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例題:一個質量為 m 的小球,在距地面高為 H 處被一個水平方向的彈簧彈出,落在離拋出點水平距離為 L 的地面上。已知小球剛要落到地面時速度為零,求彈簧的彈性勢能。
分析:
1. 小球從高為 H 處被彈出后做平拋運動,水平方向上做勻速直線運動,豎直方向上做自由落體運動。
2. 小球落地時的速度為零,說明它在這個過程中只受到重力的作用。
解題:
根據平拋運動的規律,小球在空中運動的時間為:
t = sqrt(2H/g)
小球落地的水平位移為:
L = vt
其中 v 是彈簧彈出小球時的速度。由于小球只受到重力作用,所以它在空中的運動可以分解為沿重力方向的分運動和垂直于重力方向的分運動。垂直于重力方向的分運動是勻速直線運動,因此可以認為小球在空中的速度保持不變。由此可得:
v = sqrt(2gH)
將 v 代入 L = vt 中,可得:
L = sqrt(2gH)sqrt(2H/g) = sqrt(2gH^2)
根據能量守恒定律,彈簧的彈性勢能等于小球在空中的動能和重力勢能的轉化量。在小球被彈出到落地的過程中,小球的機械能守恒。因此,彈簧的彈性勢能等于小球在空中的動能。小球的動能等于它的重力勢能轉化為動能的量度,即:
E_k = mgh = mgH
將上述結果代入能量守恒定律中,可得彈簧的彈性勢能為:
E_p = E_k = mgh = mgH
所以,彈簧的彈性勢能為 mgH。