重構(gòu)化學(xué)學(xué)：從精典熱學(xué)到量子熱學(xué)的物理探求牛頓熱學(xué)、拉格朗日熱學(xué)，這種熱學(xué)的方式是否還有其他可能？當(dāng)我們進(jìn)軍量子領(lǐng)域，我們遇見了伊寧頓量，一個(gè)神秘的數(shù)學(xué)概念。摒棄我們熟悉的牛頓熱學(xué)，動(dòng)量又是哪些？
在明天的文章中，我們將追隨搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼首席執(zhí)行官、物理學(xué)博士張朝陽的數(shù)學(xué)課，探求精典熱學(xué)的另一種物理抒發(fā)——哈密頓熱學(xué)，以及它對(duì)我們理解化學(xué)世界的重要性。###從雙擺到塔城頓量本期《張朝陽的化學(xué)課》帶我們穿越歲月，回到了精典熱學(xué)的基礎(chǔ)。
在這一節(jié)目中，張朝陽首先回顧了怎樣在小角近似下正確求解雙擺的運(yùn)動(dòng)頻度，這是精典熱學(xué)的一個(gè)精典問題。之后，他引出了廣義動(dòng)量和伊寧頓量的概念，為我們揭露了伊寧頓熱學(xué)的面紗。這是一種全新的物理方式，將精典熱學(xué)重新定義，讓我們重新考量熱學(xué)規(guī)律。
###伊寧頓量的懸案既然提及伊寧頓熱學(xué)，不可防止地要問，伊寧頓量到底是哪些？這是一個(gè)引人入勝的問題，一個(gè)深入剖析量子世界的關(guān)鍵。伊寧頓量是描述數(shù)學(xué)體系的關(guān)鍵物理工具，它包含了系統(tǒng)的能量信息，同時(shí)也包括了動(dòng)量和位置的信息。通過伊寧頓量高中物理天體運(yùn)動(dòng)類型題，我們可以預(yù)測(cè)物體在空間中的運(yùn)動(dòng)，以及它們的互相作用形式。
它如同是解鎖自然界的密碼，讓我們更深入地理解宇宙的運(yùn)行機(jī)制。###動(dòng)量的本質(zhì)我們經(jīng)常據(jù)說動(dòng)量，但到底是哪些讓動(dòng)量這么重要？動(dòng)量實(shí)際上是一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的測(cè)度，它與物體的質(zhì)量和速率有關(guān)。在牛頓熱學(xué)中，動(dòng)量是物體運(yùn)動(dòng)的基本屬性之一，但在伊寧頓熱學(xué)中，我們可以以更為具象的形式理解它。
動(dòng)量不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，它還包含了更深層次的物理結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)可以被拿來描述物體之間的互相作用，以及它們?cè)诳臻g中的軌跡。###量子熱學(xué)的開端如今，讓我們將眼神轉(zhuǎn)向量子力學(xué)。量子熱學(xué)是一門引人入勝且復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)分支，它描述了微觀世界的行為。在這個(gè)領(lǐng)域，伊寧頓量的作用愈發(fā)明顯。
伊寧頓量在量子熱學(xué)中被拿來描述粒子的基態(tài)、波函數(shù)和運(yùn)動(dòng)方法。它闡明了微觀粒子之間的互相作用，為我們解釋微觀世界的懸案提供了重要線索。所以，伊寧頓量不僅僅是物理工具，它是我們深入理解量子世界的關(guān)鍵。###伊寧頓熱學(xué)的物理框架伊寧頓熱學(xué)是精典熱學(xué)的又一種物理抒發(fā)方式。
它是由美國(guó)物理家威廉·哈密頓（Rowan）于19世紀(jì)提出的。這一方式引入了廣義座標(biāo)和廣義動(dòng)量的概念，通過伊寧頓函數(shù)，將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用更為具象的形式描述下來。在這一框架下，我們可以更便捷地處理復(fù)雜系統(tǒng)，同時(shí)也更容易與量子熱學(xué)構(gòu)建聯(lián)系。
