重難點10能量守恒定律

1．如圖所示，滑塊A和足夠長的木板B疊放在水平地面上，A和B之間的動摩擦因數是B和地面之間的動摩擦因數的4倍，A和B的質量均為m。現對A施加一水平向右逐漸增大的力F，當F增大到F₀時A開始運動，之后力F按圖乙所示的規律繼續增大，圖乙中的x為A運動的位移，已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。對兩物塊的運動過程，以下說法正確的是（　　）
說明: figure

A．當F＞2F₀，木塊A和木板B開始相對滑動
B．當F＞F₀，木塊A和木板B開始相對滑動
C．自x=0至木板x=x₀木板B對A做功大小為

D．x=x₀時，木板B的速度大小為

【答案】D
【詳解】
AB．設A、B之間的最大摩擦力為

，B與地面之間的最大摩擦力為

，由于最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則

可知，當F增大到F₀，A開始運動時，B也和A一起滑動。則

當A、B發生相對滑動時，A、B之間的摩擦力達到最大靜摩擦力，整體隔離法得

聯立解得

故AB錯誤；
CD．木板自x=0至x=x₀過程中，A、B沒有發生相對滑動，整體動能定理得

對A用動能定理，得

聯立解得

，

故C錯誤，D正確。
故選D。
2．如圖所示，有三個斜面a、b、c，底邊的長分別為L、L、3L，高度分別為3h、h、h。某物體與三個斜面間的動摩擦因數都相同，這個物體分別沿三個斜面從頂端由靜止下滑到底端。三種情況相比較，下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．物體損失的機械能

B．因摩擦產生的熱量3Q_a=3Q_b=Q_c
C．物體到達底端的動能E_ka=3E_kb=3E_kc
D．因摩擦產生的熱量4Q_a=2Q_b=Qc
【答案】B
【詳解】
ABD．物體下滑，除重力外有摩擦力做功，根據能量守恒，損失的機械能轉化成摩擦產生的內能。由圖可知

和

底邊相等且等于

的

，故摩擦生熱的熱量關系為

即

所以損失的機械能

即

故AD錯誤，B正確；
C．設物體滑到底端時的速度為

，根據動能定理得

則

根據圖中斜面高度和底邊長度可知滑到底邊時動能大小關系為

故C錯誤。
故選B。
3．質量為

的人，站立在電梯中的臺秤表面，電梯向上運動的速度—時間圖像如圖所示，則下列分析正確的是（　　）
說明: figure

A．

人的機械能守恒
B．

人的機械能在減少
C．

和

臺秤面對人的支持力做功相等
D．

人的機械能增加量小于

人的機械能增加量
【答案】D
【詳解】
AB．該模型支持力做功等于機械能增加，

支持力始終做正功，機械能增加，故AB錯誤；
C．根據牛頓第二定律，

內

解得

內

解得

和

支持力不等，位移相等，所以做功不同，故C錯誤；
D．

內有

故D正確。
故選D。
4．如圖所示，光滑軌道ABCD是過山車軌道的模型，最低點B處的入、出口靠近但相互錯開，C是半徑為R的圓形軌道的最高點，BD部分水平，末端D點與足夠長的水平傳送帶無縫連接，傳送帶以恒定速度v逆時針轉動。現將一質量為m的小滑塊從軌道AB上豎直高度為3R的位置A由靜止釋放，滑塊能通過C點后再經D點滑上傳送帶，已知滑塊滑上傳送帶后，又從D點滑入光滑軌道ABCD且能到達原位置A，則在該過程中（　　）
說明: figure

