更新說明：有網(wǎng)友認為伯努利方程還沒有被誤解這么嚴重。 我在本文底部展示了一個非常流行的誤解和誤用，并添加了幾個實驗視頻。
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伯努利方程可能是流體力學中最著名和最容易被誤解的原理。 我聽過無數(shù)次這樣的說法：“快速流動導致較低壓力”。 請注意，這種說法是不正確的。 真正嚴格的說法是：
對于穩(wěn)定流動的不可壓縮無粘流體，在同一條流線上，速度快的地方壓力低。
請注意，一般來說，當滿足以下條件時，伯努利方程必須成立：
穩(wěn)流（流量）：也就是說整個流場不隨時間變化； 不可壓縮流體（流體）：流體的密度不隨壓力變化； ()：流體的粘度可以忽略不計。 通俗地說，用更容易理解的話來說，就是流體沒有摩擦力； 同一流線（Line）：也就是說壓力的比較必須在同一條流線上才有意義（“前后”比較而不是“左右”比較）
除了滿足這些條件之外，最重要的是伯努利方程說，快速的流動總是伴隨著低壓。 這是一個“相關(guān)性”陳述，而不是“因果關(guān)系”，即快速流動導致低壓。 陳述。 前者意味著流速快的地方壓力總是低的，但并不是因為流速快壓力就低。 事實上，恰恰相反，因為壓力低，流速快。
讓我們看一個簡單的例子。 比如有這樣一根穩(wěn)定流動的水管。 B點水管流道較窄，形成“喉嚨”（工業(yè)上稱為文丘里管）。
由于管道內(nèi)的流動是穩(wěn)定的，內(nèi)部任意點的流場不隨時間變化。 那么它在不同區(qū)域的流量會是多少呢？ 例如，我們選擇兩個界面AB之間的一段，對其中的水進行質(zhì)量守恒計算：
每秒進入斷面的水量-流出斷面的水量=斷面內(nèi)水量的增加量
由于是穩(wěn)流，因此該段管道內(nèi)的流體性質(zhì)不隨時間而變化，也就是說該段管道內(nèi)的水質(zhì)將保持不變。 這樣我們就有：
進入斷面的水流量=離開斷面的水流量
由于B位置較窄，其流速必須比A位置快，這樣才能實現(xiàn)上述質(zhì)量平衡。 同理，我們也可以知道B處的流速一定大于C處的流速，AC處的流速相等。 我們必須知道三個地方之間的速度關(guān)系：
v_A=v_c
現(xiàn)在，我們在管道中放入一個輕質(zhì)的小球，這個小球會隨著水流流下來。 那么當球從 A 行進到 B 時，它的速度一定會隨著水流越來越快——它不斷地加速。 從B到C，它的速度隨著水的流動越來越慢——一直在減速。
根據(jù)牛頓第二定律，我們知道從A到B的加速過程中，必然受到一個凈向前的力。 這股力量從何而來？
這個力顯然是由流水的作用造成的。 請注意，由于球在水流中保持相對靜止，因此它所受到的所有力都來自水的靜壓力，不包括水流的阻力和其他動態(tài)力。 那么球所受的力包括兩部分：來自后面的向前的壓力和來自前面的向后的壓力。 由于球上的凈力是向前的，因此后部的壓力必須大于前部的壓力。 換句話說，當船從 A 點到 B 點時，周圍的壓力不斷減小，直到到達 B 點，此時球不再加速。 因此，在從A到B的過程中，流量總是增大，壓力總是相應(yīng)減小。 壓力最低的地方，流速最高。
同理可以看出，在從B到C的過程中，小球一直在減速。 也就是說，球前部的壓力始終大于后部的壓力。 因此，在這個過程中，流速總是減小，而壓力總是增大。
所以，在整個過程中，我們知道哪里的流量最高，哪里的壓力最低。
從這個例子我們可以看出，伯努利方程中所謂“高流量、低壓”的真正原因無非是牛頓第二定律：流體在從高壓流向低壓的過程中加速，并且在從低壓流向高壓的過程中減速。
這其實很容易理解：在AB段，當我們努力將流體擠出喉部時，喉部的速度必須加快，否則會造成A段“擁堵”，從而增加上游壓力，所以PA>PB。
BC段也是如此。 從B點噴出的流體速度非常快。 雖然直徑在下游擴大，但由于慣性，這個速度往往會維持下去，這必然會導致從B部分流出的液體“跟不上前面”。 產(chǎn)生的凈力會產(chǎn)生向后的“拉”力，從而降低 C 處的流速。因此，B 處的壓力較低，而 C 處的壓力較高。
我們不必考慮能量守恒，我們只需憑直覺就可以很好地理解伯努利方程。
