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問題 5：開普勒定律
2022/1/4
定律
三定律
眉宇間，飛雪親吻著大地最后一絲秋色。
抬頭仰望，一片浩瀚星空，深藍的色彩點綴著夜的私語。
從宇宙到世間微塵，一切都是相連的，看不見，無聲無息，看不見……
如果影子不能在一起，那我愿星與你，在夢里……
——格拉斯調香師
小時候，老師給我們講過牛頓在一棵果樹下發現萬有引力定律的故事，一顆熟透的蘋果從樹枝上掉下來，雖然砸傷了牛頓，但也揭示了人類對自然的認識。
工程趣話·第五期
我們體能測試立定跳遠的時候，都希望引力消失一秒鐘，當然這是不可能的，引力是宇宙間最基本的力，只要有兩個有質量的物體，它們之間就一定存在引力。
在生活中，引力很常見，但多是地球“吸引”物體，人基本感覺不到引力的存在。但放眼宇宙，當兩個物體是行星、恒星時，它們之間的引力就變得非常巨大。這種力就像一根繩子，把兩個天體綁在一起，使行星圍繞恒星做周期性運動。
隨著我們年齡的增長和知識的增加，我們知道行星的運動符合開普勒三大定律。
在中學時，我們知道萬有引力定律結合曲線運動公式可以導出開普勒三大定律，而將萬有引力定律與開普勒定律結合起來，可以更加準確的描述天體的運動。
在本期《趣味工程》中，我們將對萬有引力定律的推導過程以及開普勒三大定律和萬有引力定律的應用進行更深入的了解。比如，我們知道行星的軌道是橢圓形，那么我們能否利用開普勒三大定律推導出萬有引力定律呢？這是我們本期《趣味工程》要討論的問題之一。
由于篇幅有限，還有很多知識需要同學們在以后的學習中去探索，事不宜遲，讓我們開始本期《有趣的工程》的討論吧！
目錄
行星的運動
①萬有引力定律
② 開普勒定律
有精力
①扭矩
② 動量矩
③角動量定理與角動量守恒定律
④ 有精力
#證明精神力量是一種保守力量
軌道微分方程-比奈公式
①利用比奈公式求軌道方程
②極坐標系中的圓錐曲線方程
③ 利用能量準則尋找軌道方程（可選）
開普勒定律和萬有引力定律
①利用開普勒三大定律和比奈公式，推導出萬有引力定律的數學形式
平方反比引力與穩定性
① 適應性與穩定性的平衡
② 引力平方反比與圓形軌道的穩定性
行星的運動
01
萬有引力定律
我們在中學的時候就學過，世界上的一切物體，大到天體，小到塵埃粒子，也就是一切有質量的物體，都會受到一種力的作用，這種力就叫引力，這個定律就叫萬有引力定律。
這一偉大定律是由英國科學家牛頓發現的，后人根據牛頓的發現完善了萬有引力定律，設計實驗測定了萬有引力常數G，并最終給出了萬有引力定律在國際單位制中的表達形式：
萬有引力定律可以用文字表達如下：
“任何兩個粒子在它們中心連線的方向上都存在吸引力。這種吸引力的大小與它們質量的乘積成正比，與它們距離的平方成反比。它與兩個物體的化學成分和它們之間的介質類型無關。”
--自然哲學的數學原理
其實萬有引力定律的推導過程是一波三折的，歷史上，伽利略早在1632年就提出了離心力和向心力的初步設想，布里亞爾在1645年提出了萬有引力平方反比的設想，而萬有引力與相互作用物體質量乘積成正比的設想，是從發現萬有引力平方反比定律到發現萬有引力定律的必經階段。
沿著離心力—向心力—重力—萬有引力這一概念的演進順序，牛頓從1665年到1685年，用了整整二十年的時間，才最終提出了“萬有引力”的概念和術語。
1665年至1666年間，牛頓只利用了離心力定律和開普勒第三定律，因此只能證明圓形軌道上的引力平方反比關系，而不能證明橢圓軌道上的引力平方反比關系。1679年，他懂得了利用開普勒第二定律，但證明方法上沒有突破，停留在以前的水平。幾年后，牛頓基于開普勒第三定律、向心力定律以及極限和微積分等數學概念，用幾何方法證明了這個難題。
