眾所周知，電荷和電流在它們周圍分別產生電場和磁場。下表反映了電荷、電流及其產生的電場和磁場之間的關系：
表2：靜電場和靜磁場
電場 $ {{E}} $
磁場 $ {{B}} $
場源
收費 $q$
當前（移動費用）$I$
由字段源生成的字段
$$ ,txrzbvzd{ {{E}} } ( {{r}} ) = frac{1}{4 pi } frac{ ,txrzbvzd{q} }{R^2} {{hat R}} ~ $$ 不太嚴格地說， $ ,txrzbvzd{ {{E}} } $ 由單個小電荷組成 $ ,產生的電場為txrzbvzd{q}$。
$$ ,txrzbvzd{ {{B}} } ( {{r}} ) = frac{mu_0}{4pi} frac{I ,txrzbvzd{ {{r}} '} \times hat{{{R}}} }{R^2}~$$ 畢奧-薩伐爾定律； $ ,txrzbvzd{ { {B}} } $ 是一小部分電流 $I ,txrzbvzd{ {{r}} '} $ 產生的磁場。
線性疊加原理
$$ {{E}} ( {{r}} ) = int ,txrzbvzd{ {{E}} } = frac{1}{4 pi } int frac{ ,txrzbvzd{q} }{R^2} {{hat R}} ~ $$ 由于相應的方程是線性的，如果空間中有多個電荷，則它們的總和電場是各個電荷產生的電場之和。
$$ {{B}} ( {{r}} ) = oint ,txrzbvzd{ {{B}} } = frac{mu_0}{4pi} oint frac{I ,txrzbvzd{ {{r}} '} \times hat{{{R}}} }{R^2}~$$
散度方程
$$oint {{E}} \cdot ,txrzbvzd{ {{s}} } = frac{1}{}int rho ,txrzbvzd{V } = frac{Q}{}~$$$$ {nabla}{cdot} {{E}} = frac{rho}{}~$$ 高斯電場定律
$$oint {{B}} \cdot ,txrzbvzd{ {{s}} } = 0~$$$$ {nabla}{cdot} {{ B}} = 0~$$高斯磁場定律
旋度方程
$$ oint {{E}} \cdot ,txrzbvzd{ {{l}} } = {{0}} ~$$$$ {nabla}{ times} {{E}} = {{0}} ~$$ 靜電場循環定理，基爾霍夫第二定律的表達式。
$$oint {{B}} \cdot ,txrzbvzd{ {{l}} } = mu_0 int {{j}} \cdot ,txrzbvzd { {{s}} } =mu_0 I ~$$$$ {nabla}{times} {{B}} = mu_0 {{j}} ~$$ 靜磁領域 電路定理（技術術語：安培電路定律）
其中$ {{r}} $為場點，$ {{r}} '$為場源位置，$ {{R}} = {{r}} - { {r}}'$是從場源指向場點的向量，${{hat R}}$是對應的單位向量。 $$、$mu_0$分別是“真空介電常數”和“真空磁導率”（根據 ，這兩個常數的名稱具有誤導性，你只需要知道它們是兩個常數即可）。
當我們擁有美麗的“場源生成的場”時，為什么我們需要散度和旋度方程（微分形式）？盡管兩者可以相互“衍生”，但散度和旋度方程仍然具有（潛在的、理論上的）優點：
3.電（標準）勢和磁矢量勢
基于數學和物理的考慮，我們可以引入勢的概念。有時候勢的概念比場更加簡潔和深刻。
表 3：電（標準）電勢和磁矢量電勢
電場 $ {{E}} $
磁場 $ {{B}} $
潛在的
$$~$$ 電勢，標量函數
$$ {{A}} ~$$ 磁矢量勢，矢量函數
勢和場
$$ {{E}} = - \nabla ~$$ $$ ( {{r}} ) = int^{ {{r}} _0}_{ {{ r}} } {{E}} cdot ,txrzbvzd{ {{l}} } ~ $$ ($ {{r}} _0$ 為零電位參考點，一般所選無窮大電位為0，具體請參考下面的“規格”）
$ {{B}} = {nabla}{times} {{A}} ~$
潛在的任意性、“規范”
$$ += ~$$ $$ 是一個常數
$$ {{A}} += \nabla ~$$ $$ 是一個標量函數。基于此，可以控制${nabla}{cdot}{{A}}$的值
場源引起的電勢
$$( {{r}} ) = frac{1}{4pi} int frac{rho( {{r}} ')}{ leftlvert { {r}} - {{r}} ' rightrvert } ,txrzbvzd{V} '~.$$ （假設無窮大勢能為零）
$$ {{A}} ( {{r}} ) = frac{mu_0}{4pi} int frac{ {{j}} ( {{r}} ')}{ leftlvert {{r}} - {{r}} ' rightrvert } ,txrzbvzd{V'} ~.$$ （假設規范 $ { 納布拉}{cdot} {{A}} = 0$)
勢能方程
$$nabla^2 = -frac{rho}{}~$$ （假設無窮大勢能為零）
