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例題:一質量為m的物體以某一速度沖上一傾角為θ的固定斜面,其運動情況可由圖10中的實線表示。設物體與斜面間的動摩擦因數為μ,經過時間t,物體返回出發點,求物體在運動過程中的最大速度和物體上滑的最大距離。
解題分析:
(1)物體上滑時受到重力、支持力和靜摩擦力作用,根據牛頓第二定律求出加速度,再根據運動學公式求出上滑的最大距離;
(2)物體下滑時受到重力、支持力和滑動摩擦力作用,根據牛頓第二定律求出加速度,再根據運動學公式求出最大速度和下滑時間。
解題過程:
(1)物體上滑時,根據牛頓第二定律得:
$mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta = ma$
解得:$a = g(\sin\theta + \mu\cos\theta)$
上滑的最大距離為:$x = \frac{v^{2}}{2a} = \frac{v^{2}}{2g(\sin\theta + \mu\cos\theta)}$
(2)物體下滑時,根據牛頓第二定律得:
$mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta = ma^{\prime}$
解得:$a^{\prime} = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$
下滑的時間為:$t^{\prime} = \frac{v}{a^{\prime}} = \frac{v}{g(\sin\theta - \mu\cos\theta)}$
下滑的距離為:$x^{\prime} = \frac{v^{2}}{2a^{\prime}} = \frac{v^{2}}{2g(\sin\theta - \mu\cos\theta)}$
當物體上滑到最大高度時速度最大,此時有:$x = x^{\prime}$
聯立解得:$v = \sqrt{2g(\sin\theta + \mu\cos\theta)x}$
最大距離為:$x_{m} = \frac{x}{2} = \frac{v^{2}}{4g(\sin\theta + \mu\cos\theta)}$
答案:最大速度為$\sqrt{2g(\sin\theta + \mu\cos\theta)x}$,最大距離為$\frac{x}{2}$。