牛頓發(fā)現(xiàn)二項式定理的故事有很多，以下列舉幾個：
1. 在牛頓之前，一些數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了二項式定理，但是他們并沒有用理論證明它。牛頓在研究級數(shù)和差分時，發(fā)現(xiàn)了這個定理。他通過觀察和推導(dǎo)，得出了二項式定理的公式。
2. 牛頓在研究如何利用無窮級數(shù)計算冪的時候，發(fā)現(xiàn)了二項式定理。他觀察到，任何連續(xù)的二次方運算（如加、減、乘、除）都可以表示為一個多項式和某個變量的乘積之和。這個變量通常被稱為“無窮級數(shù)”的“余項”。
3. 一天傍晚，牛頓一邊散步一邊思考如何計算冪的問題。他突然想到可以用正整數(shù)乘以一個固定的常數(shù)來表示這個結(jié)果。這個想法讓他得到了二項式定理的一般形式，即多項式可以表示為兩個因式乘積的和。
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牛頓發(fā)現(xiàn)二項式定理的故事：
有一天，牛頓正在思考問題，走到蘋果樹下，看見一個蘋果落在地上。他覺得蘋果從樹上掉下來，是因為地球?qū)μO果有吸引力。同時，他觀察到當(dāng)蘋果的樹枝是水平方向時，蘋果并沒有從樹枝上掉下來。這使他想到，蘋果樹在生長時受到地球引力影響，而蘋果也受到樹枝的牽制作用，所以蘋果只在樹枝下生長。
在思考這個問題時，牛頓突然想到一個數(shù)學(xué)問題：如果有一個物體A和一個物體B互相吸引，那么物體A在物體B的引力作用下，將如何運動呢？他隨即用數(shù)學(xué)方法進行研究。他發(fā)現(xiàn)，如果物體A和物體B之間的引力是恒定的，而且物體A有一定的初速度，那么物體A將在物體B的引力作用下做勻速直線運動。
在這個過程中，牛頓又聯(lián)想到了另一個數(shù)學(xué)問題：如果有一個物體在兩個互相垂直的方向上受到兩個大小相等、方向相反的力作用，那么這個物體將如何運動呢？他又用數(shù)學(xué)方法進行研究，并發(fā)現(xiàn)這個物體將在兩個力的合力作用下做勻加速直線運動。
這兩個數(shù)學(xué)問題的解決方法，使牛頓意識到這可能是個重要的數(shù)學(xué)定理。于是他開始用數(shù)學(xué)公式進行推導(dǎo)證明，最終得出了著名的二項式定理。
例題：假設(shè)有一個邊長為a的正方形，其中一邊受到一個大小為F、方向沿該邊向內(nèi)的力作用，另一邊受到一個大小也為F、方向沿該邊向外的力作用。這兩個力是恒定的，大小相等、方向相反。那么這個正方形將會如何運動呢？
根據(jù)牛頓的二項式定理，正方形將會做勻加速直線運動。我們可以使用牛頓第二定律來求解這個問題：F=ma，其中F是作用在正方形上的力，m是正方形的質(zhì)量（即正方形的邊長），a是正方形運動的加速度。由于兩個力都是恒定的，所以正方形將會做勻加速直線運動。