A．在C點滑塊對軌道的壓力為零
B．傳送帶的速度可能為

C．摩擦力對物塊的沖量為零
D．傳送帶速度v越大，滑塊在傳送帶因摩擦產生的熱量越多
【答案】D
【詳解】
A．從A到C由機械能守恒得

解得

在C由牛頓第二定律有

解得

故A錯誤；
B．從A到B由機械能守恒得

解得

小滑塊滑傳送帶后做勻減速直線運動到0，如果傳送帶速度為

，則小滑塊返回B點時速度小于

，所以小滑塊不能返回A點，故B錯誤；
C．小滑塊在傳送帶上運動時，當小滑塊滑上傳送帶的速度大于傳送帶的速度時，小滑塊返回D端時的速度和滑上的速度大小不相等，由動量定理可知，摩擦力的沖量不為0，故C錯誤；
D．滑塊與傳送帶摩擦產生的熱量

傳送帶速度越大，相對路程越大，產生熱量越多，故D正確。
故選D。
5．如圖所示，質量為M的木塊靜止在光滑的水平面上，質量為m的子彈以速度

沿水平方向射中木塊并最終留在木塊中與木塊一起以速度v運動。已知當子彈相對木塊靜止時，木塊前進距離L，子彈進入木塊的深度為

，木塊對了彈的阻力為F（F視為恒力），則下列判斷正確的是（　　）
說明: figure

A．子彈和木塊組成的系統機械能守恒
B．子彈對木塊所做的功為

C．系統產生的熱量為

D．子彈對木塊做的功為

【答案】D
【詳解】
A．有阻力做功，有內能產生，子彈和木塊組成的系統機械能減少，故A錯誤；
B．子彈對木塊所做的功為：

，故B錯誤；
C．了彈和木塊組成的系統產生的熱量為：

（相對位移），故C錯誤；
D．以木塊為研究對象，根據動能定理可能

故D正確。
故選D。
6．一物體在光滑斜面上受到一平行于斜面、方向不變的力作用，由靜止開始沿斜面運動。運動過程中小物塊的機械能E與路程x的關系圖像如圖所示，其中

過程的圖線為曲線，

過程的圖線為直線。忽略空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．

過程中小物塊所受拉力始終大于重力沿斜面的分力
B．

過程中小物塊一定做勻加速直線運動
C．

過程中小物塊的重力勢能一直增大
D．

過程中小物塊一定做勻速直線運動
【答案】B
【詳解】
A．由圖象可知，在

處小物塊機械能增加到最大值，說明此時小物塊的速度為零，則

過程中小物塊是先沿斜面向上做加速再做減速，因此在此過程中小物塊所受拉力先大于重力沿斜面的分力，后小于重力沿斜面的分力，故A錯誤；
BD．由于機械能的增加量等于拉力所做的功，則可知圖象的斜率大小表示拉力的大小，因此

過程中拉力的大小不變，機械能減小，由于在

處小物塊速度為零，所以

過程中小物塊一定沿斜面向下做勻加速直線運動，故B正確，D錯誤；
C．

過程中小物塊是沿斜面向上運動，重力勢能增大，

過程中小物塊沿斜面向下運動，重力勢能減小，故C錯誤。
故選B。
7．如圖所示，質量為2kg物體放在無人機中，無人機從地面起飛沿豎直方向上升，經過200s到達100m高處后懸停（

）。則無人機上升過程中（　　）
說明: figure

A．物體對無人機的壓力一直大于20N
B．物體對無人機的壓力一直等于20N
C．無人機做的功等于物體和無人機增加的機械能
D．無人機做的功大于物體和無人機增加的機械能
【答案】D
【詳解】
AB．無人機加速上升過程中，加速時物體處于超重狀態，物體對無人機的壓力一直大于20N；減速時物體處于超重狀態，物體對無人機的壓力一直小于20N，故AB錯誤；
CD．根據能量守恒可知，無人機做的功等于物體和無人機的機械能的增加量和克服空氣阻力產生的內能之和，即無人機做的功大于物體和無人機增加的機械能，故C錯誤，D正確。
故選D。