02
開普勒三大定律
開普勒定律是德國天文學家開普勒提出的行星運動三條定律。第一、第三定律發表于1609年，是開普勒根據天文學家第谷·布拉赫觀測火星位置得到的數據總結出來的；第三定律發表于1619年。這三條定律又稱為橢圓定律、面積定律、調和定律。
橢圓定律：所有行星繞太陽運行的軌道都是橢圓形，太陽位于橢圓的一個焦點上。
面積定律：行星與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積。
諧波定律：所有行星繞太陽公轉一周的時間的平方與其半長軸長度的立方成正比，即：
此后，學者們對第一定律進行了修改：
“所有行星（和彗星）的軌道都是以太陽為焦點的圓錐曲線。”
只有當行星的質量遠小于太陽時，第二定律才是正確的。如果我們考慮到行星也吸引太陽，這就是一個二體問題。
修正第三定律的準確表達式為：
其中m1，m2為兩顆行星的質量，m0為太陽的質量。
有精力
顧名思義，有向心力，即力有一個“力心”。
對于任何行星來說，它所受到的力主要都是太陽的引力，而這個引力的作用線也總是通過太陽的中心。對于人造衛星來說也是如此，它所受到的力幾乎就只有地球的引力，而這個引力的作用線也總是通過地球的中心。
一般而言，如果力作用于運動粒子上時，其作用線總經過一個固定點，我們就說作用于這個粒子上的力是向心力。向心力的大小一般是半徑r（粒子與力心之間的距離）的函數，力的方向總是沿著粒子與力心的連線。凡是趨向于固定點的力都是吸引力，凡是遠離固定點的力都是排斥力。
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扭矩
我們在初中學習杠桿問題的時候，引入了“杠桿臂”的概念，它指的是“從杠桿作用力的一端到杠桿所在直線所引的垂直線的長度”。
我們知道，圖示杠桿的平衡條件是：
我們把
它被稱為 F1 和 F2 的力臂。我們乘以
它被稱為 F1 和 F2 的矩。以矢量積的形式，我們可以將矩寫為：
以半徑向量L的方向作為支點指向力的作用點。
勢頭
我們以與扭矩相同的方式定義角動量。
假設有一物體以速度v運動，我們在該物體周圍選取一個參考點O，并過O畫一條軸l，該物體可看作一個質量為m的點粒子。
半徑矢r的模數定義為粒子到軸線l的距離，r的方向是從軸線到粒子m。
所以m的角動量為：
角矩定理和角矩守恒定律
高中的時候老師教過我們“力作用在粒子上一般會改變物體的動量”。我們不妨猜測，力作用在粒子上的瞬間也會改變粒子的動量，因為它們是一一對應的。那我們來驗證一下這個猜測是否正確呢？
力矩 M 等于 r 和 F 的矢量積。為了找到力矩 M 的影響，我們將運動方程乘以位置矢量 r：
由兩邊可得：
由復合函數的導數規律可知：
在動作分析第二期中我們談到了：
即向量函數在某點的導數也是一個向量，且這個向量在該點處垂直于原向量，因此根據向量積的計算規則有：
然后我們得到：
所以，
如果將上式寫成分量表達式的形式，
然后我們有：
它可以寫成上面的形式，其中利用了行列式的知識：
其中i，j，k分別為x，y，z方向的單位向量。利用向量相等時，相應分量系數也相等這一知識，可以得到分量表達式。
因此，力矩確實可以改變動量。這種關系稱為動量定理，又稱角動量定理。即“慣性系中質點繞某一定點或定軸的動量對時間的微分（導數）等于作用于該質點的力繞同一點或軸的力矩。”
如果以J表示角動量，M表示力矩，則角動量定理可以寫成：
其積分形式為：
我們把上式的右邊稱為沖量矩，因此，粒子的角動量的變化量等于該時間內外力賦予粒子的沖量矩。
如果一個粒子不受外力作用，那么對于該點來說，該粒子的角動量是一個恒定的矢量。我們把這種關系稱為角動量守恒定律，或者角動量守恒定律。
補充完扭矩和角動量相關的知識之后，我們可以繼續進行心智方面的研究。
