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題目：
【題目描述】
一個(gè)質(zhì)量為m的小球從高度為H處自由下落，進(jìn)入一個(gè)半徑為r的半圓形光滑軌道，求小球在最低點(diǎn)的速度。
【解題思路】
1. 小球從高度H處自由下落，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，可求得小球在最低點(diǎn)的動(dòng)能。
2. 小球進(jìn)入半圓形軌道后，受到重力和軌道的支持力作用，根據(jù)動(dòng)能定理可求得小球在最低點(diǎn)的速度。
【答案】
解：根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有
$mgH = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}m\omega^{2}r$
其中，$\omega$為小球在最低點(diǎn)時(shí)的角速度。
在最低點(diǎn)，小球受到重力和軌道的支持力作用，根據(jù)動(dòng)能定理，有
$mg(H + r) - N\omega = \frac{1}{2}mv^{2}$
其中，$N$為軌道對小球的彈力。
聯(lián)立以上兩式可得
$v = \sqrt{\frac{2mg(H + r) - N\omega^{2}}{m} + \frac{gr}{2}}$
代入數(shù)據(jù)可得
$v = \sqrt{2g(H + r)}$
所以，小球在最低點(diǎn)的速度為$\sqrt{2g(H + r)}$。
【例題分析】
本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理以及圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識。解題的關(guān)鍵在于正確理解題意，建立物理模型，選擇合適的公式進(jìn)行計(jì)算。通過本題，可以鍛煉學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。
【變式練習(xí)】
【題目描述】
一個(gè)質(zhì)量為m的小球從高度為H處自由下落，進(jìn)入一個(gè)半徑為R的粗糙半圓形軌道，小球與軌道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為u，求小球在最低點(diǎn)的速度。
【解題思路】
1. 小球從高度H處自由下落，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，可求得小球在最低點(diǎn)的動(dòng)能。
2. 小球進(jìn)入半圓形軌道后，受到重力和軌道的支持力作用以及滑動(dòng)摩擦力作用，根據(jù)動(dòng)能定理可求得小球在最低點(diǎn)的速度。
答案：由于本題中摩擦力做負(fù)功，需要額外考慮摩擦力做功的影響。
解：根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有
$mgH = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}m\omega^{2}R + \mu mgR$
其中，$\omega$為小球在最低點(diǎn)時(shí)的角速度。
在最低點(diǎn)，小球受到重力和軌道的支持力作用以及滑動(dòng)摩擦力作用，根據(jù)動(dòng)能定理，有
$mg(H + R) - N\omega - \mu mgR = \frac{1}{2}mv^{2}$
其中，$N$為軌道對小球的彈力。
聯(lián)立以上兩式可得
$v = \sqrt{\frac{2mg(H + R) - N\omega^{2}}{m} - 2\mu mgR}$
代入數(shù)據(jù)可得
$v = \sqrt{\frac{mg(H + R) - \mu gR^{2}}{m}}$
所以，小球在最低點(diǎn)的速度為$\sqrt{\frac{mg(H + R) - \mu gR^{2}}{m}}$。