8．如圖所示，足夠長的水平傳送帶以速度v沿逆時針方向傳動，傳送帶的左端與光滑圓弧軌道底部平滑連接，圓弧軌道上的A點與圓心等高，一小物塊從A點由靜止滑下，再滑上傳送帶，經過一段時間又返回圓弧軌道，返回圓弧軌道時小物塊恰好能到達A點，則下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．圓弧軌道的半徑一定是

B．若減小傳送帶速度，則小物塊可能到達不了A點
C．若增大傳送帶速度，則小物塊有可能經過圓弧軌道的最高點
D．不論傳送帶速度增大到多大，小物塊都不可能到達圓弧軌道的最高點
【答案】BD
【詳解】
A．小物塊在圓弧軌道上下滑的過程中機械能守恒，設圓弧軌道的半徑為R，根據機械能守恒定律得

所以小物塊滑上傳送帶的初速度

。小物塊滑上傳送帶后，由于摩擦力的作用開始減速，速度減小為零之后，又在傳送帶的摩擦力作用下反向加速，根據小物塊的受力情況可知，在減速和加速的過程中小物塊的加速度的大小是相等的，若小物塊恰好回到A點，小物塊返回圓弧軌道底端時的速度大小等于從圓弧軌道下滑到傳送帶時的初速度大小，只要傳送帶的速度

，小物塊就能返回到A點，則

，故A錯誤；
B．若減小傳送帶速度，仍有

，小物塊就能返回到A點；若

，則小物塊返回到圓弧軌道底端時的速度小于

，則小物塊到達不了A點，故B正確；
CD．若增大傳送帶的速度，由于小物塊返回到圓弧軌道底端的速度不變，故小物塊只能滑到A點，不能滑到圓弧軌道的最高點，故C錯誤，D正確。
故選BD。
9．某汽車研發機構在汽車的車輪上安裝了小型發電機，將減速時的部分動能轉化并儲存在蓄電池中，以達到節能的目的。某次測試中，汽車以額定功率行駛一段距離后關閉發動機，測出了汽車動能E_k與位移x的關系圖像如圖所示，其中①是關閉儲能裝置時的關系圖線，②是開啟儲能裝置時的關系圖線。已知汽車的質量為1000 kg，設汽車運動過程中所受地面阻力恒定，空氣阻力不計。根據圖像所給的信息可求出（　　）
說明: figure

A．汽車行駛過程中所受地面的阻力為1000N
B．汽車的額定功率為80kW
C．汽車加速運動的時間為22.5s
D．汽車開啟儲能裝置后向蓄電池提供的電能為5×10⁵J
【答案】BD
【詳解】
A．由題意知，關閉儲能裝置后汽車在地面阻力作用下做勻減速直線運動，對于圖線①，根據動能定理得

得到

故A錯誤；
B．設汽車勻速運動的速度為v，則有

得

汽車的額定功率為

故B正確；
C．汽車保持額定功率不變做加速運動過程中，根據動能定理得

代入數據解得

故C錯誤；
D．根據功能關系得到：汽車開啟儲能裝置后向蓄電池提供的電能為

故D正確。
故選BD。
10．一物塊從斜面頂端由靜止開始沿斜面下滑，在物塊從頂端滑到底端的過程中，其重力勢能和動能隨下滑距離x的變化如圖中直線I、II所示。根據圖中信息可以求出（　　）
說明: figure

A．物塊與斜面間的動摩擦因數
B．物塊受到滑動摩擦力的大小
C．物塊下滑時加速度的大小
D．物塊下滑5.0m過程中機械能的損失
【答案】BD
【詳解】
AB．設物體與斜面的摩擦因素為

，由圖像可得

帶入數據可得

由于物體質量未知，故無法求出摩擦因素，故A錯誤，B正確；
C．下滑時的加速度為

由于斜面傾角和摩擦因素未知，故無法求出加速度，故C錯誤；
D．物體下滑10m時損失的機械能為55J，故下滑5m時損失的機械能為27.5J，故D正確；
故選BD。
11．地下礦井中的礦石裝在礦車中，用電機通過豎井運送至地面。某豎井中礦車提升的速度大小v隨時間t的變化關系如圖所示，其中圖線①②分別描述兩次不同的提升過程，它們變速階段加速度的大小都相同；兩次提升的高度相同，提升的質量相等。不考慮摩擦阻力和空氣阻力。對于第①次和第②次提升過程（　　）
說明: figure

