第一宇宙速度的推導主要有以下幾種：
1. 能量法（涉及機械能守恒）：
mv2/r = mgh + (1/2)mv2，其中h為高度，r為軌道半徑，g為重力加速度。令h=r=h0，即可解得第一宇宙速度v = √(gh0)。
2. 動力學法（近地飛行器受力平衡）：
重力充當向心力，所以mg=mv2/r，由此可得到第一宇宙速度的表達式v = sqrt(gr)。
以上兩種方法可以推導出第一宇宙速度的表達式，即v = sqrt(gr)，其中g是重力加速度，r是地球半徑。
需要注意的是，第一宇宙速度也被稱為環繞速度，是物體緊貼地球表面圓周運動的速度。因為地球對物體的引力完全提供所需向心力，所以物體能緊貼地球表面圓周運動而不會掉下來。
以上信息僅供參考，如果還有疑問，建議查閱專業書籍或咨詢專業人士。
假設地球的質量分布均勻，且在地球表面附近，一個物體在地球表面附近繞地球做圓周運動。根據牛頓第二定律和萬有引力定律，這個物體所受的向心力與它到地球質心的距離的平方成反比，即：
F = mv^2/r
其中，F是向心力，m是物體質量，v是物體運動速度，r是物體到地球質心的距離。
同時，這個物體受到的重力等于萬有引力，即：
GmM/r^2 = mg
其中，G是萬有引力常數，M是地球質量，m是物體質量，r是物體到地球質心的距離。
將上述兩個公式聯立，消去m，可以得到：
v^2 = GM/r
為了使物體能夠繞地球做圓周運動，它的速度必須達到第一宇宙速度。第一宇宙速度的定義是物體在地面附近繞地球做圓周運動的臨界速度。根據牛頓第二定律，這個物體的向心力等于它受到的重力，即：
F = mg
將F = mv^2/r代入上式可得：
mg = mv^2/r
將v^2 = GM/r代入上式可得：
gr = GM
因此，第一宇宙速度v = √(gr) = √(GM/r)。
需要注意的是，這個推導假設了地球的質量分布均勻且物體在地球表面附近繞地球做圓周運動。如果地球的質量分布不均勻或者物體不在地球表面附近繞地球做圓周運動，那么第一宇宙速度的計算方法可能會有所不同。