我們仔細看看這里的關(guān)鍵點，那就是流體流動的驅(qū)動力是壓力梯度，而不是壓力。 下圖顯示了一個立方體流體單元。 我們可以在一維簡化的情況下分析其前后的受力：
該流體元件上的凈力為：
F=-AdP=-Vfrac{dP}{dz}
根據(jù)牛頓第二定律我們有：
rho Vfrac{du}{dt}=-Vfrac{dP}{dz}
因此，有：
rho frac{du}{dt}=-frac{dP}{dz}
請注意，上式右側(cè)是壓力梯度。 換句話說，壓力梯度驅(qū)動流體流量的變化。 那么我們就會認為壓力其實就是這個驅(qū)動力的“勢”，壓力場就是勢場。 如果您不熟悉場論，請考慮一下電勢場是如何產(chǎn)生的。 那么我們就可以形象地理解這個伯努利方程了：我們自然地將勢能類比為高度，那么流場內(nèi)部的壓力分布就像地形起伏一樣。 氣壓高的地方就相當于地勢高。 ，氣壓低的地方相當于地勢低。 粘性流體的流動就像光滑物體在該勢場中的運動。 因此，壓力低的地方流速就快，就像一塊石頭從山坡上滑下來一樣。 壓力越低，流速（流速）越快。
眾所周知的伯努利方程的推導過程是基于能量守恒的。 很多人看完推導后還是一頭霧水。 這里我們可以應(yīng)用牛頓第二定律來推導。 首先，為了方便直觀理解，我用簡化的方法做了一維計算。 直觀理解后，我再用流體力學的原理來推導一下。
我們選擇一個流體單元并沿其流線l進行分析。
因此，沿著它所走過的道路，牛頓第二定律成立：
rho frac{du}{dt}=-frac{dP}{dl}
根據(jù)鏈條導向公式：
frac{du}{dt}=frac{du}{dl}frac{dl}{dt}=ufrac{du}{dl}
這個公式是什么意思？ 它將我們的微元件運動參考系轉(zhuǎn)變?yōu)椤办o止”流場參考系。 如果你不熟悉坐標變換，你可以想象這樣一個場景：當你爬山時，你在某一時刻t的高度取決于兩個因素，一是山坡的陡峭程度，二是山體的高度。你爬的山。 速度。 這里，微元件的速度變化還取決于兩個因素。 一種是不隨時間變化的流速場中速度隨位置（陡度）的變化，另一種是流速。
這實際上是雷諾傳遞定理的簡化版本。 有興趣的可以自行查一下資料。
所以：
rho ufrac{du}{dl}=fractxrzbvzd{dl}left( frac{1}{2}rho u^2 right)=-frac{dP}{dl}
也就是說，對于整個流程來說：，
fractxrzbvzd{dl}left( frac{1}{2}rho u^2+P right)=0
所以我們得到這個結(jié)果：
frac{1}{2}rho u^2+P =const
這對于整個流線來說都是如此。
這就是伯努利方程。 我們可以看到，這是牛頓第二定律的直接結(jié)果。 當然，這是一個非常不精確的推導，嚴格來說，甚至是一個錯誤的推導。 但它可以幫助我們直觀地理解。
最后給大家一個嚴謹卻又簡單粗暴的“閉嘴算算”的推導。 對于粘性流體，我們有：
rho frac{Dbf{u}}{Dt}=rho frac{\bf{u}}{ t}+rho left( bf{u}cdotnabla right) bf{u} =-nabla P
對于穩(wěn)定流，速度不隨時間變化：
rho left( bf{u}cdotnabla right)bf{u}=-nabla P
還因為：
left( bf{u}cdotnabla right)bf{u}=nabla left( frac{1}{2}bf{ucdot u} right)+left( nablatimesbf{u} right)times bf{u}
所以，
nablaleft( frac{1}{2} rho u^2+Pright)=left( nablatimesbf{u} right)timesbf{}u
上面的公式告訴我們什么？ 該公式左括號中的梯度集必須垂直于速度和速度旋度。 也就是說，它沿著流線和渦流是恒定的。 事實上，更廣泛地說，它是由渦線和流線組成的蘭姆平面中的常數(shù)。
那么牛頓第二定律實驗，我們可以看到下面的公式：
frac{1}{2}rho u^2+P =const