A．兩次提升過程中電機的最大牽引力相等
B．電機輸出的最大功率相等
C．礦車上升所用的時間之比為

D．電機所做的功之比為

【答案】AC
【詳解】
A．由于兩次提升變速階段的加速度大小相同，在勻加速階段，由牛頓第二定律

可得提升的最大牽引力之比為

，故A正確；
B．最大拉力相等，由功率公式

電機輸出的最大功率之比等于最大速度之比為

，故B錯誤；
C．由圖可得，變速階段的加速度

設第②次所用時間為t，根據速度—時間圖象的面積等于位移（此題中為提升的高度）可知
eqId392a3616e87345f39cc8553c85a18c18

解得

所以第①次和第②次提升過程所用時間之比為

故C正確；
D．電機所做的功等于增加的重力勢能，兩次增加的重力勢能相同，因此電機做功之比為

故D錯誤。
故選AC。
12．如圖所示，光滑水平面與逆時針運動的粗糙傾斜傳送帶平滑連接，水平面上有一質量為m的滑塊，以初速v₀向右沖上傳送帶，傳送帶的速度大小為v。在滑塊沖上傳送帶到離開傳送帶的過程，下列說法中正確的是（　　）
說明: figure

A．傳送帶對滑塊做功可能為零
B．傳送帶對滑塊沖量可能為零
C．傳送帶對滑塊沖量可能水平向左
D．v₀和v越大，滑塊與傳送帶摩擦生熱都越多
【答案】ACD
【詳解】
A．若滑塊從傳送帶下方離開，滑塊在向上運動過程中，摩擦力向下，摩擦力做負功，向下加速下滑過程中摩擦力向下，做正功，若滑塊在下滑過程中一直做勻加速直線運動，則上滑過程和下滑過程摩擦力大小相同，位移大小相同方向相反，因此整個過程摩擦力做的功可能為零，A正確；
B．滑塊向上滑動和向下過程中，傳送帶對滑塊的作用力為摩擦力與支持力的合力，兩個力的大小和方向均為發生變化且不為零，故傳送帶對滑塊沖量不為零，B錯誤；
C．滑塊向上滑動和向下過程中，傳送帶對滑塊的作用力為摩擦力與支持力的合力，兩個力的大小和方向均為發生變化且不為零，由三角形定則可得：當摩擦力與支持力的合力水平向左時，二者合力與重力的合力仍可以平行于斜面向下，故傳送帶對滑塊沖量可能水平向左，C正確；
D．由于物塊運動的方向與傳送帶運動的方向相反，v₀和v越大，二者相對位移越大，由

可得：v₀和v越大，滑塊與傳送帶摩擦生熱都越多，D正確；
故選ACD。
13．子彈水平射向固定在光滑的水平面上的木塊，子彈的動能為10J時恰好能射穿。若木塊可以在光滑的水平面上自由滑動，當子彈初動能為24J時，子彈水平射向靜止的木塊，子彈受到的阻力大小相同，在此情況下（　　）
A．系統產生的內能可能為12J B．系統產生的內能可能為10J
C．木塊獲得的動能可能為6J D．木塊獲得的動能可能為4J
【答案】BD
【詳解】
AB．木塊固定在水平面上，子彈的動能為10J時恰好能射穿。

