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題目:
【例題】一質量為 m 的小球,從地面上的A點以初速度v0豎直上拋,經過一段時間后,小球落回到地面上的B點。忽略空氣阻力,重力加速度為g。
1. 求小球在整個運動過程中機械能守恒的位置。
2. 求小球在整個運動過程中機械能損失的數值。
【分析】
【解答】
mgh = 0.5mv0^2 - 0.5mv^2
其中v是小球在B點的速度。解得:
h = v0^2/2g
所以,小球在整個運動過程中機械能守恒的位置是A點下方的高度為v0^2/2g的地方。
2. 小球在上升和下落過程中受到重力和空氣阻力的作用。根據動能定理和功能原理,可以求出機械能的損失。設空氣阻力的大小為f,則有:
- fs = 0.5mv^2 - 0.5mv0^2
其中s是整個運動過程的位移,f是空氣阻力的大小。解得:
fs = 0.5mv0^2 - mgh - 0.5mv^2 = 0.5mv0^2 - mgh - fs'
其中fs'是空氣阻力在上升和下落過程中做的總功。由于空氣阻力是變力,因此無法直接求出fs'的大小。但是根據能量守恒定律,fs應該等于機械能的損失。因此可以得出結論:整個運動過程中機械能的損失為:
fs = mgh + fs' = mgh + (f/2)s = (mgv0^2/2g) + (f/2)(v0^2/g) = (mg + f/2)v0^2/g
所以,小球在整個運動過程中機械能損失的數值為(mg + f/2)v0^2/g。