重難點09機械能守恒的三種表達方式

1．我國羽毛球運動員林丹是羽毛球史上第一位集奧運會、世錦賽、世界杯、蘇迪曼杯、湯姆斯杯、亞運會、亞錦賽、全英賽、全運會及多座世界羽聯超級系列賽冠軍于一身的雙圈全滿貫選手，被譽為中國羽毛球一哥如圖所示是林丹在某次羽毛球比賽中躍起擊球的動作，擊球過程中由靜止豎直向上跳起假設林丹與球拍重心上升的高度為h，在最高點將羽毛球以原來的速度大小v₀斜向上擊回已知林丹與球拍總質量為M，羽毛球質量為m，重器力加速度為g，不計空氣阻力.則下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．林丹在整個起跳過程中機械能守恒
B．林丹在起跳過程中地面對他的支持力做功為Mgh
C．林丹在起跳過程中林丹與球拍重力勢能的增加量為Mgh
D．林丹擊球過程中球拍對羽毛球做功為

【答案】C
【詳解】
A．林丹起跳過程，由其他形式的能量轉化為機械能，故機械能不守恒，故A錯誤；
B．地面對林丹的支持力不做功，故B錯誤；
C．由于林丹中心上升的高度為h，故其重力勢能增量為Mgh，故C正確；
D．羽毛球被擊中的過程中，其速度大小不變，故林丹對羽毛球做功為0，故D錯誤；
故選C。
2．如圖所示，建筑工地上載人升降機用不計質量的細鋼繩跨過定滑輪與一電動機相連，通電后電動機帶動升降機沿豎直方向先勻加速上升后勻速上升。摩擦及空氣阻力均不計。則（　　）
說明: figure

A．升降機勻加速上升過程中，升降機底板對人做的功等于人增加的動能
B．升降機勻加速上升過程中，升降機底板對人做的功等于人增加的機械能
C．升降機勻速上升過程中，升降機底板對人做的功小于人增加的機械能
D．升降機上升的全過程中，升降機拉力做的功大于升降機和人增加的機械能
【答案】B
【詳解】
AB．升降機勻加速上升過程中，升降機底板對人做的功等于人增加的動能和重力勢能之和，即等于人增加的機械能，選項A錯誤，B正確；
C．升降機勻速上升過程中，人的動能不變，升降機底板對人做的功等于人增加的機械能，選項C錯誤；
D．升降機上升的全過程中，升降機拉力做的功等于升降機和人增加的機械能，選項D錯誤。
故選B。
3．攝制組在某大樓邊拍攝武打片，要求特技演員從地面飛到屋頂。如圖所示，若特技演員質量m=50kg，導演在某房頂離地H=12m處架設了輪軸（輪與軸有相同的角速度），輪和軸的直徑之比為3：2（人和車均視為質點，且輪軸直徑遠小于H），若軌道車從圖中A前進到B，在B處時，速度v=10m/s，繩BO與水平方向的夾角為53°，則由于繞在輪上細鋼絲的拉動，使演員由地面從靜止開始向上運動。在車從A運動到B的過程中（g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（　　）
說明: figure

A．演員上升的高度為3m
B．演員最大速度為8m/s
C．以地面為重力勢能的零點，演員最大機械能為2400J
D．鋼絲在這一過程中對演員做功為4275J
【答案】D
【詳解】
A．在車由A到B的過程中，輪和軸轉過的角度相等，即
eqId592641b885b94d86b4b7c318af2967b5

h為人上升的高度，代入數據可解得h=4.5m，故A錯誤；
B．將汽車的速度v沿繩和垂直繩方向正交分解，可得繩子伸長的速度
v₁=vcos53°=6m/s
由于輪軸的角速度相等，設人上升速度為v₃，輪的半徑為R，軸的半徑為r，則有

代入數據可得v₃=9m/s，即演員最大速度為9m/s，故B錯誤；
CD．鋼絲在這一過程中對人所做的功就是人具有的最大機械能，即

故C錯誤，D正確。
故選D。
4．如圖，勁度系數為100

的輕彈簧下端固定于傾角

的光滑斜面底端，上端連接物塊Q，Q同時與平行于斜面的輕繩相連，輕繩跨過定滑輪O與套在光滑豎直桿上的物塊P連接，圖中O，B兩點等高，間距d=0.3m。初始時在外力作用下，P在A點靜止不動，A、B間距離h=0.4m，此時輕繩中張力大小為50N。已知P的質量為0.8kg，Q的質量為5kg。現將P由靜止釋放（不計滑輪大小及摩擦，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6），下列說法正確的是（）
說明: figure

A．P上升至B點時，彈簧的壓縮量為0.2m
B．P上升至B點時，繩拉力等于40N
C．P上升至B點的過程中，Q的加速度先增大后減小
D．P上升至B點的過程中，輕繩拉力對其所做的功為8J
【答案】D
【詳解】
A．當物塊P在A點時，對于Q，受到輕繩的拉力、重力、斜面的支持力、彈簧的彈力，設Q的質量為m，P的質量為M，設此時彈簧被拉伸x，則