在向心力作用下，粒子總是在一個平面內運動，因為F與位置矢量r共線，r×F=0，J為常數矢量。根據我們剛剛補充的知識，粒子滿足角動量守恒定律的條件。
中心力F的值一般是徑向矢量r的函數，即：
或者
在直角坐標系中，以力的作用點為原點，以質點的運動平面為xy平面，則質點的運動微分方程為：
顯然，r2=x2+y2，m為粒子的質量。可見，用上述公式來研究向心力十分不方便。因此，我們可以嘗試用極坐標系來研究這個問題。
在第二期中，我們提出了極坐標系中粒子的加速度分量：
因此，我們可以在極坐標系中寫出粒子的運動微分方程：
請注意，第二個公式可以簡化為：
對兩邊進行積分可得：
也可以寫成：
其中h為常數。現在我們來理解一下上述公式的物理意義。
在第二期中，我們給出了極坐標中粒子的速度表達式：
因此動量橫向分量的大小為：
徑向分量矢量的幅度為：
由于徑向分矢量經過O點，所以繞O點的動量矩的大小為0，而繞O點的橫向分矢量的動量矩的大小為
也是整個粒子到O點的動量值，因此公式為：
也就是說，在極坐標系中，離心動量守恒定律有一個數學表達式。
事實上，對于有心力，外加力矩r×F=0，角動量J是一個常數矢量，其分量當然也是常數。
用心力動量守恒定律代入運動微分方程第二方程，可得到以下方程組：
這是粒子在向心力作用下所要滿足的方程組。
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證明思想是一種保守的力量
要證明一個力是保守力，我們需要證明這個力所作的功與路徑無關。例如引力是保守力，引力也是保守力。接下來我們開始證明有心力也是保守力。
大腦所做的工作量是：
我們可以在極坐標中分解力：
類似地，我們也可以對單元位移做同樣的分解：
因此，在極坐標系中，所做功的表達式為：
在前面的討論中，我們得到：
然后積分可以簡化為：
顯然，F(r)的原函數一定存在，所以定積分的值只和起點和終點對應的半徑r有關，和路徑無關。（這里要和我們學過的定積分區分開來，因為A、B表示位置，也就是說是在實際曲線上進行積分運算，r1、r2是對應于位置的積分極限，相當于把實際曲線上的積分搬到坐標系軸上算圖像面積。所以，不管從A→B走什么路徑，對應的積分極限都是相同的。又因為原函數一定存在，所以結果就是函數圖像與坐標軸圍成的面積，也就是積分結果總是一樣的。）
或者我們可以利用第三和第四階段旋度的知識來判斷該力是否為保守力，即判斷：
為了證明這個公式是否恒成立，我們在平面極坐標系中寫出上面公式的各分量：
制作：
所以：
所以精神力量是一種保守的力量。
且必須有一個勢能V，使得精神力滿足：
去掉上式右邊的負號后，我們稱之為標量場的梯度（梯度是函數在某點的方向導數的最大值所確定的矢量，它的大小就是該點方向導數的最大值。）
由于勢能差與原點無關，因此我們可以：
此時勢能函數V當然只是半徑向量r的函數，即V=V(r)。至于機械能守恒定律，當然也是成立的。其具體表達式為：
其中E是粒子的總能量，它是一個常數。
軌道微分方程-比奈公式
在第二節中，我們提出了質點在有心力作用下的運動微分方程：
那么我們可以做出一個猜想：從這組方程出發，能否解出粒子的運動軌跡方程r(θ)=r呢？
對于系統中的每個方程，我們可以解微分方程來獲得參數方程：
但很多時候我們無法推導出這樣的顯函數，而只能將其表示為關于t的隱函數。
那么我們能否對上述公式進行變形，推導出粒子的軌道微分方程呢？
其實是可以的，因為在力學問題中，為了求軌道方程，我們通常先求出運動定律，然后從運動定律中消去t。在有心力問題中，我們可以用另一種方法：先消去參數t，然后求出運動定律。
基于這個想法開普勒第三定律，我們不妨從方程組中消除角度量θ。
為了計算方便，我們通常做如下代入：
