高中數學競賽題包括以下幾種類型：
函數與導數：包括函數性質、函數的單調性和奇偶性、函數的極值和最值、導函數、導數與函數的單調性、極值和最值等。
數列：這部分的競賽題通常包括簡單數列、等差數列與等比數列的判定、數列的通項公式和求和公式、數列的性質等。
幾何：包括平面幾何與立體幾何，平面幾何的競賽題有三角形、圓和圓與圓的位置關系等，立體幾何主要考查空間幾何體和三視圖等。
不等式：包括不等式的證明、不等式求解等。
組合：包括組合數性質、組合數公式的應用等。
概率與統計：包括二項式定理、離散型隨機變量的期望和方差等。
此外，高中數學競賽題還包括三角問題、三角不等式證明、數論入門問題、代數入門問題等。這些題目通常比較難，適合有一定數學基礎的學生練習。
請注意，這些題目難度較大，需要學生具備一定的數學基礎和解題技巧。建議學生在解題時注意方法，逐步提高解題速度和正確率。
當然可以，這里給出一個簡單的數學競賽題例子，它涉及到了一些基礎的代數知識。
題目：
給定一個正整數 n，證明存在一個大于 1 的整數 k，使得 n 是一個 k 的 k 次方方冪減去 k。
證明：
首先，我們假設 n 是一個正整數的平方，即 n = m^2。那么我們可以得到 k = m^2 和 k^2 = n + k。但是，由于 k^2 - k = (k + 1)(k - 1) > 0，所以 k > 1。因此，我們得到了一個大于 1 的整數 k，使得 n 是 k 的 k 次方方冪減去 k。
現在，我們假設 n 不是正整數的平方。那么我們可以找到一個正整數 m，使得 n = m^2 + a，其中 a > 0。在這種情況下，我們可以得到 k = m^2 + a 和 k^2 = n + k + a。由于 a > 0，我們有 k^2 - k = (k + a)(k - a) > 0。因此，k > a > 0。因此，我們仍然得到了一個大于 1 的整數 k，使得 n 是 k 的 k 次方方冪減去 k。
這個題目相對簡單，只需要運用一些基礎的代數知識就能解決。它適合用來考察學生對代數運算的理解和運用能力。
