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題目：
一質量為 m 的小球，從距地面高度為 H 的位置自由下落，與地面碰撞后反彈的最大高度為 h，設碰撞過程中沒有機械能損失，求小球對地面的平均沖力。
分析：
小球自由下落，做自由落體運動，根據運動學公式可求得小球與地面碰撞前的速度和碰撞后的速度。碰撞后小球向上做勻減速運動，最終返回地面。根據動量定理和動能定理可求得小球對地面的平均沖力。
解答：
根據運動學公式，小球自由下落，經過時間 t1 落地，落地時的速度為 v1。
則有：$v_{1} = \sqrt{2gH}$
小球反彈后做勻減速運動，經過時間 t2 返回地面，最終速度為 v2。
則有：$v_{2} = \sqrt{2gh}$
設小球反彈過程中受到地面給予的平均沖力為 F，方向向上。根據動量定理：
F(t1 + t2) - mg(t1 + t2) = 0 - ( - mv1) + mv2
代入數據可得：F = \frac{mv_{2} + mv_{1}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{mg(h + H)}{\sqrt{g^{2}(h^{2} + H^{2})}}
由于碰撞過程中沒有機械能損失，所以有：mv_{1}^{2} = mv_{2}^{2} = 0
代入數據可得：F = \frac{mg(h + H)}{h + \sqrt{h^{2} + H^{2}}}
根據牛頓第三定律，小球對地面的平均沖力與地面對小球的平均沖力大小相等，方向相反。所以小球對地面的平均沖力為 \frac{mg(h + H)}{h + \sqrt{h^{2} + H^{2}}}N。
答案：小球對地面的平均沖力為 \frac{mg(h + H)}{h + \sqrt{h^{2} + H^{2}}}N。