$$nabla^2 {{A}} = - mu_0 {{j}} ~$$ （取范數$ {nabla}{cdot} {{A}} = 0 美元)
潛力的定義
引入勢的數學考慮因素是（詳細信息參見“向量分析概述”）：
靜電場和磁場自然分別滿足這些條件，因此可以分別定義電勢和磁勢。
對于物理考慮，請參閱“電勢、電勢能”。
從電場與電勢的關系不難看出，靜電場實際上只有一個自由度$$，而不是看上去的三個$(E_x,E_y,E_z)$。
潛力的任意性
由于電荷直接感受到的是場而不是電勢（見下文“洛倫茲力”），因此只要能獲得相同的場，電勢的值就有一定的靈活性。例如，由于 $ {{E}} = - \nabla $，即使在勢上添加常數后，仍然有 $ {{E}} = - \nabla (+) = - \nabla - \nabla = - \nabla $，即對應的電場不會改變。因此，勢能總是可以相差一個常數，而不改變“實質性結果”。這有點像我們做不定積分時，總會得到一個積分常數$C$；或者在求函數的導數時，常數項不會改變導函數。選擇常數的方法稱為“范數”。根據相應的情況，我們會選擇合適的范數來簡化計算。在靜態場中，我們一般將無窮遠處的電勢設為零，并讓磁勢滿足 $ {nabla}{cdot} {{A}} = 0$。
勢能方程
將電勢的定義代入方程組，并輔以數學技術，即可得到相應電勢的方程。例如，對于電勢： $$left {begin{}{{E}} &= - \nabla \\{nabla}{cdot} {{E}} &= frac{rho}{}\end{}right.\{nabla}^2 = -frac{rho}{}~.$$
磁勢也是如此，但它需要更巧妙地使用數學技術和規范。具體證明過程照常留給讀者：$$left {begin{}{{B}} &= {nabla} {times} {{A}} \ {nabla}{times} {{B}} &= mu_0 {{j}} \{nabla} {cdot} {{A}} &= 0 \end{}right.\{nabla}^2 {{A}} = -mu_0 {{j}}~ .$$由于磁勢 $ {{A} } $ 是一個向量，磁勢方程實際上包括三個標量方程（笛卡爾坐標系）： $$nabla^2 {{A}} = - mu_0 {{j}} ~\左 {begin{}{nabla}^2 A_x = -mu_0 j_x\{nabla}^2 A_y = -mu_0 j_y\ {nabla}^2 A_z = -mu_0 j_z \結束{}對.~.$$
場源引起的電勢
原則上，“場源產生的電勢”是相應電勢方程的解，但這很慢。根據電場的性質、電勢的定義以及電勢與積分路徑無關的性質，我們可以很容易地得到“電荷引起的電勢”。這也是我們高中大事理解的方法： $$ = int { {E}} cdot ,txrzbvzd{ {{l}} } = frac{1} {4pi} frac{q}{R}~,$$ 并推廣為連續形式 $$ = frac{1}{4pi} int frac{rho}{R} ,txrzbvzd{V} '~.$$根據磁勢方程與電勢的相似性，以此類推，可得“電流引起的磁勢”。這就避免了求解偏微分方程的困難。
圖 2：源 -> 潛力 -> 場
4.洛倫茲力
電磁場中點電荷所受的力由洛倫茲力公式給出： $${{F}} = q ( {{E}} + {{v}} \times { {B}} )~.$$ 注意，這個公式不包括點電荷靜止或勻速運動時產生的電磁場。但當點電荷以非均勻速度運動時，就會產生輻射（即電磁波），這種輻射又會作用在點電荷上。從能量守恒定律的角度來看，電荷產生輻射并失去能量，那么動能必然減少，因此它的輻射必然是其整體對自身力的阻力。然而，一般來說，我們假設這種輻射的功率足夠小，其影響可以忽略不計。
對于連續分布的電荷，我們描述單位體積（“一塊”）電荷所經歷的洛倫茲力。相當于上式兩邊都“除”$,txrzbvzd{V}$。 $$ {{f}} = frac{txrzbvzd{ {{F}} }}{txrzbvzd{V}} = frac{txrzbvzd{q}}{ txrzbvzd{V}} ( {{E}} + {{v}} \times {{B}} ) = rho ( {{E}} + {{ v}} \次 {{B}} )=rho {{E}} + {{j}} 次 {{B}} ~.$$
有時我們假設電流伴隨著符號相反的靜電荷，因此電流整體上沒有靜電荷，不會產生電場。
防撞說法：與電動力學緊密結合的狹義相對論告訴我們，這種說法并不嚴謹。
與靜電場中電荷可以任意放置不同，在靜磁場中我們不能“任意放置”電流，而必須使電流形成回路或延伸至無窮大。如果設計的“電路”沒有形成環路，那么根據電荷守恒定律，該區域的電荷密度必然發生變化，因此不再是靜態場問題。這就是為什么這個公式實際上并不能準確描述“單個移動電荷的磁場”。
為什么 $ {nabla}{times} {{E}} = {{0}} $ 缺少方程？因為在介紹電勢概念時，我們已經用過這個方程：任何標量函數的梯度旋度始終為零：$ {nabla}{times} ( \nabla ) = 0$。
大衛，至，4ed
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