代入第二個方程，我們得到：
還因為：
代換
必須：
類似地，我們可以得到：
捆
代入第一個方程，我們得到：
此公式稱為比奈公式，當F為引力時，F為負數，反之為正數。利用此公式，我們不僅可以求出已知力條件下的軌道方程，而且還可以由已知粒子在向心力作用下的軌道方程，求出向心力F(r)的具體形式。
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利用比奈公式求軌道方程
為了計算方便，我們把太陽和地球看作質點，設太陽的質量為ms，行星的質量為m。那么萬有引力定律告訴我們，太陽與行星之間的力可以寫成：
其中G為萬有引力常數，k2=Gms是一個與行星無關、只與太陽有關的量，稱為太陽高斯常數。R為地心與日心之間的距離。將萬有引力定律代入比奈公式，可得：
現在：
如果我們訂購：
那么原公式就變成：
所以我們接下來的主要任務就是解這個微分方程。
如果我們訂購：
那么微分方程可以寫成：
我們將等式的兩邊乘以 ξ 的一階導數，得到：
寫成積分形式即為：
利用分部積分的方法，可以完成上述積分并得到：
其中C為積分常數，然后將dθ乘以兩邊并取平方根：
再次積分，我們得到：
因此我們可以得到：
這里的調整利用了三角函數的誘導公式。
和：
或者：
其中A和θ0為兩個積分常數，如果我們手動旋轉調整極軸，可使θ0=0，則上式可簡化為：
如果命令：
那么上面的公式可以寫成：
這是極坐標中以焦點為原點的圓錐曲線方程。
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極坐標中的圓錐曲線方程
高中時我們學過直角坐標系下圓錐曲線的標準方程，那么在極坐標系下它們的表達式會是什么樣的呢？
其實，只利用幾何知識和簡單的計算技巧，我們就可以推導出極坐標系中圓錐曲線的方程（以橢圓為例）。
P為焦弦長度的一半，r為焦點到曲線上某點的距離，半焦距為c，半長軸長度為a，θ為r與x的夾角，則可寫出準線方程：
將點 (c, p) 代入橢圓的標準矩形方程：
得到：
因此我們可以將準線寫成如下形式：
半焦距也可以寫成：
利用橢圓的第二個定義，我們可以得到方程（重點放在右邊）：
簡化一下，我們得到：
此時極坐標系的原點即為右焦點。
★
選擇
讀
★
利用能量標準尋找軌道方程
這一點還需要圍繞向心力的性質展開討論。前面我們討論到，向心力是保守力。那么機械能守恒定律應該成立。我們是否可以用總能量E作為判斷標準呢？現在我們就來討論一下這個問題。
當然，前提是知道F(r)的形式，我們來試著求出勢能V(r)的具體形式。
如前面提到的：
在向心函數中，V只能是r的函數，則：
所以：
取無窮大作為勢能零點，則重力勢能為：
因此機械能守恒定律可以寫成：
現在，讓我們想辦法消除 dt 這個術語：
進行以下轉換：
還因為：
將其代入機械能守恒定律，可得：
接下來我們分離變量并得到：
我們可以使用積分公式：
對原公式積分開普勒第三定律，可得：
然后解出 r，即：
使用標準方程：
比較一下你就會知道：
所以：
①E＜0，e＜1，軌道為橢圓。
②E=0，e=1，軌道為拋物線。
③E＞0，e＞1，軌道為雙曲線。
開普勒定律和萬有引力定律
前三節我們主要討論了向心力的性質及其相關的應用，并利用向心力的知識給出了質點在向心力作用下的軌道微分方程——比奈公式。
所以在這一節中，我們將利用開普勒三大定律和比奈公式，嘗試推導萬有引力定律。
根據開普勒第二定律，單位時間內徑向矢量掃過的面積A相等，即：
讓我們嘗試找到面積隨時間 t 變化的率的表達式：
P1、P2是行星軌道上相鄰的兩個位置，當P1、P2特別接近時，掃過的面積約等于三角形OP1P2'的面積，即：
但：
所以：
由已知條件可知：
