動量定理和動量守恒是兩個不同的物理概念，主要在應用范圍和使用條件上存在區別：
動量定理：動量定理研究的是動量的變化，表述形式為力與沖量的變化。動量定理適用于宏觀、低速條件下的物理現象。
動量守恒：動量守恒是指在沒有外力介入或者外力之和為零的情況下，一個系統內各物體的動量之和保持恒定。動量守恒通常用于解釋一些涉及碰撞或相互作用力平衡的物理現象。
總的來說，動量定理適用于更廣泛的情況，而動量守恒則更具體地描述了在沒有外力介入的系統內的動量變化情況。在具體應用時，需要根據問題的具體情況選擇合適的理論。
動量定理和動量守恒都是描述物體動量變化的定理，但它們在應用范圍和使用條件上有所不同。
動量定理適用于任何運動的物體，而動量守恒只適用于系統不受外力或所受外力之和為零的理想化物理模型。
假設有一個長方形盒子，其質量為m，長為L，高為h，底面積為S。盒子里裝滿了沙子，沙子的高度為H。現在有一個小鐵球以一定的速度v水平地擊中沙子的表面。
1. 動量定理的應用：
根據動量定理，當一個物體受到力的作用時，它的動量將會發生變化。在這個例子中，小鐵球擊中沙子后，沙子的速度將會發生變化。我們可以使用動量定理來計算這個變化。
設小鐵球的質量為M，沙子的速度變化量為Δv。由于小鐵球和沙子作為一個系統，它們之間的相互作用力為F。根據動量定理，我們有：
FΔt = (M + m)Δv
其中Δt是時間間隔。為了簡化計算，我們可以假設小鐵球和沙子之間的相互作用時間非常短，即Δt趨近于零。這樣，我們可以將上式簡化為：
F = (M + m)Δv / t
其中F是鐵球對沙子施加的力，t是鐵球與沙子接觸的時間。通過測量這些值，我們可以求出F的大小。
2. 動量守恒的應用：
另一方面，如果考慮盒子和沙子作為一個整體的系統，我們可以使用動量守恒原理來解釋這個過程。在這個系統中，沙子的初始動量為零（因為它是靜止的），而小鐵球的動量為v。當小鐵球擊中沙子時，沙子的速度將會發生變化，但整個系統的總動量保持不變。這是因為盒子、小鐵球和沙子之間的相互作用力相互抵消。
根據動量守恒原理，初始狀態下系統的總動量為零（Mv + 0 = 0），而在末態狀態下沙子的速度為Δv/S L h S = Δv L h G（G為重力加速度）。因此，整個系統的總動量保持不變。
總結：動量定理適用于單個物體受到力的作用時的動量變化情況，而動量守恒適用于多個物體組成的系統在相互作用下的總動量保持不變的情況。這兩個概念在解決實際問題時都有其應用場景和優勢。
