牛頓通過以下步驟證明萬有引力定律：
1. 假設兩個物體之間存在引力，那么它們之間的引力大小與它們的質量和距離成正比。
2. 測量相同質量的物體在不同距離時受到的引力，并比較它們的大小，以驗證上述假設。
3. 通過實驗發現，物體之間的引力與它們的質量和距離的乘積成正比，這與萬有引力定律的公式相符。
4. 牛頓還通過數學方法證明了萬有引力定律的公式可以解釋為一種基于微粒相互吸引的力，這些微粒被稱為“質點”。
總之，牛頓通過實驗和數學方法證明了萬有引力定律，該定律指出任何兩個物體之間都存在引力，且引力與它們的質量和距離成正比。
假設有兩個物體A和B，它們之間存在萬有引力，物體A的質量為m1，物體B的質量為m2，它們之間的距離為r，那么根據萬有引力定律，物體A受到物體B的引力大小為：F=Gm1m2/r^2
現在假設物體A有一個速度v1，它在這個速度下做圓周運動。那么根據牛頓第二定律，物體A受到的向心力等于萬有引力，即：F=ma1
同時，物體A還受到其他力的作用，比如空氣阻力、重力等。這些力的合力等于物體A做圓周運動的向心力，即：F=m1v1^2/r
將這兩個等式相等，可以得到：Gm1m2/r^2=m1v1^2/r
化簡后得到：Gm1m2=v1^2r
這個公式說明物體B對物體A的萬有引力等于物體A的速度乘以物體A和物體B之間的距離的平方。這個公式與萬有引力定律的形式是一致的。
這個例子只是一個簡化版的證明過程，實際上牛頓在證明萬有引力定律時使用了更復雜的數學方法和理論推導。同時需要注意的是，這個例子中忽略了其他因素的影響，比如行星之間的相互作用、行星的自轉等。這些因素在實際應用中是需要考慮的。