如果它們都是常數，那么行星繞太陽轉動的角動量守恒，也就是行星繞太陽轉動所受的力矩為0，行星受到的力必定是向心力。
現在，根據開普勒第一定律我們得到：
軌道為橢圓，以右焦點為極點，軌道方程為：
或者：
將此關系代入比奈公式，我們注意到：
所以：
所以：
上述公式表明，施加在行星上的力與其距離的平方成反比。
但是還有一個問題，公式里的系數：
它不一定是常數，也不代表該公式就是萬有引力定律。
所以我們還是要用開普勒第三定律。
我們使用之前得到的公式：
整合，我們得到：
當徑向矢量掃整整個橢圓時，A =πab，所需的時間為t，則：
和：
因為
所以：
根據開普勒的第三定律，上述方程式的左側是與行星無關的常數。
如果：
然后，我們可以將重力寫為：
這是普遍重力定律的數學表達。
平方重力和穩定性
我想知道您是否曾經有這個問題：為什么重力能夠滿足逆方法律？
實際上，要回答這個問題，我們只需要再次查找星空，我們會發現太陽，月亮和星星在不斷移動，但它們并不是不規則的或不穩定的。
這種穩定在物理學中稱為平衡。
例如，如果在開放空間上有半球并將球放在頂部，則整個系統可以處于力平衡狀態。
但是這種平衡是不穩定的，如果我們在水平方向上給球帶來了一個小的干擾，球將失去平衡并從圓柱體上滾下來。
但是，如果將球放入半圓形碗中，如圖所示：
無論干擾多么小，只要我們將球保留在碗中，它最終將達到平衡狀態。
我們將第一種平衡稱為適應性平衡，第二種是穩定的平衡。
因此，為了找出為什么重力遵守逆方法律，我們可以從行星軌道的穩定性開始討論。
為了方便起見，我們討論了圓形軌道的穩定性。
對于圓形軌道，參數為：
從高中知識中，這總是一個常數，我們知道，如果軌道是圓形的，那么速度是平等的，也就是：
引入角度θ，我們得到：
或者：
因此，二階導數是：
替代雙折射公式：
當粒子軌道是圓形軌道下的圓形軌道時，在中心力的作用下應滿足的方程式：
在：
它代表了每單位質量顆粒上施加的吸引力。
接下來，讓我們探索對粒子的微小干擾是否會影響其運動的穩定性。
讓初始值為：
顯然很滿意
引入騷亂：
我們可以將ξ及其在公式中的導數視為非常小的痕跡。
顯然，我們看不到結果，因此我們需要使用通用的泰勒公式將上述公式的右側擴展到一個系列中：
請注意，由于ξ是無限量的數量，因此：
將類似的術語結合在一起，我們得到：
在：
采用一階跟蹤并引入常數
你可以
寫為：
C2是另一個常數，其價值獨立于問題的性質。
接下來，我們將研究C1不同值對微分方程解的影響。
我們訂購：
①當C1
將雙方乘以ξ'，我們得到：
同時集成雙方并使用零件公式的集成，我們得到：
現在：
簡化：
取平方根并分開我們得到的變量：
不可缺少的：
完成上述集成，我們得到：
其中θ0是集成常數，求解ξ產量：
擴展由三角函數引起的公式，并使用A和B表示系數：
然后，我們完成其他兩種情況的解決方案，并列出以下總解決方案：
只有當C1> 0時，ξ的表達在其他兩個表達式中的值才會隨著θ的增加而增加，并最終傾向于無窮大。
因此，滿足在圓形軌道上運行的質量點：
當時，它將變得穩定。
所以
在特殊情況下，我們考慮了重力和距離的n階段。
因此很容易得到：
而不是C1 ＞0獲得n <3。
因此，只有當n = -1或n = 2時，才能給出穩定的圓軌道。
因此，重力可以符合正方形逆法律。
參考書目
①第四版的“理論力學教程” -Zhou
高等教育出版社
②第七版“高級數學” - 湯吉大學數學系
高等教育出版社
③“財富幾何”的第四版-Mei /Huang
高等教育出版社
④北京大學的“高級代數” - 數學部門的第五版
高等教育出版社
⑤第六版的“線性代數” - 湯吉大學數學系
高等教育出版社
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