解得

當P上升到B點時，Q下滑了0.2m，則物體被壓縮了0.1m，所以A錯誤；
B．當P上升到B點時，Q的加速度大小是未知的，不能計算出繩子的拉力，所以B錯誤；
C．當P上升到B點時，P沿繩方向的速度為零，根據運動的合成與分解可知Q的速度也為零，因為P是從A點由靜止釋放，所以Q也是由靜止開始運動的，所以Q先沿斜面向下做加速運動，由于彈簧逐漸恢復原長，所以合力逐漸減小，即加速度逐漸減小，當Q受到的合力為零時，此時速度達到最大值，之后Q做沿斜面向下減速運動，合力方向向上，因為彈簧被壓縮量逐漸增大，所以彈簧彈力逐漸增大且方向沿斜面向上，所以合力逐漸增大，即加速度逐漸增大，所以C錯誤；
D．P上升到B點的過程中，由于初位置和末位置的Q的速度都為零，所以初始狀態和末狀態的機能都等于彈性勢能和重力勢能之和，由于彈簧由伸長0.1m變為被壓縮0.1m，所以在此過程中，彈簧的彈性勢能不變，因此機械能的減少量為重力勢能的減少量

根據功能關系得輕繩拉力對P做功為8J。所以D正確。
故選D。
5．如圖所示，質量均為m的A、B小球分別用長為L的輕繩懸掛在O點。初始時繩OA與豎直方向成53°，繩OB與豎直方向成37°，重力加速度為g。（

，

）若給A、B球垂直于紙面的水平初速度，使它們可以在各自所在水平面內做勻速圓周運動，則它們運動時所具有的機械能的差值E_A–E_B（　　）
說明: figure

A．0 B．

C．

D．

【答案】B
【詳解】
在水平面內做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律得

以懸點為參考位置，其機械能為

將角度帶入解得

故選B。
6．如圖所示，兩光滑且平行的固定水平桿位于同一豎直平面內，兩靜止小球

、

分別穿在兩桿上，兩球間拴接一豎直輕彈簧，彈簧處于原長狀態。現給小球

一個水平向右的初速度

，兩桿足夠長，則在此后的運動過程中（　　）
說明: figure

A．

、

組成的系統動量不守恒
B．

、

組成的系統機械能守恒
C．彈簧最長時，其彈性勢能為 eqId3ff0195d248c4011a3f05a15671c9fdc

D．

的最大速度是

【答案】D
【詳解】
A．

、

組成的系統受合外力為零，則系統的動量守恒，選項A錯誤；
B．

、

及彈簧組成的系統機械能守恒，選項B錯誤；
C．彈簧最長時，兩球共速，則由動量守恒

此時彈性勢能為

選項C錯誤；
D．當彈簧再次回到原長時

的速度最大，則由動量守恒定律

解得

選項D正確。
故選D。
7．物體A和B的質量分別為2kg、3kg，系在一根不計質量不可伸長的細繩兩端,繩子跨過固定在傾角為30°的斜面頂端的定滑輪上，開始時把物體B拉到斜面底端,這時物體A離地面的高度為0.8m,如圖所示。從靜止開始放手讓它們運動，斜面光滑足夠長，且始終保持靜止(g取10m/s²)。下列說法正確的是（）
說明: figure

A．物體A落地的速度為4m/s
B．物體B沿斜面上滑的最大距離為0.96m
C．物體A落地前，斜面受到地面水平向右的摩擦力，大小為30N
D．物體A落地前，斜面受到地面支持力不變，大小為50N
【答案】B
【詳解】
A．系統機械能守恒，有

代入數據，得

故A錯誤；
B．物體B在物體A落地前，沿斜面上滑0.8m；設物體A落地后繼續上滑L，根據機械能守恒

代入數據，得

故物體B沿斜面上滑的最大距離為

故B正確；
C．對斜面受力分析，有

代入數據，得

摩擦力方向，水平向右。故C錯誤；
D．斜面質量未知，故D錯誤。
故選B。

8．如圖所示，兩個

圓弧軌道固定在水平地面上，半徑R相同，甲軌道由金屬凹槽制成，乙軌道由金屬圓管制成，均可視為光滑軌道。在兩軌道右側的正上方分別將質量均為m的金屬小球A和B由靜止釋放，小球距離地面的高度分別用h_A和h_B表示，已知重力加速度為g，對于下述說法中正確的是（　　）
說明: figure

A．若h_A＝h_B=2R，則兩小球都恰能沿軌道運動到最高點
B．若h_A＝h_B=2R，則兩球運動到軌道圓心左側等高位置時，對軌道的壓力大小都為2mg
C．若A小球恰能到達甲軌道最高點，則恰好可以落回圓軌道上
D．若使小球沿軌道運動并從最高點飛出，A小球在h_A≥

，B小球在h_B>2R的任意高度均可
【答案】BD
【詳解】
AD．A軌道由金屬凹槽制成，小球恰能到達軌道最高點時，在A軌道上最高點由小球重力提供向心力

再由機械能守恒

解得

即小球通過A軌道到達最高點，對應的

, 則當h_A＝2R時，A小球不能達到最高點；而B小球只要滿足h_B>2R，則到達最高點的速度均大于零，能沿軌道運動到最高點， A錯誤，D正確；
B．若h_A＝h_B=2R，則兩球運動到軌道圓心左側等高位置時

由牛頓第二定律

選項B正確；
C若A小球恰能到達甲軌道最高點，則滿足

當做平拋運動下落R時的水平位移為
eqId61d9e138651644efa43120d0725c9301

則物體將落到軌道之外，選項C錯誤；
故選BD。
9．如圖所示，一輕繩跨過光滑且可看作為質點的定滑輪，輕繩一端系著質量為M的物塊，另一端系著一個質量為m的圓環，圓環套在豎直的光滑細桿上。已知細桿與定滑輪的水平距離為d=0.6m，初始時細線與豎直桿的夾角