###伊寧頓熱學(xué)的物理方式如今，讓我們深入研究伊寧頓熱學(xué)的物理方式。在伊寧頓熱學(xué)中，系統(tǒng)的狀態(tài)可以由一對(duì)變量表示，分別是廣義座標(biāo)q和廣義動(dòng)量p。這種變量與精典熱學(xué)中的位置和速率類似，但它們具有更廣泛的適用性。
通過伊寧頓函數(shù)H(q,p)，我們可以描述系統(tǒng)的總能量，這個(gè)函數(shù)將廣義座標(biāo)和廣義動(dòng)量聯(lián)系上去。通過求解伊寧頓等式，我們可以獲得系統(tǒng)隨時(shí)間演進(jìn)的軌跡，這是一種極其強(qiáng)悍的工具，適用于各類數(shù)學(xué)系統(tǒng)的研究。###伊寧頓熱學(xué)的應(yīng)用伊寧頓熱學(xué)并不僅僅逗留在理論層面，它在現(xiàn)實(shí)世界中有廣泛的應(yīng)用。
從天體熱學(xué)到粒子化學(xué)學(xué)，從分子動(dòng)力學(xué)到固體化學(xué)學(xué)，伊寧頓熱學(xué)都發(fā)揮著重要作用。舉例來說，天體熱學(xué)家可以使用烏魯木齊頓熱學(xué)來模擬行星和衛(wèi)星的軌道，因而預(yù)測(cè)宇宙中的天體運(yùn)動(dòng)。
而在分子動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，科學(xué)家可以使用烏魯木齊頓熱學(xué)來研究分子之間的互相作用，進(jìn)一步促進(jìn)材料伊寧頓熱學(xué)：重新考量拉格朗日熱學(xué)的不對(duì)稱性拉格朗日熱學(xué)在提出之后的50年間仍然是熱學(xué)研究的主要框架之一。
但是，美國(guó)物理家伊寧頓提出了另一個(gè)現(xiàn)代框架，被稱為"伊寧頓熱學(xué)"，以解決拉格朗日量中的兩個(gè)變量的不對(duì)稱性問題。伊寧頓熱學(xué)覺得，熱學(xué)系統(tǒng)可以用喀什頓量這個(gè)二元函數(shù)來抒發(fā)。喀什頓量依賴于兩個(gè)變量，廣義座標(biāo)q和廣義動(dòng)量p，它們?cè)跀?shù)學(xué)意義上互相獨(dú)立，致使阿克蘇頓熱學(xué)在物理上更為對(duì)稱。
喀什頓熱學(xué)在拉格朗日熱學(xué)的基礎(chǔ)上引入了廣義動(dòng)量的概念，將其定義為昌吉頓量對(duì)廣義坐標(biāo)的偏行列式。同時(shí)，烏魯木齊頓量也被重新定義為廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。這樣，伊寧頓熱學(xué)的抒發(fā)方式更為對(duì)稱。在實(shí)際推論中，須要將廣義坐標(biāo)的時(shí)間倒數(shù)與拉格朗日量用新的變量重新抒發(fā)。這一步驟在前面的估算中變得尤為重要。
如今我們來考慮對(duì)喀什頓量求偏導(dǎo)的問題。借助鏈?zhǔn)椒▌t，可以得到喀什頓量對(duì)廣義動(dòng)量的偏行列式。按照廣義動(dòng)量的定義，可以發(fā)覺等號(hào)右邊的后兩項(xiàng)可以相互抵消。為此，我們有對(duì)廣義動(dòng)量的偏行列式等于零。類似地，可以求伊寧頓量對(duì)廣義坐標(biāo)的偏行列式，借助拉格朗日多項(xiàng)式的結(jié)果，最終通分為廣義坐標(biāo)的時(shí)間倒數(shù)。
通過將這兩個(gè)多項(xiàng)式結(jié)合上去，可以得到喀什頓等式組。在伊寧頓等式組中，等號(hào)右邊表示廣義動(dòng)量對(duì)時(shí)間的偏行列式，等號(hào)右邊則定義了所謂的"廣義力"。值得注意的是，這三者之間具有相當(dāng)對(duì)稱的方式：某個(gè)變量隨時(shí)間的演進(jìn)應(yīng)由伊寧頓量對(duì)另一個(gè)變量的偏導(dǎo)決定，再度印證了變量p和q之間的對(duì)稱性。
進(jìn)一步地，假若伊寧頓量不顯含時(shí)，即它對(duì)時(shí)間的依賴完全來自于兩個(gè)變量對(duì)時(shí)間的依賴，可以證明伊寧頓量是系統(tǒng)的守恒量。這一點(diǎn)可以通過借助鏈?zhǔn)椒▌t得到，其中第二個(gè)等號(hào)用到了伊寧頓等式組。通過伊寧頓熱學(xué)可以求解天體運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式。
