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題目：
【題目描述】
一個質量為 m 的小球，在光滑的水平桌面上以初速度 v0 向右運動。桌面上有一豎直擋板，擋板與小球的距離為 d。小球與擋板碰撞后，以原速率 v0 反彈。已知小球與擋板多次碰撞，每次碰撞時間極短，且每次碰撞后小球均能反彈。
【問題】
在多次碰撞后，小球最終停止運動的位置與擋板的距離是多少？
【解析】
首先，我們需要考慮小球的受力情況。在每次碰撞中，小球都會受到擋板的撞擊力，這個力可以表示為 F = -mv/d。這個力是恒定的，方向始終指向擋板。
小球的加速度 a = F/m = -v/d。由于每次碰撞的時間極短，所以可以認為小球在每次碰撞后的瞬時速度都與碰撞前的瞬時速度相同。
x = v0t - 1/2at^2
其中 x 是小球的位置，v0 是初速度，t 是時間，a 是加速度。由于小球在每次碰撞后都會反彈，所以它的運動方向會不斷變化。但是，由于每次碰撞的時間極短，所以可以認為小球的運動方向始終不變。
∫(從t1到t2) x = ∫(從0到t2) (v0t - 1/2at^2)
其中 t2 是小球最終停止的時間，t1 是初始時間。由于小球在每次碰撞后都會反彈，所以初始時間 t1 應該從第一次碰撞開始算起。
接下來我們就可以求解這個問題了。首先需要求出小球的最終速度 v2 和最終時間 t2。由于小球的加速度是恒定的，所以我們可以使用 v2 = v0 - at2 和 t2 = ∫(從0到t2) a dt 來求解這個問題。
∫(從t1到t2) x = v0t2 - 1/2a(t2)^2 - v0(t1) + 1/2a(t1)^2 + d(t2 - t1)
其中 d 是擋板與小球的初始距離。將上述公式化簡后可以得到：
d(t2 - t1) = (v0^2 - v^2) / (2a) + v0(t1) - d
其中 v 是小球的最終速度。將上述公式代入 t2 = ∫(從0到t2) a dt 中可以得到：
t2 = (v^2 + v0^2) / (2a)
將上述公式代入 d(t2 - t1) = (v0^2 - v^2) / (2a) + v0(t1) - d 中可以得到：
d = (v^2 + v_0^2 - 2v_0v_final)/a + v_finald_initial / (v_final-v_initial)
其中 d 是最終位置與擋板的距離，v 是小球的最終速度，v_initial 是初始速度，v_final 是最終速度，d_initial 是擋板與小球的初始距離。
