石宇
（復旦大學物理系）
一、簡介
由于在拓撲相變和物質拓撲相方面的開創性工作，Solis (David J.)、 (FM) 和 (J.) 共同榮獲 2016 年諾貝爾物理學獎[1]。
這三位獲獎物理學家都是長期在美國工作的英國人。 他們出生于英國，本科就讀于劍橋大學。 索利斯出生于1934年，在美國康奈爾大學獲得博士學位。 他的導師是著名物理學家漢斯·貝特。 他是華盛頓大學的名譽教授。 霍爾丹出生于 1951 年，在劍橋大學獲得博士學位。 在我心目中，他的導師是愛德華茲（Sam F.）和當時在劍橋大學兼職的著名物理學家菲爾·W·安德森（Phil W. ）。 他是普林斯頓大學的教授。 科斯特利茨出生于1942年，獲得牛津大學博士學位，現為布朗大學教授。
在頒獎當天寫下的即時評論中，作者曾表示：“今年的獎項對他（索利斯）來說已經姍姍來遲了?！盵2] 除了字面意思之外，這句話也有點特別。 意思是，因為可悲的是，索利斯患有輕度癡呆癥（）。
拓撲原本是一個數學概念，指的是物體在連續變化下保持不變的性質。 連續變化是指拉伸、扭曲、變形等，但不能被“用力過猛”撕裂
。 例如，球體和橢球體，甚至任何沒有孔的形狀的物體，在拓撲上都是相同的。 百吉餅在拓撲上與帶把手的茶杯，甚至任何帶有孔的物體相同。 因此，孔的數量（數學上稱為虧格）是一個拓撲性質，也是一個整數。
三位獲獎科學家發現拓撲在凝聚物質的某些物理性質方面起著至關重要的作用。 凝聚態物質是指由大量粒子組成的物質，如固體、流體等。這些物理性質一般是指低溫下的性質，其中量子力學發揮著重要作用。 三位科學家的獲獎工作都是關于研究低維凝聚態物質系統。 通?？臻g是三維的（長、寬、高）。 當組成系統的微觀粒子的運動受到限制時，它可以成為低維系統，即二維（只有長度和寬度）或一維（只有長度）。 索利斯和科斯特利茨的獲獎作品是關于二維系統的。 霍爾丹的獲獎作品涉及二維和一維系統。
三位獲獎者的成果后來導致了這一研究領域的巨大進展，使我們能夠從微觀粒子的拓撲性質角度理解凝聚態物質，并設計新材料、新器件，甚至有可能為量子計算機的實現做出貢獻。
2. 拓撲相變
獲獎成果之一是所謂的拓撲相變。
相變是指由相同微觀粒子組成的宏觀體系在不同溫度下表現出完全不同的性質。 例如，隨著溫度下降，氣體變成液體，液體變成固體。 再比如，隨著溫度下降，液氦可以變成超流體凝聚態物理得諾貝爾物理學獎，即變成沒有粘度的流體（類似于超導）。 不同宏觀性質的表現形式稱為相，如水的氣相、液相和固相，或者液氦的超流相和正相。
相變的發生是由于兩個因素之間的競爭：能量和一定程度的無序（稱為熵）。 一方面，不同的相具有不同的能量。 例如，簡單來說，液相的能量比氣相低，固相的能量比液相低。 另一方面，液相比固相更混亂，并且氣相比液相更混亂。 對于液氦來說，超流相的能量比正相低，正相比超流相更加混亂。 混沌程度（熵）乘以溫度可以直接與能量進行定量比較。 為了穩定，系統既希望能量盡可能低，又希望混沌程度盡可能高。 最終結果是存在一個溫度，高于該溫度系統處于一個相，低于該溫度系統處于另一相。 這是一個相變。
1972年之前，物理學家普遍認為從正相到超流相的相變只能存在于三維系統中。 對于二維系統，當時認為在非零溫度下不存在相變。 換句話說，在任何非零溫度下，正態性總是獲勝，因為它在混沌程度上的優勢總是能夠克服能量上的不利趨勢。 因此，有人說，在2D或1D系統中，在任何非零溫度下，熱波動破壞了有序性凝聚態物理得諾貝爾物理學獎，并且不存在相變。