這不僅適用于整個流線。 但它們都建立在同一個羔羊平面上。
如果我們進一步假設(shè)流體是無旋場，那么我們得到一個廣義的結(jié)論：
在無旋場中，伯努利方程在任何地方都成立。
我們可以看到，通過嚴格的計算，我們發(fā)現(xiàn)伯努利方程中的“同一流線”實際上并不是一個必要條件。
嚴謹?shù)囊馑际菄乐敚谶@樣的推導過程中，我們很難有一個“直觀”的理解。 我們只是進行計算，然后突然嘿，我們得到了一個很好的結(jié)論。 只是紫色。
讓我們談?wù)剬Σ匠套钇毡榈恼`解和誤用之一。
這是一個廣為流傳的實驗，用來“證明伯努利效應(yīng)”：向一張紙條上面吹空氣，紙條就會向上上升。 我在這里用視頻展示一下（請忽略視頻中的傻貓）：
貓：驚喜！我好像發(fā)現(xiàn)了宇宙的秘密
科普（甚至一些嚴肅的論文或者科教片）都會把這種現(xiàn)象歸結(jié)為伯努利原理：看，上面的流速高，所以壓力低，所以紙浮起來了。
然而，這種解釋是錯誤的，這種現(xiàn)象所表現(xiàn)出的并不是伯努利效應(yīng)，而是其他的東西。 這里最大的錯誤就是忽視了“同流線”條件，從而導致誤用。 是的，流量高的地方壓力就低，但是所謂的“低”指的是哪里低呢？ 我們之前反復強調(diào)過，伯努利方程是沿著同一條流線建立的，而不是在不同流線之間建立的。 當我們遵循流線時，很明顯，伯努利方程表明壓力低于吹風機內(nèi)部的壓力（如果你用嘴吹氣，則表明壓力低于肺部的壓力）！ 紙張的上下部分根本不在同一條流線上，完全沒有可比性。
不相信嗎？ 請觀看這個視頻：
讓紙張自由懸掛，然后在紙張的一側(cè)直接向下吹氣。 按照之前的邏輯，紙張應(yīng)該向有空氣吹動的一側(cè)移動。 事實上，我們會發(fā)現(xiàn)它幾乎沒有變化。 那么，所說的“流速快、壓力低”又如何呢？ 這正好說明了紙條兩側(cè)的壓力并沒有因為流量的變化而變化：因為它們根本不在同一條流線上。
那么，秘密在哪里呢？ 請繼續(xù)觀看視頻：
你看到什么了嗎？ 紙張偏轉(zhuǎn)的方向根本不取決于氣流在哪一側(cè)，而是取決于氣流方向與紙張的夾角！
真正的原因恰恰在于伯努利方程忽略了粘度。 下面我就來分析一下。 如下圖所示，當氣流從噴嘴高速吹出時，由于粘性的存在（可以簡單理解為摩擦力），會帶動周圍的空氣隨之移動，進而帶動空氣流動。周圍的空氣。 這會導致周圍的空氣流走，然后吸引周圍的空氣流入補充：
那么對于一張紙來說，這會是什么樣子呢？ 我們看一下紙張漂浮的過程如下圖（）：
圖中黑線代表紙片，紅線代表流線。 一開始，紙張垂直懸掛（圖A）。 將空氣吹到紙張上方，會因粘性（這稱為）帶走紙張右側(cè)的空氣，從而形成低壓區(qū)。 由于這個低壓區(qū)的存在，紙張會向右上方漂浮，同時流線會向下彎曲（圖B）。 這最終將使流線和紙張相互接近。 此時，空氣的流動不再是直線向前，而是呈向下的弧線（圖C）。 這是一個旋轉(zhuǎn)的領(lǐng)域。 我們上面最通用的公式可以完美地解釋這個過程。 但這里我只給出一個直觀的解釋：向下彎曲的流線會產(chǎn)生離心力，這個離心力會把紙帶起來。 這種效應(yīng)稱為（康達效應(yīng)）。
柯恩達效應(yīng)是指粘性流體流過壁面時，產(chǎn)生“柯恩達”效應(yīng)牛頓第二定律實驗，使流體沿壁面彎曲和轉(zhuǎn)向的現(xiàn)象。
在這里，正是粘度的存在使紙張漂浮起來。 紙張漂浮的動力來自于彎曲流線的離心力。 但伯努利方程忽略了粘度，所以用在這里難免出錯。
我們還可以對上面的流光實驗稍作改動，來演示這種彎曲流線的效果。 我們輕輕地將一張紙放在物體上以形成凹面，然后做相同的實驗。 我們會發(fā)現(xiàn)那張紙不再漂浮，相反，它會下沉！
在科普（甚至在一些專業(yè)論文中）中，伯努利效應(yīng)經(jīng)常與這種效應(yīng)（以及大量其他流體動力學效應(yīng)）相混淆。 例如，飛機的升力、香蕉球的偏轉(zhuǎn)等都是相同的。 例如，一個流行的用來“證明伯努利原理”的實驗如下：
中間的流速高，所以壓力低，這不是有道理嗎？ 事實上，這是一個很大的錯誤。 不信，請把杯子換成牛奶盒。