=37°，現在由靜止釋放兩物體，下列說法中正確的是（　　）
說明: figure

A．釋放之后圓環和物塊組成的系統機械能守恒
B．若M=

m，當細線與細桿垂直時，圓環的速度為v=2m/s
C．若M=2m，圓環運動區間的長度為1.6m
D．為保證圓環在初始位置上方運動，物塊與圓環的質量之比應該滿足

【答案】ABD
【詳解】
A．因整個系統不存在摩擦力，故系統的機械能守恒，A正確；
B．當細線與細桿垂直時，物塊的速度為0，由M=

m，根據動能定理可得

解得

故B正確；
C．若M=2m時，物塊一開始先做向下的加速運動，后做減速運動，圓環先做向上的加速運動，后做減速運動，可知當圓環運動至細線與細桿垂直時，此時

即物塊重力勢能的減少量等于圓環重力勢能的增加量，又恰好此時物塊的動能為0，根據機械能守恒可知，此時圓環的速度為0，即為圓環運動的最高點，隨后向下運動，可得圓環作用的區間長度為

故C錯誤；
D．圓環在初始位置上方運動，故可視為圓環在初始位置恰好靜止，由此可得

解得

故當滿足

時，圓環在初始位置上方運動，D正確；
故選ABD。
10．如圖所示，在傾角為30°的固定斜面上，質量為2kg小滑塊從a點由靜止下滑，到b點時接觸輕彈簧。滑塊滑至最低點c后，又恰好被彈回到a點。已知ab=2m，bc=0.8m，取g=10m/s²，下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．滑塊滑到b點時動能最大
B．彈簧的最大彈性勢能為56J
C．從c到b彈簧的彈力對滑塊做了28J的功
D．整個過程中滑塊和彈簧組成的系統機械能守恒
【答案】CD
【詳解】
小滑塊從a點由靜止下滑，到b點時接觸一輕彈簧，滑塊滑至最低點c后，又被彈回到a點，說明整個過程中系統的機械能沒有損失，所以斜面光滑；
A．當滑塊的合力為0時，滑塊速度最大，合力為零的位置彈力等于重力沿斜面向下的分量，重物應該在bc之間某一位置，故A錯誤；
B．從a到c根據功能關系可知，物體重力勢能的減少等彈性勢能的增加，則
E_P=mg（ab+bc）sin30°=28J
彈簧的最大彈性勢能為28J，故B錯誤；
C．根據功能關系可知，彈簧克服彈力做的功等于彈性勢能的增加，所以彈簧的彈力對滑塊做了28J的功，故C正確；
D．整個過程中滑塊和彈簧組成的系統只有重力或彈力做功，所以系統的機械能守恒，故D正確。
故選CD。
11．如圖所示，質量為m的物塊A放置在光滑水平桌面上，右側連接一固定于墻面的水平輕繩，左側通過一傾斜輕繩跨過光滑輕質定滑輪與一豎直輕彈簧相連。現將質量為m的鉤碼B掛于彈簧下端，當彈簧處于原長時，將B由靜止釋放，當B下降到最低點時（未著地），A對水平桌面的壓力剛好為零。輕繩不可伸長，彈簧始終在彈性限度內，物塊A始終處于靜止狀態。以下判斷正確的是（　　）
說明: figure

A．在B從釋放位置運動到最低點的過程中，B的機械能守恒
B．在B從釋放位置運動到速度最大的過程中，B克服彈簧彈力做的功等于B機械能的減少量
C．物塊A右側輕繩所受拉力的最大值為

D．物塊A左側輕繩與桌面夾角為30°
【答案】BD
【詳解】
A．在B從釋放位置運動到最低點的過程中，重力勢能減小，動能不變，故機械能減小，故A錯誤；
B．除重力外，只有彈簧彈力對B做功，故在B從釋放位置運動到速度最大的過程中，B克服彈簧彈力做的功等于B機械能的減少量，故B正確；
CD．由題意可知B物體可以在開始位置到最低點之間做簡諧振動，根據簡諧運動的對稱性，在最低點的加速度為豎直向上的g，由牛頓第二定律得：
T－mg=mg
解得在最低點時有彈簧彈力為
T=2mg
對A受力分析可得

