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例題:一質量為 m 的小球,從高度為 H 的光滑斜面頂端自由下滑,斜面的底端處連接一個半徑為 R 的光滑半圓環,求小球在半圓環上能夠達到最高點時對環的壓力大小。
分析:小球在斜面上自由下滑的過程中,受到重力、支持力和摩擦力,由于斜面光滑,故支持力和摩擦力可以忽略。當小球到達斜面底端時,速度達到最大值 v_m,此時小球受到重力和支持力的合力提供向心力,根據牛頓第二定律和運動學公式可以求得支持力和壓力的大小。
解:小球到達斜面底端時速度達到最大值 v_m,此時小球的加速度為零,根據牛頓第二定律,有
mg - F_N = 0
其中 F_N 為支持力
又因為小球在半圓環上能夠達到最高點時,速度也為零,根據動能定理,有
mg(H+R) = 0 - 0.5mv_m^2
其中 H 為斜面的高度
聯立以上兩式可得
F_N = mg
根據牛頓第三定律,小球對環的壓力大小也為 mg
答案:小球對環的壓力大小為 mg。