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偉大的方程式巡回賽
NO.1 世界上最簡單的配方
任何有一點數(shù)學經(jīng)驗的人都有這樣的直覺:任何“簡單”的公式都會給人一種美感。而1+1=2是所有公式中最簡單、最清晰的,我們只能把它的發(fā)明歸功于上帝。
配方背后的故事
雖然自古以來,人們就心照不宣地知道 1+1=2,但直到 1557 年的一天,這個等式才被寫成與我們今天的形式相似。換句話說,等式中必不可少的等號直到 16 世紀才首次出現(xiàn)。
NO.2 勾股定理
那就是勾股定理?!靶边吺侨苯沁吺撬?,邊長是五。”這個定理深深扎根在地球上每個人的心中。它是人類很早就發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一(在公元前3000年左右的古巴比倫書籍中就有記載),也是用代數(shù)思維解決幾何問題最重要的工具之一。勾股定理(畢達哥拉斯定理)的證明方法有大約400種,是數(shù)學中證明方法最多的定理之一。
配方背后的故事
畢達哥拉斯是古希臘傳統(tǒng)數(shù)學和哲學的創(chuàng)始人,以他的名字命名的學派是一個個人崇拜的秘密組織,提倡禁欲、尊重長輩和一夫一妻制。他認為世界上的一切都是由數(shù)字統(tǒng)治的,他用數(shù)字來推斷人的命運,比如奇數(shù)被認為與男性有關(guān),偶數(shù)與女性有關(guān)。他發(fā)現(xiàn)了被稱為“完美數(shù)”的數(shù)字,這些數(shù)字等于它們所有真因數(shù)的總和。例如:6(6 = 1 + 2 + 3)和28(28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14)。已知的完美數(shù)共有47個,隨著計算機發(fā)展速度的加快,每隔幾年就會發(fā)現(xiàn)新的完美數(shù)。
NO.3 圓周率的發(fā)現(xiàn)
目前,人類已經(jīng)能夠?qū)A周率精確到十萬億位。但對現(xiàn)代科學技術(shù)來說,十幾位圓周率的數(shù)值就足夠了。如果用35位圓周率來計算一個可以包圍太陽系的圓的周長,其誤差還不到質(zhì)子直徑的百萬分之一。如今,大多數(shù)人計算圓周率是為了驗證計算機的計算能力,也有人是為了好玩。
配方背后的故事——布馮的針實驗
在地板上畫一系列間距為 2 厘米的平行線,然后將一根 1 厘米長的針扔在地板上。那么,針與地板上的線條相交的概率是多少?1733 年,法國博物學家布豐首次提出了這個問題。1777 年,布豐自己解決了這個問題——概率值為 1/π。
看到這個事實,阿基米德一定會驚呆,劉徽也會無語。所以,如果上帝創(chuàng)造了整數(shù),也創(chuàng)造了π,那么也許上帝其實是一臺計算機。
NO.4 費馬最后定理
1637 年的一天,法國律師、業(yè)余數(shù)學家費馬在一本書的空白處寫下了如下文字:
任何立方數(shù)都不能寫成兩個立方數(shù)之和,任何四次方都不能寫成另外兩個四次方。一般來說,任何大于二的冪都不能寫成相同冪的另外兩個冪。
也就是說,當指數(shù)n大于2時,上式無整數(shù)解。
在寫下上述猜想后,這個生性靦腆、沉默寡言的男人,對世界開了個玩笑。他寫道:
我找到了一個真正精彩的證明,但這里空間太小,容不下它。
但他怎么也想不到,他寫下的兩篇隨筆,竟然讓無數(shù)數(shù)學家耗費畢生精力高中物理故事,整整350年都找不到證明,直到1994年,英國數(shù)學家安德魯·懷爾斯才證明了費馬大定理。
配方背后的故事
費馬大定理紀念郵票
德國數(shù)學家沃爾夫斯凱爾被美女拒絕后,決定在午夜時分開槍自殺。他精心安排葬禮,寫下遺囑,高效率讓他在午夜截止前完成了一切。為了打發(fā)最后幾個小時,他去圖書館看了一本數(shù)學書:一篇關(guān)于費馬大定理證明的論文……他不自覺地拿起筆貝語網(wǎng)校,一行一行地計算……
然后,黎明到來了。
沃爾夫斯克爾為自己發(fā)現(xiàn)并修正了論文中的漏洞而感到無比自豪,他原來的絕望和悲傷一掃而光,數(shù)學把他從死亡邊緣救了回來。
1908年,年老去世的沃爾夫斯克爾立下新遺囑:將自己的大部分財產(chǎn)留作獎勵,獎勵給能夠證明費馬大定理的人,獎金為10萬馬克,按今天的貨幣價值計算,超過100萬英鎊。
這是他回報救了他一命的大難題的方式。
NO.5 微積分基本定理
微積分是微分和積分的總稱。“無限細分”是微分,“無限求和”是積分。例如,炮彈從炮管飛出的瞬時速度是微分的概念,炮彈在每個瞬間行進的距離之和是積分的概念。
微積分的誕生是數(shù)學史上和人類歷史上最偉大、影響最深遠的創(chuàng)新,因為從此以后數(shù)學家和科學家在討論連續(xù)變化的量時有了科學的基礎(chǔ)?;瘜W、生物、地理、現(xiàn)代信息技術(shù)等學科利用微積分推導出各種新的公式和定理,為后來所有科技領(lǐng)域的革命做出了貢獻。沒有微積分,人類將停止前進的步伐。恩格斯曾說:“在一切理論成就中,也許沒有任何事物能像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣,被視為人類精神的最高勝利。”
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蔡志忠漫畫《生命是時間的微積分》-少林寺碑
牛頓和萊布尼茨幾乎同時且獨立地發(fā)明了微積分,萊布尼茨晚了幾年。1673 年至 1675 年之間的某個時候,萊布尼茨聯(lián)系了牛頓,想了解牛頓已經(jīng)知道什么,并提出了一種信息交換:你告訴我這個,我告訴你那個。牛頓在回信中透露了微積分的基本定理,但卻把它藏在了一個難以破譯的字母謎題里。牛頓顯然不想與萊布尼茨分享他的發(fā)現(xiàn)。他只是想留下一個伏筆,如果萊布尼茨后來說這個定理是他自己的,牛頓就可以用它來證明自己是第一個發(fā)明者。原來大科學家也這么小氣??!