物塊A左側輕繩與桌面夾角為

，此時，右側輕繩所受拉力最大，為

故C錯誤，D正確。
故選BD。
12．如圖所示，豎直平面上固定著兩根足夠長的平行導槽，質量為

的

形管恰好能在兩導槽之間自由滑動（可鎖定），質量為

的小球沿水平方向，以初速度

從

形管的一端射入，從另一端射出，已知小球的半徑略小于管道半徑，不計一切摩擦，下列說法，正確的是（　　）
說明: figure

A．當

形管被鎖定時，小球在

點處對軌道的壓力大小為

B．當

形管被鎖定時，小球從

形管飛出的過程中小球動量變化量的大小為

，方向水平向右
C．當

形管解除鎖定時，小球的機械能守恒
D．當

形管解除鎖定時，小球運動到

形管圓弧部分的最左端時的水平速度大小為

【答案】AD
【詳解】
A．小球在被鎖定的

形管內滑動過程中，由動能定理得

解得

小球動量變化量為

在

點由牛頓第二定律得

解得

根據牛頓第三定律得，小球在

點處對軌道的壓力大小為

；A正確，B錯誤；
CD．當

形管解除鎖定時，小球會對

形管做功，小球的機械能不守恒，在水平方向上，系統合外力為零，小球運動到

形管圓弧部分的最左端時，由動量守恒定律得

解得

C錯誤，D正確。
故選AD。
13．一根足夠長的圓管傾斜固定在地面上，與水平面傾角

，管內有一勁度系數為

輕質彈簧，彈簧上下端分別連有質量可以忽略的活塞和質量為

的光滑小球（小球直徑略小于管徑），已知活塞與管壁間的最大靜摩擦力

，彈簧從自然長度開始伸長

的過程中平均彈力為

，滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，

。當彈簧處于自然長度時由靜止釋放小球，在小球第一次運動到最低點的過程中，下列說法不正確的是（）
說明: figure

A．當小球運動到最低點時，彈簧的彈性勢能為

B．小球先做加速度減小的加速運動，再做加速度增大的減速運動直到靜止
C．彈簧的最大伸長量為

D．活塞克服摩擦力做功大小為

【答案】BCD
【詳解】
小球運動過程分析：小球開始向下運動的過程中彈簧逐漸變長，彈簧彈力變大，開始時重力沿管的分力大于彈簧的彈力，小球沿管向下做加速運動，加速度隨彈簧長度增大而變小，當彈簧的彈力大于重力沿管的分力時，小球開始做減速運動，加速度隨彈簧長度的增大而變大，小球做加速度增大的減速運動，當彈簧的彈力等于活塞受到的摩擦力時，活塞開始運動，彈簧不再增長。
AC．當小球運動到最低點時，彈簧最大伸長量為

解得

此時，彈簧的彈性勢能為

故A正確，不符合題意，C錯誤，符合題意；
B．由小球運動過程可知，小球先做加速度減小的加速運動，再做加速度增大的減速運動，最后直到活塞開始運動，小球、彈簧、活塞不會靜止，故B錯誤，符合題意；
D．小球沿管下滑0.15m時，有

小球繼續下降過程中，彈簧長度不變，所以重力和摩擦力做功，有

活塞克服摩擦力做功大小為

聯立方程解得

故D錯誤，符合題意。
故選BCD。
14．直角形輕桿可繞著O點為軸在豎直平面內無摩擦地自由轉動，連接A球的短桿長為l，A球質量為2m，連接B球的長桿長為2l，B球質量為m。開始時，短桿豎直，長桿水平，兩球處于靜止狀態，如圖所示。現由靜止釋放，下列說法正確的是（）
說明: figure

A．在向下擺動90^o的過程中，B球機械能增加，A球機械能減小
B．在向下擺動180^o的過程中，桿對A球做的功為

C．在擺動過程中B球的最大速度為 eqIdc9ff0966c3b3467393d2f4f279827819

D．兩球剛好可以在豎直平面內做完整的圓周運動
【答案】ABC
【詳解】
A．在向下擺動90^o的過程中，對于輕桿、A球和B球整個系統，角速度相同，機械能守恒，有

解得

A球機械能增加了

A正確；
B．在向下擺動180^o的過程中，對于輕桿、A球和B球整個系統，角速度相同，機械能守恒，有

解得

對A球，由動能定理得

解得

B正確；
C．在向下擺動90^o的過程中，B球機械能增加，其中其重力勢能減少，動能增加，但是繼續擺動時，其重力勢能開始增加，設繼續擺動

時，速度最大，對系統，從開始擺動有

當

時，速度最大，最大為
eqIdc9ff0966c3b3467393d2f4f279827819

C正確；
D．由系統機械能守恒得B球轉到最高點時，速度為零，之后由于在A球的重力下再順時針轉動，據此重復，所以無法在豎直平面內做完整的圓周運動。D錯誤。
故選ABC。
15．如圖所示，釘子A、B相距

，處于同一高度。細線的一端系有質量為M的小物塊、另一端終過A固定于B。質量m=5kg的小球固定在細線上C點，B、C間的線長為

。用力F堅直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時BC與水平方向的夾角為

。撤去F后，小球運動到與A、B相同高度時的速度恰好為零，然后向下運動。忽略一切摩擦，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．撤去F后，小球做變速直線運動
B．物塊的質量M=6kg
C．撤去F的瞬間，小球的加速度為g
D．小球向下運動到最低點時，物塊M所受的拉力大小為

mg
【答案】BD
【詳解】
A．撤去F后，小球將以B點為圓心，BC間距離為半徑做圓周運動，故A錯誤；
B．小球運動到與A、B相同高度過程中，小球上升高度為

物塊下降高度為

整個過程系統機械能守恒，則有

得

則物塊的質量
M=6kg
故B正確；
C．撤去F的瞬間，小球受力如圖所示
說明: figure

小球加速度大小為

故C錯誤；
D．根據機械能守恒定律可知，小球向下運動到最低點即為小球回到起始點，設此時AC方向拉力為T，由牛頓第二定律得，對物塊

對小球

根據牛頓第三定律可知

解得

故D正確。
故選BD。
16．如圖所示，跨過同一高度處的光滑定滑輪的細線連接著質量相同的物體A和B，A套在光滑水平桿上，B被托在緊挨滑輪處，細線與水平桿的夾角為30^°，定滑輪離水平桿的高度h，不計空氣阻力。當B由靜止釋放后，以下說法正確是（　　）
說明: figure

A．B物體到最低點前，A速度始終大于B的速度
B．B物體到最低點前，A速度始終小于B的速度
C．A物體最大速度大小為

D．A物體最大速度大小為

【答案】AC
【詳解】
AB．將A的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，沿繩子方向上的分速度等于B的速度大小，有
v_Acosθ=v_B
則B物體到最低點前，A速度始終大于B的速度，選項A正確，B錯誤；
CD．A、B組成的系統機械能守恒，當A到達滑輪最下端時，A的速率最大，此時B的速率為零．根據系統機械能守恒有