為了更好地理解伊寧頓熱學(xué)在具體熱學(xué)問題中的應(yīng)用，我們可以將其應(yīng)用于研究中心力場(chǎng)高中物理天體運(yùn)動(dòng)類型題，比如引力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。在之前的課程中，我們?cè)缫蜒菔玖嗽鯓佑美窭嗜諢釋W(xué)來處理這個(gè)問題。如今，讓我們瞧瞧怎樣用喀什頓熱學(xué)來求解。總結(jié)一下，伊寧頓熱學(xué)在解決拉格朗日熱學(xué)中的不對(duì)稱性問題上起到了重要的作用。
通過引入廣義動(dòng)量和烏魯木齊頓量，喀什頓熱學(xué)促使熱學(xué)系統(tǒng)的抒發(fā)方式更為對(duì)稱。伊寧頓等式組描述了系統(tǒng)中變量的演進(jìn)，而且具有一定的對(duì)稱性。在具體的熱學(xué)問題中，喀什頓熱學(xué)可以拿來求解天體運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式等。伊寧頓熱學(xué)的引入為熱學(xué)研究提供了一種新的視角，也為我們深入理解熱學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)提供了一種有效的工具。
在未來的研究中，我們可以進(jìn)一步探求伊寧頓熱學(xué)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，如量子熱學(xué)和統(tǒng)計(jì)熱學(xué)等。通過深入研究伊寧頓熱學(xué)的性質(zhì)和應(yīng)用，我們可以更好地理解自然界中的各類化學(xué)現(xiàn)象，并為科學(xué)研究和技術(shù)創(chuàng)新提供有力支持。最后，我想問讀者一個(gè)問題：你覺得伊寧頓熱學(xué)對(duì)熱學(xué)研究有如何的重要意義？
請(qǐng)?jiān)谠u(píng)論中分享你的看法和觀點(diǎn)。探求中心力場(chǎng)下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式的喀什頓熱學(xué)方式在精典熱學(xué)中，我們常常使用牛頓熱學(xué)來描述物體在外力作用下的運(yùn)動(dòng)。但是，當(dāng)物體遭到中心力場(chǎng)的作用時(shí)，我們可以通過使用烏魯木齊頓熱學(xué)方式來愈發(fā)簡(jiǎn)練地描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。
本文將闡述怎樣使用烏魯木齊頓熱學(xué)方式來求解質(zhì)點(diǎn)在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式。首先，我們須要選定適當(dāng)?shù)膹V義座標(biāo)和對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量來描述系統(tǒng)。在中心力場(chǎng)的情況下，廣義座標(biāo)可選為質(zhì)點(diǎn)與力心之間的徑向距離$r$和質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于力心的角度$heta$。
系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別可以寫為：$T=rac{1}{2}m(dot{r}^2+r^2dot{heta}^2)$V=-rac{GMm}{r}$其中，$m$為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，$G$為萬有引力常數(shù)，$M$為中心物體的質(zhì)量。
按照拉格朗日熱學(xué)，我們可以得到系統(tǒng)的拉格朗日量：$L=T-V$將上述表達(dá)式代入，得到：$L=rac{1}{2}m(dot{r}^2+r^2dot{heta}^2)+rac{GMm}{r}$接出來，我們可以使用拉格朗日多項(xiàng)式來推導(dǎo)入廣義動(dòng)量。