第六條:牛頓定律
古典物理學最偉大、最重要的核心定律。如果你學過高中物理,你還記得它們嗎?
配方背后的故事
1684年,牛頓的好友埃德蒙頓·哈雷問牛頓能否證明行星的軌道是橢圓形。牛頓說可以。三年后,牛頓關(guān)于這個問題的論證發(fā)表在《自然哲學的數(shù)學原理》一書中。該書第一部分介紹了牛頓三大定律,為以后所有的物理學書籍定下了基調(diào)。
哈雷慷慨資助牛頓著作的出版??高中物理故事,并獲得了非常獨特的回報:除了蘋果和行星,牛頓的理論也適用于彗星。由于彗星有橢圓形軌道,它們必須一次又一次地回歸。哈雷意識到,人們曾多次觀察到一顆彗星以大約 75 年的周期回歸:1456 年、1531 年、1606 年和 1682 年。他正確地預測彗星將在 1758 年再次回歸(那時他早已去世)。從那時起,彗星每 75 至 76 年回歸一次,被稱為哈雷彗星。
7. 麥克斯韋方程組
麥克斯韋方程組的最大成就,是把電現(xiàn)象、磁現(xiàn)象和光的本質(zhì)有機地統(tǒng)一在一套完整的電磁場理論中。這套公式,把高斯電學定律、高斯磁學定律、法拉第定律和安培定律融為一體。比較謙虛的評價是:“一般來說,宇宙中任何電磁現(xiàn)象,都可以用這套方程組來解釋。”
麥克斯韋揭示了電場和磁場是基本介質(zhì),并發(fā)現(xiàn)光速 c 是一個不變的基本物理常數(shù):磁場由電流產(chǎn)生,電場由變化的磁場引起。畢竟,光不過是一種傳播的電磁波,是一幅由振動的磁場和電場編織而成的錯綜復雜的織錦,磁場和電場就像紡織品的經(jīng)線和緯線。
配方背后的故事
產(chǎn)生美麗的電磁場
麥克斯韋方程預測電磁波可以存在于不同的波長,比如我們今天所說的微波、紅外線、紫外線和X射線。他們預測這種波可以通過振蕩電場產(chǎn)生。1901年,意大利人古列爾莫·馬可尼利用這一原理發(fā)射了第一束無線電波。他們認為光本身可以產(chǎn)生壓力。果然,研究人員在20世紀發(fā)現(xiàn)了“太陽風”,解決了彗星尾巴為何指向遠離太陽的謎團。1905年,他們?yōu)榘柌亍垡蛩固拱l(fā)現(xiàn)相對論指明了道路。
NO.8 質(zhì)能公式
又是一個簡潔公式的例子!它也刷新了人類的世界觀。質(zhì)能方程深刻地揭示了質(zhì)量和能量的關(guān)系。在此之前,人們毫無疑問地認為質(zhì)量就是質(zhì)量,能量就是能量,兩者之間沒有任何聯(lián)系。然而,在相對論力學中,能量和質(zhì)量是可以互換的。
配方背后的故事
愛因斯坦實際上并沒有證明 E = mc2!他只是做了一個近似,所以他只證明了 E ≈ mc2(即能量和物質(zhì)大致相等)。他并沒有真正著手確定這個近似中的錯誤是什么。他似乎并不關(guān)心——作為一個自由奔放的天才和數(shù)學課上的“懶漢”,為什么要用繁瑣的數(shù)學證明來破壞這樣一個“有趣而吸引人”的想法呢?當然,愛因斯坦和其他人后來又回來更嚴格地證明了這個最重要的原理。
當你仰望星空時,你有沒有想過問“為什么”?但浩瀚的宇宙從不發(fā)聲。人類歷史上也有一些人,和我們一樣,仰望過星空。他們的名字是:阿基米德、開普勒、高斯、牛頓、麥克斯韋、愛因斯坦……他們用人類的智慧,與宇宙提出問題、溝通,將宇宙的秘密翻譯成我們能聽懂的語言。這種語言,就是前文提到的照亮后人的“數(shù)學公式”。
每一個偉大的配方都是人類文明的濃縮體現(xiàn),每一個偉大的配方都見證著科學之美與人類尊嚴,每一個偉大的配方背后都有一個值得回味的故事。