全國高中數學競賽試題及答案有很多，以下是一些比較知名的賽事及答案：
1. 全國高中數學聯賽：這是全國性的一項高中數學競賽，試題難度相對較高。試題及答案一般會在競賽結束后在相關網站上公布。
2. 全國中學生數學冬令營北方論壇：這是針對高中數學冬令營舉辦的一項活動，試題難度較高。試題及答案一般會在活動結束后公布。
3. 高考數學模擬試題及答案：除了競賽試題外，還有針對高考的模擬試題及答案。這些試題難度適中，適合備考高考的學生。
請注意，以上提供的試題及答案僅供參考，具體請關注相關數學競賽官方網站。另外，數學競賽需要一定的數學基礎和能力，建議在充分準備的基礎上參加。
例題：在平面幾何中，有這樣一個有趣的問題：在任意凸四邊形ABCD中，給定三個頂點A、B、C，求證：至少有一個頂點D是四邊形ABCD內的一點，使得對角線AC和BD互相平分．
證明：假設結論不成立，即四邊形ABCD中不存在點D，使得對角線AC和BD互相平分．
那么，對角線BD和AC必交于點E，且AB、CD交于點F．
設AC的中點為G，BD的中點為H．由已知條件知，G、H不是四邊形ABCD的頂點．
由于四邊形ABCD是凸四邊形，所以GH不在對角線AC和BD的延長線上．
因此，在三角形BEF中，必有BE+BF>EF．同理在三角形AGD中也有類似的不等式存在．
因此，在四邊形ABCD內有兩條線段AC和BD不相交于一點E，且使EF最短．這與已知條件“至少有一個頂點D”相矛盾．
因此，原假設不成立，所以原命題成立．
答案：至少有一個頂點D是四邊形ABCD內的一點，使得對角線AC和BD互相平分．
以上僅是一個例題，試題可能包含更多題型和知識點，建議查閱相關資料獲取更多信息。