代入數據解得

選項C正確，D錯誤。
故選AC。
17．如圖所示，左側為一個固定在水平桌面上的半徑為R的半球形碗，碗口直徑AB水平，O點為球心，碗的內表面及碗口光滑．右側是一個足夠長的固定光滑斜面，一根不可伸長的輕質細繩跨過碗口及豎直固定的輕質光滑定滑輪，細繩兩端分別系有可視為質點的小球m₁和物塊m₂，且m₁>m₂．開始時m₁恰在A點，m₂在斜面上且距離斜面頂端足夠遠，此時連接m₁、m₂的細繩與斜面平行且恰好伸直，C點是圓心O的正下方。當m₁由靜止釋放開始運動，則下列說法中正確的是（　　）
說明: figure

A．在m₁從A點運動到C點的過程中，m₁與m₂組成的系統機械能守恒
B．當m₁運動到C點時，m₁的速率是m₂速率的

倍
C．m₁不可能沿碗面上升到B點
D．m₂沿斜面上滑過程中，地面對斜面的支持力始終保持恒定
【答案】ACD
【詳解】
A．在

從A點運動到C點的過程中，

與

組成的系統只有重力做功，系統的機械能守恒，故A正確；
B．設小球

到達最低點C時

，

，的速度大小分別為

、

，由運動的合成分解得

故B錯誤；
C．在

從A點運動到C點的過程中，對

、

組成的系統由機械能守恒定律得

結合

，解得

若

運動到C點時繩斷開，至少需要有

的速度

才能沿碗面上升到B點，現由于

上升的過程中繩子對它做負功，所以

不可能沿碗面上升到B點，故C正確；
D．

沿斜面上滑過程中，

對斜面的壓力是一定的，斜面的受力情況不變，由平衡條件可知地面對斜面的支持力始終保持恒定。故D正確。
故選ACD。
18．如圖所示，一個半徑為

的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，

點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的．左側是一個足夠長的固定光滑斜面，斜面傾角45°。一根不可伸長的輕質細線跨在碗口上，線的兩端分別系有可視為質點的小球

和物塊

，且m₁=2m₂。開始時m₁恰在

點，

在斜面上且距離斜面頂端足夠遠，此時連接

、

的細線與斜面平行且恰好伸直，

點是圓心

的正下方。當m₁由靜止釋放開始運動，則下列說法中正確的是（　　）
說明: figure

A．在

沿碗面下降過程中，

與

組成的系統機械能守恒
B．當

運動到

點時，物塊

的速率是

C．

能夠沿碗面上升到

點
D．

沿斜面上滑過程中，地面對斜面的支持力始終保持恒定
【答案】ABD
【詳解】
A．在

從A點運動到C點的過程中，

與

組成的系統只有重力做功，系統的機械能守恒，故A正確；
B．設小球

到達最低點C時，

、

的速度大小分別為

、

，由運動的合成分解得

則

對

、

組成的系統由機械能守恒定律得

解得

選項B正確；
C．若

運動到C點時繩斷開，至少需要有

的速度

才能沿碗面上升到B點，現由于

上升的過程中繩子對它做負功，所以

不可能沿碗面上升到B點。故C錯誤。
D．

沿斜面上滑過程中，

對斜面的壓力是一定的，斜面的受力情況不變，由平衡條件可知地面對斜面的支持力始終保持恒定。故D正確。
故選ABD。
19．如圖所示，小物塊套在固定豎直桿上，用輕繩連接后跨過小定滑輪與小球相連，開始時物塊與定滑輪等高。已知小球質量是物塊質量的2倍，桿與滑輪間的距離為d，重力加速度為g，繩及桿足夠長，不計一切摩擦。現將物塊由靜止釋放，在物塊向下運動的過程中，下列說法正確的的是（　　）
說明: figure

A．剛釋放時物塊的加速度為0
B．物塊重力的功率先增大后減小
C．物塊下降的最大距離為

D．物塊速度最大時，繩子的拉力一定小于物塊的重力
【答案】BC
【詳解】
A．剛開始釋放時，物塊水平方向受力平衡，豎直方向只受重力，根據牛頓第二定律可知其加速度為

，故A錯誤；
B．剛釋放時物塊的速度為零，小球重力的功率為零。物塊下降到最低點時小球的速度為零，小球重力的功率又為零，所以小球重力的功率先增大后減小，故B正確；
C．物塊下降的最大距離為

，物塊的質量為

。根據系統機械能守恒定律，有

解得

故C正確；
D．物塊的合力為零時速度最大，則繩子拉力的豎直向上的分力一定大于物塊的重力，所以繩子的拉力一定大于物塊的重力，故D錯誤。
故選BC。
20．兩根固定直桿組成

字形，如圖所示，兩桿夾角為30°，其中

桿豎直，

桿光滑。輕彈簧的一端固定在

點，另一端連接質量為

的小球套在

桿上，某時刻，小球從靜止開始自

點沿桿下滑，到達

點時彈簧恢復原長，越過

點后繼續下滑。已知

垂直于

，

垂直于

，

，彈簧原長為

，

取

。則以下說法正確的是（　　）
說明: figure

A．小球沿桿下滑過程中，在

點彈簧的彈性勢能最小
B．小球從

點運動到

點的過程中，機械能守恒
C．小球達到

點時，速度為

D．小球達到

點時，重力的瞬時功率為

【答案】AC
【詳解】
A．小球沿桿下滑過程中，到達M點時彈簧恢復原長，其他位置彈簧都有形變，所以在M點彈簧的彈性勢能最小，故A正確；
B．小球從F點運動到N點的過程中，彈簧對小球要做功，其機械能不守恒，故B錯誤；
C．在F點和N點彈簧的形變量相等，彈簧的彈性勢能相等。對于小球與彈簧組成的系統，由于只有重力和彈力做功，所以系統的機械能守恒，小球從F點運動到N點的過程中，根據系統的機械能守恒得

