牛頓對數學的主要貢獻體現在微積分學、解析幾何學、級數等領域。以下是具體的一些貢獻：
1. 微積分學：牛頓在前人基礎上建立了微積分學的基本框架，他的研究方法深受其導師的影響。他通過觀察和實驗，發現了運動物體所受的力和它速度的變化率之間的關系，這為微積分的“瞬時變化率”概念提供了基礎。此外，他還對級數理論做出了重要貢獻。
2. 解析幾何學：牛頓的另一項重要貢獻在于他與萊布尼茨獨立發展出的解析幾何學。解析幾何學是關于用代數方法解決幾何問題的新方法，它為現代工程學和技術學提供了基礎。
3. 級數：牛頓對級數的研究，尤其是對無窮級數的求和，也對數學和物理學做出了重要貢獻。
此外，牛頓還提出了“牛頓法”用以求解方程的近似解，這是一種迭代方法，至今仍被廣泛應用于數學和工程問題。
總的來說，牛頓在數學領域的貢獻深遠且多樣，他的研究不僅推動了數學的發展，也為后來的科學研究提供了基礎。
題目：一個物體在重力作用下從高度H自由落下，問經過多長時間t它到達地面？
解答：根據牛頓的微積分方法，我們可以得到這個物體的運動方程：
mg = m (dv/dt)
其中，m 是物體的質量，g 是重力加速度，dv/dt 是物體速度的變化率。
將自由落體的初始條件代入，我們可以得到：
mg = m (dv/dt) dv/dt = 0
這意味著物體在初始時刻的速度是常數，即 v = v_0 = g t。
將這個方程兩邊乘以 dt 并移項，我們可以得到：
v_0 dt = dt g t
兩邊同時除以 dt，得到：
v_0 = gt
t = v_0 / g = H / g
這個例題展示了牛頓的微積分方法在物理問題中的應用，通過這個方法我們可以求解許多涉及到速度、加速度和時間的問題。牛頓的微積分方法為數學和物理學的發展做出了重要貢獻。