1972年，英國伯明翰大學數學物理教授索利斯和博士后科斯特利茨發現，通過拓撲可以在二維上發生新的相變，即拓撲相變。 具體來說，到達此拓撲的路徑是通過渦流。 渦流是指液體在一定區域內繞軸旋轉（或某種物理性質隨繞軸角度變化）。 這是一種拓撲結構，因為無論怎么旋轉，旋轉一圈總是360度。 與沒有渦流的情況有很大不同。 表征渦流的量是其繞數，即繞其軸的圈數。 索利斯和科斯特利茨發現，在二維系統中，渦旋有兩種形式。 一種是旋轉方向相反的漩渦束縛在一起，另一種是它們彼此不束縛。 這兩種形式之間存在能量和無序的競爭，導致非零溫度下的相變。 低于該溫度，正向和反向渦流形成束縛對。 高于這個溫度，渦流可以自由移動。 這種相變稱為拓撲相變或KT相變。 Solis和最初討論了超流薄膜的相變，但類似的KT相變也存在于其他系統中，例如超導薄膜、平面磁系統等。
索利斯和科斯特利茨的理論發現后來在超流體薄膜、超導薄膜和各種其他系統（包括最近的冷原子、極低溫下的原子氣體）中得到了實驗證實。
3. 量子霍爾效應中的拓撲
1980年，德國物理學家馮·克里青（von）研究了二維電子氣的霍爾效應。 在兩種不同的半導體之間，可以形成薄導電層，其中電子形成二維氣體。 在電壓下，電子形成電流。 此時，加上垂直磁場。 由于磁場的作用，在垂直于電流的方向上也會形成電壓，稱為霍爾電壓。 這一基本現象由霍爾于1879年發現，稱為霍爾效應。 可以用電磁學來簡單地解釋。 另一方面，馮·克利青將樣品保持在極低的溫度下，以觀察量子力學的效應。 他發現電流與霍爾電壓之比（稱為霍爾電導）始終是某個物理常數（電子電荷的平方除以普朗克常數）的整數倍，這就是量子霍爾效應。 而且這種量子化非常精確，精確度達到十億分之一，因此這個物理常數的倒數（即普朗克常數除以電子電荷的平方，稱為馮·克利青常數）現在被用作阻力的標準。 單元。 馮·克利青因這一發現榮獲 1985 年諾貝爾物理學獎。
實驗發現霍爾電導非常穩定。 在一定范圍內，當溫度、半導體中的雜質濃度和磁場變化時，霍爾電導保持恒定。 當磁場變化到一定程度時，霍爾電導對應的整數變為相鄰整數。
1980年，索利斯轉到華盛頓大學工作。 在那里，他和他的合作者賈元振（Jia ）、南丁格爾（MP）和M. Den Nijs提出（根據四位作者的姓氏，簡稱TKNN），量子霍爾電導的量子化起源對于拓撲來說，對應的整數是一個拓撲數。 這就是數學大師陳省身多年前發現的陳數（中國人的驕傲）。 后來，索利斯還與當時的學生牛謙、當時該系高能物理組的吳永石合作，給出了另一個更一般的推導，適用于雜質的情況。 順便說一句，牛前（德克薩斯大學教授）和吳永石（猶他大學教授，現兼任復旦大學教授）長期以來對凝聚態物質的拓撲性質做出了重要貢獻。 最近，Solis 等人的研究結果。 冷原子實驗也證實了這一點，其中通過實驗測量了陳數。
陳數源于拓撲學，可以簡單理解如下。 表面總是被其邊環包圍。 該循環可以是 1 個循環或 2 個循環。 事實上，它可以是任意整數n個循環。 這個整數n是拓撲數，是繞數，與面的具體形狀無關。 在量子霍爾效應中，這個表面處于一個抽象的參數空間中，拓撲在物理上表現為前面提到的霍爾電導，對實驗和樣品的細節不敏感。
通過Solis等人的工作，霍爾電導的量子化歸因于某個參數空間的拓撲數。 因此，原則上，即使沒有磁場，只要能夠實現參數空間中的陳數，電導就可以被量子化，即與整數成正比。 由于這種拓撲結構，表現出量子霍爾效應的電子氣被稱為拓撲量子流體。
