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題目：
【題目描述】
一個質量為m的小球從高度為H處自由下落，進入一個半徑為R的半圓形軌道內，已知軌道光滑，求小球至少要多少高度才能使小球在半圓形軌道內運動而不脫離軌道？
【解題思路】
1. 小球從高度H處下落，求出落地時的速度；
2. 小球在半圓形軌道內運動時，受到重力和支持力的作用，根據受力分析求出向心力的來源；
3. 根據向心力公式和機械能守恒定律列方程求解。
【答案】
設小球在半圓形軌道內運動時的高度為h，根據機械能守恒定律得：
mgH = mg(H+h) + 1/2mv2
小球在半圓形軌道內運動時受到重力和支持力的作用，根據牛頓第二定律得：
mg - N = mv2/R
其中N為支持力，由于小球在半圓形軌道內運動時不脫離軌道，所以支持力N≥0，即：
mg - N = mgh - mgR
聯立以上三式可得：
h = (mgR + gH) / (g2 + v2/R) = (mgR + mgH) / (g2 + mg2R2)
所以小球至少要上升到高度h= (mgR + mgH) / (g2 + mg2R2)才能使小球在半圓形軌道內運動而不脫離軌道。
【解析】
本題主要考查了機械能守恒定律、牛頓第二定律和圓周運動的知識，難度適中。解題的關鍵是正確受力分析，找出向心力的來源，并正確運用物理規律列方程求解。
