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題目：一個質量為$m$的小球，從高度為$H$的斜面頂端自由下滑，到達斜面底端時速度為$v$。求小球到達斜面底端時的動能和重力勢能。
解答：
首先，我們需要知道小球在斜面底端時的動能和重力勢能的定義。動能是物體由于運動而具有的能量，用符號$E_{k}$表示，單位是焦耳（J）。重力勢能是物體由于受到重力作用而具有的能量，用符號$E_{p}$表示，單位也是焦耳（J）。
根據動能的定義，小球到達斜面底端時的動能可以表示為：
$E_{k} = \frac{1}{2}mv^{2}$
其中，$m$是小球的質量，$v$是小球到達斜面底端時的速度。
根據能量守恒定律，小球在下滑過程中重力勢能轉化為動能。因此，小球在斜面底端時的重力勢能應該等于小球在斜面頂端時的重力勢能減去小球在下滑過程中增加的重力勢能。
小球在斜面頂端時的重力勢能可以表示為：
$E_{p1} = mgh$
其中，$h$是小球在斜面頂端的高度。
小球在下滑過程中增加的重力勢能可以表示為：
$\Delta E_{p} = mgh^{\prime}$
其中，$h^{\prime}$是小球到達斜面底端時的高度。
因此，小球到達斜面底端時的重力勢能可以表示為：
$E_{p} = E_{p1} - \Delta E_{p} = mgh - mgh^{\prime}$
將上述結果代入動能表達式中，得到：
$E_{k} = \frac{1}{2}mv^{2} = mgh^{\prime} + \frac{1}{2}m^{2}v^{2}$
其中，$v^{2}$表示$v$的平方。
綜上所述，小球到達斜面底端時的動能和重力勢能分別為：
$E_{k} = mgh^{\prime} + \frac{1}{2}m^{2}v^{2}$
$E_{p} = mgh - mgh^{\prime}$
這個例題可以幫助你更好地理解和掌握動能和重力勢能的概念以及它們之間的關系。通過這個例題，你可以更好地理解高考物理試題中關于動能和重力勢能的問題。
