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題目：
一個質(zhì)量為 m 的小球，在距地面高為 h 的位置以初速度 v0 豎直向上拋出。忽略空氣阻力，重力加速度為 g。
1. 求小球到達的最大高度。
2. 小球在運動過程中，當重力勢能增加了多少時，小球的速度為零。
3. 小球在運動過程中，當重力勢能增加了多少時，小球的速度最大。
答案：
1. 小球上升到最大高度時，速度為零，由機械能守恒定律可得：
mgh = 0.5mv^2
解得：h = v^2/2g
2. 小球在運動過程中，當重力勢能增加了多少時，小球的速度為零。此時小球已經(jīng)上升到最大高度，再向上運動就會做自由落體運動。所以當小球的速度為零時，它距離地面還有 h' = v^2/2g 的高度。因此重力勢能的增加量為：
ΔEp = mgh' = mgh^2/4g
3. 小球在運動過程中，當重力勢能增加了多少時，小球的速度最大。此時小球已經(jīng)上升到最大高度，再向下運動就會做減速運動。因此當小球的速度達到最大值時，它距離地面還有 h'' = v^2/g 的高度。因此重力勢能的增加量為：
ΔEp = mgh'' = mgh^2/g
由于小球在上升的過程中已經(jīng)損失了動能，所以小球的最大速度為 v'' = v^2/g
因此重力勢能的增加量為：
ΔEp = mgh'' - 0.5mv''^2 = mgh^2/2g - 0.5mv^4/g
化簡可得：ΔEp = 0.5mv^4 - mgh^2 = 0.5m(v^4 - v^6)
所以當小球的速度最大時，重力勢能的增加量為 0.5m(v^4 - v^6)。
