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題目：一質量為m的小球，從高度為h處自由下落，當其著地速度為多少時才能保證每次與地面碰撞后反彈的高度都不低于原高度的二分之一？忽略空氣阻力，重力加速度為g。
解答：
設小球第一次與地面碰撞后的反彈高度為h1，反彈速度為v1，則有
h = v0t + 0.5gt^2
h1 = v1t + 0.5g(t-Δt)^2
其中Δt為小球在空中停留的時間。由題意可知，當Δt→0時，h1≥0.5h。
由以上三式可得v1 = -2gh + 2gΔt + √(gh^2 + 4ghΔt)
其中負號表示小球反彈的方向與初始方向相反。
當小球第二次與地面碰撞時，反彈高度為h2，反彈速度為v2，則有
h = v1t + 0.5g(t-Δt)^2
h2 = v2t + 0.5g(t-Δt-Δt)^2
其中Δt'為小球在第一次反彈后到第二次落地的時間。由題意可知，當Δt'→0時，h2≥0.5h。
由以上三式可得v2 = -4gh^2/Δt + 4gΔt - √[(-4gh^2/Δt + 4gh)^2 + 8gh]
其中負號表示小球第二次反彈的方向與第一次反彈的方向相反。
以此類推，可以得到小球第三次、第四次等所有碰撞后的速度表達式。最終可以得到小球著地速度v0的表達式為v0 = -g(n-1)h + √[gh^2 + (n-1)gh]（其中n為碰撞次數）。
注意：以上解答僅是一個示例，實際解題時需要根據題目要求進行適當的修改和調整。