根據幾何關系可知

聯立解得
v_N=3m/s
故C正確；
D．小球達到N點時，重力的瞬時功率為

故D錯誤。
故選AC。
21．如圖所示，在豎直平面內，一內壁光滑、半徑為

的四分之一細圓管

與水平面

平滑連接于

點，

的右側平滑連接傾斜光滑軌道

，軌道

和光滑圓軌道

在

點相切，

豎直，

點是圓的最高點。一質量為

的小球壓縮輕彈簧到

點鎖定，解除鎖定后小球進入圓管（小球的直徑略小于細圓管的直徑），在

點與細圓管上管壁有

的相互作用力。已知

的長度為

，

軌道的長度為

、圓軌道

的半徑為

，小球與

軌道的動摩擦因數為0.5，傾斜光滑軌道

的斜面傾角為

，重力加速度為

，

、

。
（1）求小球壓縮到

點時彈簧的彈性勢能；
（2）改變小球的質量，將小球壓縮到

點鎖定，解除鎖定后小球從

點水平飛出，恰好擊中

點。求小球運動到

點的速度大小和改變后滑塊的質量。
說明: figure

【答案】（1）

；（2）

；

【詳解】
(1)對小球在

點受力分析，由牛頓第二定律得

小球從

點到

點，由機械能守恒定律得

解得小球壓縮到

點時彈簧的彈性勢能

(2)設小球改變后的質量為

，

點與

點的豎直距離為

，由幾何關系得

小球從

到

做平拋運動，設小球經過

點的速度為

、經過的時間為

，由平拋運動的公式有

，

聯立方程解得

對小球從

到

點，由能量守恒定律得

聯立方程解得

22．將傳感器安裝在蹦極運動員身上，可以測量出運動員在不同時刻下落的高度及速度，如圖甲所示。運動員及所攜帶裝備的總質量為

，彈性繩原長為

。運動員從蹦極臺自由下落，根據傳感器測到的數據，得到如圖乙所示的速度—位移圖像。（

取

）
(1)運動員下落過程中受到的空氣阻力是否能忽略不計？寫出你的理由。
(2)運動員下落過程中最大動能是多少？指出該位置運動員受力的特點。
(3)簡述運動員下落過程中的運動情況。
(4)運動員下落過程中動能最大時和落到最低點時，繩的彈性勢能分別是多少？
說明: figure

【答案】(1)可以忽，理由見解析；(2)

，合力為零；(3)見解析；(4)

，

【詳解】
(1)空氣阻力可以忽略。
假設運動不受空氣阻力，則下落

的過程為自由落體運動，根據自由落體運動公式得

與圖乙中得到的數據相同，假設成立。
(2)下落

時運動員動能最大，為

該位置運動員受到的合力為零。
(3)運動員下落過程中，

做自由落體運動，

做加速度減少的加速運動；

做加速度增加的減速運動。
(4)根據機械能守恒定律，速度最大時

根據機械能守恒定律，在最低點有

23．滑板運動是一項驚險刺激的運動，深受青少年的喜愛。圖中ABCD為滑板的運動軌道，AB和CD是兩段光滑的圓弧，水平段BC的長度L=5m。一運動員從P點以v₀=6m/s的初速度下滑，經BC后沖上CD軌道，達到Q點時速度減為零。已知運動員連同滑板的質量m=70kg，h=2m，H=3m，g取10m/s²。求：
（1）運動員第一次經過B點和C點的速度v_B、v_C；
（2）滑板與BC之間的動摩擦因數μ；
（3）運動員最后靜止的位置與B點之間的距離x。
說明: figure

【答案】（1）8.72m/s ，7.75m/s；（2）0.16；（3）3.75m
【詳解】
（1）選經過BC的水平面為零勢能面，P到B的過程中，機械能守恒

解出

C到Q的過程中，機械能守恒

解出

（2）B到C的過程中，由運動學公式

得到

運動員連同滑板，受到三個力的作用，如圖
說明: figure

牛頓第二定律

解出

（3）兩側圓弧形軌道光滑，所以運動員最終停在水平軌道上。運動員在BC軌道上的往返過程中，總是在做減速運動，加速度大小恒為1.6m/s²，設BC軌道上往返的總路程為s，由運動學公式

得到

推理，因

故運動員最終停下的位置離B點

24．如圖所示，一輕繩繞過無摩擦的兩個輕質小定滑輪O₁、O₂和質量m_B=m的小球B連接，另一端與套在光滑直桿上質量m_A=m的小物塊A連接，已知直桿兩端固定，與兩定滑輪在同一豎直平面內，開始使小物塊靜止在直桿的C點，此時輕繩與水平面的夾角θ=30°，直桿與定滑輪O₁、O₂的豎直距離為L，重力加速度為g，設直桿足夠長，小球B運動過程中不會與直桿相碰。現將小物塊從C點由靜止釋放，試求：
(1)小物塊從C點剛運動到的D點時，輕繩與桿的夾角α=53⁰，求該過程B下落的高度h及小物塊A在D點時其速度v_A的大小；
(2)運動過程中小物塊A的最大速度v_m？（已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6）
說明: figure

【答案】(1)

L；

；(2)