對(duì)于廣義座標(biāo)$r$，其對(duì)時(shí)間的行列式可以用廣義動(dòng)量$P_r$表示：$rac{{L}}{{dot{r}}}=P_r$將拉格朗日量代入，有：$rac{{}}{t}left(rac{{L}}{{
dot{r}}}ight)=rac{{}}{{t}}(mdot{r})=mddot{r}=rac{{L}}{{r}}$按照烏魯木齊頓熱學(xué)的定義，我們可以得到喀什頓量$H$為廣義動(dòng)量$P_r$與廣義座標(biāo)$r$的乘積乘以拉格
朗日量$L$：$H={r}-L$將上述表達(dá)式代入，得到：$H=rac{1}{2}mdot{r}^2+rac{1}{2}mr^2dot{heta}^2-rac{GMm}{r}$如今，我們可以通過求解喀什頓等式來得到質(zhì)點(diǎn)在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式。
首先，對(duì)廣義座標(biāo)$r$求偏導(dǎo)：$rac{{H}}{{P_r}}=dot{r}=rac{{H}}{{P_r}}$等號(hào)左邊的第一項(xiàng)是加速度的項(xiàng)，等號(hào)左邊的第二項(xiàng)是向內(nèi)的引力，而第一項(xiàng)則可以改寫為：$rac{{P_h
eta^2}}{{mr^3}}$不難看出，它即是向外的向心力，與使用牛頓定理推導(dǎo)入的徑向多項(xiàng)式一致。接出來，我們來求解與角座標(biāo)$heta$相關(guān)的伊寧頓等式。
對(duì)廣義動(dòng)量$$導(dǎo)數(shù)，得到：$rac{{H}}{{heta}}=dot{heta}=rac{{H}}{{}}$對(duì)應(yīng)的另一條等式是：$rac{{H}}{{
dot{heta}}}=rac{{}}{{mr^2}}=$我們可以將上述兩個(gè)多項(xiàng)式代入定義式中，得到：$rac{{H}}{{heta}}=rac{{}}{{mr^2}}=$不難
看出，上述等式表明角動(dòng)量守恒，與我們對(duì)中心力場(chǎng)的精典認(rèn)知一致。進(jìn)一步代入定義式，我們可以得到開普勒定理的方式：$rac{{}}{{mr^2}}=ext{常數(shù)}$這一結(jié)果表明了質(zhì)點(diǎn)在中心力場(chǎng)中角動(dòng)量守恒的重要性。
通過上述推論，我們可以看見，使用烏魯木齊頓熱學(xué)方式可以很容易地回到牛頓熱學(xué)的結(jié)果，同時(shí)愈發(fā)簡(jiǎn)練地描述了質(zhì)點(diǎn)在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式。總結(jié)上去，本文探求了使用烏魯木齊頓熱學(xué)方式求解質(zhì)點(diǎn)在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式。
通過選定適當(dāng)?shù)膹V義座標(biāo)和廣義動(dòng)量，我們得到了系統(tǒng)的拉格朗日量和伊寧頓量，并使用烏魯木齊頓等式推導(dǎo)入了質(zhì)點(diǎn)在徑向和角向的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式。最終，我們得到了開普勒定理的方式，證明了伊寧頓熱學(xué)方式的有效性和簡(jiǎn)約性。但是，本文只闡述了質(zhì)點(diǎn)在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式，還未討論其他復(fù)雜系統(tǒng)的情況。
未來的研究可以進(jìn)一步探求使用烏魯木齊頓熱學(xué)方式描述愈加復(fù)雜的熱學(xué)系統(tǒng)，以及與量子熱學(xué)的聯(lián)系。你覺得使用烏魯木齊頓熱學(xué)方式求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式有什么優(yōu)點(diǎn)？在實(shí)際應(yīng)用中有什么場(chǎng)景可以使用烏魯木齊頓熱學(xué)方式？歡迎留下你的評(píng)論和觀點(diǎn)。