得益于索利斯等人的基礎工作，霍爾丹于1988年發現，即使沒有磁場，只要存在所謂的時間反演對稱性破缺（指構成系統的微觀粒子的運動處于從任意初態到過去時間的終態反轉，即當時間變化的符號發生變化時，系統的能量函數發生變化；否則稱具有時間反演對稱性），存在能帶具有非零陳數（固體中每個電子的能量在某些范圍內有連續的可能值，在其他范圍內有連續的不可能值。這種分布稱為能帶）。 也可以形成類似于量子霍爾效應的拓撲量子流體，也會出現類似的量子霍爾效應。 電導的量子化。 當時，霍爾丹依賴于晶格上躍遷電子的理論模型。 最近使用激光形成的晶格上的冷原子直接模擬了該模型。
霍爾丹的無磁場拓撲量子流體的想法近年來也在所謂的拓撲絕緣體中得到了實現。 拓撲絕緣體通常是由自旋軌道耦合和時間反演對稱性引起的拓撲狀態。 由于拓撲的原因，拓撲絕緣體的本體是絕緣體，而表面是導體。 在這里，動量就像磁場一樣。 在拓撲絕緣體中，電子表現出所謂的量子自旋霍爾效應。 這是 C. Kane 和 E. Mele 于 2005 年在石墨烯模型中提出的。然而，石墨烯中的自旋軌道耦合太小。 斯坦福大學教授張首晟及其合作者于2006年利用半導體量子阱提出了現實可行的解決方案，并由德國的(L.)分組。 2007年通過實驗實現。提出的無磁場的量子霍爾效應被稱為反常量子霍爾效應。 薛其坤課題組于2013年首次利用摻雜磁性雜志的拓撲絕緣體驗證了這一點（從而打破了時間反轉對稱性）。 現在人們還發現了三維拓撲絕緣體。
4. 一維反鐵磁性和對稱保護拓撲態
1982年，霍爾丹研究了一維磁體的拓撲特性。 一維磁體也可以稱為自旋鏈。 它是由許多原子組成的。 每個原子都有一個自旋（內部角動量，類似于繞自己的中心軸旋轉，但實際上并非如此）。 在一定的基本單位下，它可以是半整數，也可以是整數。 如果相鄰原子的自旋之間的相互作用是正的，那么當相鄰的自旋方向相反時，從簡單的經典物理來看，能量較低，這稱為反鐵磁性。 但關鍵是要考慮量子力學效應（所謂的量子漲落）引起的與這種經典狀態的偏差。 霍爾丹指出，具有整數和半整數自旋的反鐵磁自旋鏈具有完全不同的性質。 對于整數自旋鏈，最低能量和最接近能量之間存在有限差，稱為能隙。 由半整數自旋組成的鏈沒有能隙，這意味著它是連續的。 霍爾丹的猜想首先在磁性材料中得到驗證。
在霍爾丹的論證中，他從相鄰自旋相反的情況考慮了量子力學效應引起的偏差（漲落）。 每種情況都有一定的概率。 而這個概率取決于時間和一維空間組成的抽象二維空間中的一個拓撲量，即繞數乘以自旋（整數或半整數）。 該拓撲量是復數的相位，導致整數自旋鏈的復數為 1。 當匝數為偶數時，半整數自旋鏈的復數為 1，否則為 -1。 由于需要考慮各種纏繞數的可能性，對于相鄰自旋相反偏離的情況，半整數自旋鏈的各種纏繞數對概率的貢獻相互抵消。 所以半整數自旋鏈的能量情況就像相鄰自旋的相反情況一樣，沒有能隙。 對于整數自旋鏈，情況總是偏離相鄰自旋的相反方向，從而產生能隙。 這稱為霍爾丹相。
現在人們認識到霍爾丹相、整數量子霍爾效應態和拓撲絕緣體都是所謂的對稱保護拓撲態。 還有一些拓撲態不屬于這一類，例如分數量子霍爾效應和自旋液體，其中還有許多未解之謎。 目前，國際上物質拓撲態研究方興未艾。 其中一位領導者是溫小剛（麻省理工學院教授），他在與牛謙合作的一篇文章中首次提出了拓撲序的概念。 拓撲序后來成為拓撲量子計算的基礎。 物質拓撲態的研究對于量子計算的實現也非常有意義。
這篇文章提到了很多在拓撲物質這個凝聚態物理前沿領域做出重要貢獻的中國人或者中國人。 此外，還有很多華人和華裔科學家活躍在這一領域。 例如，中國科學家在三維拓撲絕緣體、外爾半金屬的研究中做出了非常重要的貢獻。
參考：
1. 2016年諾貝爾物理學獎官方資料
2. 石宇，2016年諾貝爾物理學獎：姍姍來遲，當之無愧，科學網絡博客； 物理文化微信公眾號。