【詳解】
(1) 小物塊從C點剛運動到的D點時，小物塊A與小球B的速度關系為

小球B下降的高度為

小物塊A與小球B組成的系統機械能守恒，則有

聯立方程，解得

(2)當小物塊A運動到O₁正下方時，A的速度達到最大，此時小球的速度剛好為零，此時小球B下降的高度為

根據機械能守恒定律，可得

解得

25．如圖所示，水平地面上左側有一質量為m_C=2kg的四分之一光滑圓弧斜槽C，斜槽末端切線水平，右側有一質量為m_B=3kg的帶擋板P的木板B，木板上表面水平且光滑，木板與地面的動摩擦因數為μ=0.25，斜槽末端和木板左端平滑過渡但不粘連。某時刻一質量為m_A=lkg的可視為質點的光滑小球A從斜槽項端靜止滾下，重力加速度為g=10m/s²，求：
(1)若光滑圓弧斜槽C不固定，圓弧半徑為R=3m，且不計斜槽C與地面的摩擦，求小球滾動到斜槽末端時斜槽的動能；
(2)若斜槽C固定在地面上，小球從斜槽末端滾上木板左端時的速度為v₀=lm/s，小球滾上木板上的同時，外界給木板施加大小為v₀=lm/s的水平向右初速度，并且同時分別在小球上和木板上施加水平向右的恒力F₁與F₂，且F₁=F₂=5N。當小球運動到木板右端時(與擋板碰前的瞬間) ，木板的速度剛好減為零，之后小球與木板的擋板發生第1次相碰，以后會發生多次磁撞。已知小球與擋板的碰撞都是彈性碰撞且碰撞時間極短，小球始終在木板上運動。求：
①小球與擋板第1次碰撞后的瞬間，木板的速度大小；
②小球與擋板第1次碰撞后至第2020次碰撞后瞬間的過程中F₁與F₂做功之和。
說明: figure

【答案】(1)

；(2) ①

，②

【詳解】
(1)設小球滾動到斜槽末端時，

與

的速度大小分別為

、

，

與

水平方向動量守恒，則

與

系統機械能守恒，則

解得斜槽動能

(2) ①小球滾到木板上后，小球與木板的加速度大小分別為

與

，則有

木板開始運動到速度第一次減為零時用時為

，則有

小球第一次與擋板碰前瞬間速度為

另設第一次碰完后小球與木板的速度分別為

、

，

與

動量守恒，則

與

系統動能不變，則

聯立解得

②由題可知，第一次碰撞后，小球以

沿木板向左勻減速運動再反向勻加速，木板以

向右勻減速運動，木板速度再次減為零的時間

小球的速度

此時，小球的位移

木板的位移

即小球、木板第二次相碰前瞬間的速度與第一次相碰前瞬間的速度相同，以后小球、木板重復前面的運動過程；則第一次碰撞與第2020次碰撞后瞬間，小球與木板總位移相同，都為

則此過程

與

做功之和

聯立解得

26．如圖所示，質量M＝1kg的長木板靜止在水平地面上，右端固定一輕質微型彈簧，用質量為m＝0.5 kg的物塊壓縮彈簧并固定，此時彈簧的彈性勢能為6 J，木板右端距離豎直墻L＝34 cm。某時刻釋放彈簧，使得物塊和木板瞬間獲得一定的速度，之后木板與豎直墻發生彈性碰撞，碰撞時間極短。已知木板和地面間的動摩擦因數μ₁＝0.1，物塊和木板間的動摩擦因數μ₂＝0.3，重力加速度g取10m/s²，運動過程中物塊始終在木板上。求：
(1)釋放彈簧后的瞬間物塊和木板的速度大小；
(2)把物塊看作質點，不考慮彈簧的長度，則木板的最小長度約為多少；（結果保留2位小數）
(3)木板停止運動時，其右端距離豎直墻多遠。（結果保留2位小數）
說明: figure

【答案】(1)

；(2)1.75m；(3)1.91m
【詳解】
(1)設彈簧釋放的瞬間木板和物塊的速度分別為

，

，由于系統在水平方向上所受合力為零，由動量守恒和能量守恒定律知

由以上兩式解得

(2)釋放彈簧后，設木板運動到豎直墻時的速度大小為v，運動的時間為

，則

解得

設在

時間內物塊的加速度大小為a，位移為大小x，

時刻速度大小為

，由

得

時刻物塊的速度大于木板的速度，所以物塊繼續以加速度a減速，設

時刻之后木板的加速度為

，有

得

故

后木板做勻速運動，設經過

物塊的速度等于木板的速度，則

解得

設在

時間內木板和物塊的位移分別為

和

，于是

所以木板的最小長度為

(3)物塊和木板達到共同速度后一起減速，設加速度為

，位移為

解得

木板停止運動時，其右端距離豎直墻

27．如圖所示，長為L＝0.64 m的細線一端固定在O點，另一端系一可視為質點的質量m＝1 kg的小球。拿起小球將細線拉直從細線與水平方向成θ＝30°的位置無初速度釋放，小球運動到O點正下方P點時細線恰好被斷開，小球做平拋運動，然后恰好從M點沿切線進入固定在水平面上的光滑圓弧軌道MNE。已知P點相對圓弧軌道最低點N的高度H＝1 m，M、N兩點間的高度差為h＝0.55 m。重力加速度g取10 m/s²，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不計空氣阻力。求：
(1)細線能承受的最大彈力；
(2)圓弧軌道MN的半徑。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)

【詳解】
(1)小球釋放后，細線松弛，小球做自由落體運動，由機械能守恒定律

小球下落L后細線拉直，開始做圓周運動，沿切線方向的速度大小為

小球做圓周運動到P點過程中，機械能守恒，有

聯立解得

在P點，細線拉斷，恰好達到最大承受力，設此力大小為F，則

解得

(2)小球由P到M點做平拋運動有

設到達M點時豎直分速度為

，則

設到達M點時速度方向與水平面的夾角為

，則

解得

顯然圓弧軌道對應的圓心角也為37°角

解得

28．目前，滑板運動受到青少年的追捧。如圖是某滑板運動員在一次表演時的一部分賽道在豎直平面內的示意圖，賽道G的左側光滑，FG為圓弧賽道，半徑R=9.0m，G為最低點并與水平賽道CD位于同一水平面，AB、EF平臺的高度都為h=1.8m。C、D、G處平滑連接。滑板a和b的質量均為m=5 kg，運動員質量為M=45kg。表演開始，運動員站在滑板b上，先讓滑板a從B點靜止下滑，隨后運動員與b板一起從B點靜止下滑。滑上CD賽道后，運動員從b板跳到同方向運動的a板上，與a板一起以6.9 m/s的速度從D點沿DE賽道上滑后沖出賽道，落在FG賽道的P點，沿賽道滑行，經過G點時，運動員受到的支持力F_N=661.25N。（滑板和運動員的所有運動都在同一豎直平面內，計算時滑板和運動員都看作質點，取g=10m/s²）
(1)滑到G點時，運動員的速度是多大？
(2)若滑板與賽道G的右側間的動摩擦因數為

（式中L為離G端的距離），則滑板最終停在離G點多遠處？
(3)從表演開始到運動員滑至G的過程中，系統的機械能改變了多少？
說明: figure

【答案】(1)

；(2)

；(3)

（系統機械能增加）
【詳解】
(1)在G點，運動員和滑板一起做圓周運動

解得

(2)滑板與賽道間的摩擦力是線性變化的

由動能定理得

解得

(3)設滑板由B點靜止下滑到CD賽道后速度為

，由機械能守恒定律有

解得

運動員與滑板一起由B點靜止下滑到CD賽道后，速度也為

，運動員由滑板b跳到滑板a，設蹬離滑板b時的水平速度為

，運動員落到滑板a后，與滑板a共同運動的速度為

由動量守恒定律

解得

設運動員離開滑板b后，滑板b的速度為

，有

可算出

有

b板將在兩個平臺之間來回運動，機械能不變．
系統的機械能變化了

（系統機械能增加）
29．如圖所示，豎直面內固定一傾角為α=30°的足夠長光滑斜面，其上端滑輪的頂端與一個固定的半徑R=1m的光滑圓弧軌道最高點M在同－水平線上，圓弧軌道的圓心角θ=60°，圓心O與圓弧最低點C的連線豎直。可視為質點的A、B兩球質量分別為m_A=1kg，m_B=3kg，用足夠長的跨過滑輪及M點的不可伸長的細繩相連，A球的另一側與一固定在斜面底端擋板處的彈簧相連，彈簧的勁度系數k=10N/m。起初用手托住B球在M點，細繩恰好伸直但無拉力，不計一切摩擦及滑輪質量，斜面上的細繩、彈簧與斜面平行，之后無初速度釋放B球且細繩始終繃緊，g=10m/s²，求：
(1)初始狀態彈簧的形變量；
(2)B球到達圓弧軌道最低點時，彈簧的形變量及A、B兩球速度的比值；
(3)B球到達圓弧軌道最低點時，A球的速度大小。
說明: figure

【答案】(1)0.5m；(2)伸長0.5m，

；(3)2m/s
【詳解】
(1)對A的初始狀態進行受力分析可得

解得初始狀態彈簧的壓縮量
x₁=0.5m
(2)由幾何關系可得B球到達圓弧軌道最低點時，A球沿斜面上升的距離
x=R=1m
此時彈簧的伸長量為
x₂=x-x₁=0.5m
由于A、B兩球是用不可伸長的細繩相連，所以B到達圓弧軌道最低點時，A、B兩球的速度滿足

解得

(3)由于
x₁=x₂
所以初末狀態彈簧的彈性勢能相等
△E_彈=0
由彈簧及A、B兩球組成的系統機械能守恒定律可得

解得
v_A=2m/s
30．如圖所示，傾角為θ=53°的光滑斜面底端固定一勁度系數為100N/m的輕彈簧，彈簧上端連接質量為5kg的物塊Q，Q與平行斜面的輕繩相連，輕繩跨過輕質光滑定滑輪O與套在光滑豎直桿上的質量為0.8kg的物塊P連接，圖中O、B兩點等高，間距d=0.3m。初始時在外力作用下，P在A點靜止不動，A、B間距離h=0.4m，此時輕繩中張力大小為50N。現將P由靜止釋放，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
(1)P上升至B點時的速度大小；
(2)P上升至B點的過程中，Q克服輕繩拉力做的功。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)8J
【詳解】
(1)在外力作用下，P在A點靜止不動時，假設彈簧伸長量為x₁，
對于物塊Q有
T=m_Qgsinθ十kx₁
代人數據解得
x₁=0.1m
P上升至B點時，P與Q的速度關系為
v_Q=v_pcos90°=0
物塊Q下降距離為
Δx=OA-OB=0.5m-0.3m=0.2m
即彈簧壓縮
x₂=0.2m-0.1m=0.1m
彈簀的形變量不變，因此彈性勢能不變，對物塊P、Q及彈簧，根據能量守恒有

解得

(2)P上升至B點的過程中，由于彈簧對Q所做的功為0，對Q由動能定理得
m_Qgx₂sin53°-W=0
可得
W=m_Qgx₂sin53°=8J

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重難點09機械能守恒的三種表達方式

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