木塊可以在光滑的水平面上自由滑動，子彈可能射穿木塊，可能留在木塊中，當子彈射穿木塊時，系統產生的內能最大，此時

故A不可能，B可能；
CD．若子彈最終留在木塊中，木塊、子彈共速，木塊獲得的動能最大，由動量定理可得

木塊的動能為

當

且木塊和子彈共速時，木塊子彈動能

，但是由于系統產生的內能最大為10J，則系統能量

不符合能量守恒定律，故C不可能，D可能。
故選BD。
14．傳送帶已經成為物體搬運系統機械化和自動化不可缺少的組成部分。某生產車間采用了自動化傳送帶來實現工件的傳輸，如圖所示。已知繃緊的傳送帶與水平面的夾角θ=30°，傳送帶在電動機的帶動下，始終保持v₀=2m/s的速率運行，某分揀機械手把一質量為m=10 kg的工件（可看作質點）輕輕放在傳送帶的底端，經過時間1.9s，工件被傳送到h=1.5m的高處，取g=10m/s²，求：
(1)工件與傳送帶間的動摩擦因數；
(2)電動機由于傳送工件多消耗的電能。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)230J
【詳解】
(1)根據幾何關系可得皮帶總長為

工件速度達v₀前，做勻加速運動的位移為

勻速運動的位移為

解得，加速時間和加速位移分別為

，

所以加速度為

由牛頓第二定律，有

解得，工件與傳送帶間的動摩擦因數為

(2)從能量守恒的觀點，顯然電動機多消耗的電能用于增加工件的動能、勢能以及克服傳送帶與工件之間發生相對位移時摩擦力做功發出的熱量。
在時間t₁內，傳送帶運動的位移為

在時間t₁內，工件相對傳送帶的位移

在時間t₁內，摩擦力做功產生的熱量為

工件獲得的動能為

工件增加的勢能為

則電動機多消耗的電能為

15．如圖所示，電動機帶動下，皮帶的傳輸速度不變，AB為皮帶上方的水平段。小物塊由靜止輕放在皮帶左端A處，經過一段時間，物塊的速度等于皮帶的速度，已知傳動輪的半徑為R，物塊與皮帶之間的動摩擦因數為μ。
(1)為使物塊運動到皮帶右端B處時能脫離皮帶，皮帶的傳輸速度v和AB段的長度l應分別滿足什么條件？
(2)若AB段的長度足夠長，已知皮帶的傳輸速度為v，現每隔一段相等的時間就在A處釋放一個質量為m的物塊，經過一段時間后，皮帶右側相鄰物塊之間的距離增大到最大值d之后保持不變，直到脫離皮帶。求皮帶每傳輸一個物塊電動機對皮帶做的功，并求電動機對皮帶做功的平均功率。
說明: figure

【答案】(1)

，

；(2) mv²，

【詳解】
(1)物體在B點，重力提供向心力，由牛頓第二定律得
mg=m

解得
v=

物體從靜止加速到v過程，由速度位移公式得：
l=

物體需要滿足的條件為

，

(2)物體獲得的動能為
E_k=

mv²
物體在加速階段

，

傳送帶位移為

產生的內能為
Q=μmg（x₂﹣x₁）
解得
Q=

mv²
則皮帶每傳輸一個物塊電動機對皮帶做的功為
W=Q+E_k=

mv²+

mv²=mv²
釋放物體的時間間隔為

電動機對皮帶做功的平均功率為
eqIdc99753b2562740fc84a55df659bba1c1

16．如圖，粗糙斜面與光滑水平面通過光滑小圓弧平滑連接，斜面傾角

=37^°。小滑塊（可看作質點）A的質量為m_A=1kg，小滑塊B的質量為m_B=3kg，其左端連接一水平輕質彈簧。若滑塊A在斜面上受到大小為4N，方向垂直斜面向下的恒力F作用時，恰能沿斜面勻速下滑。現撤去F，讓滑塊A從距斜面底端L=4m處，由靜止開始下滑。取

，sin37^°=0.6，cos37^°=0.8，求：
(1)滑塊A與斜面間的動摩擦因數；
(2)撤去F后，滑塊A到達斜面底端時的速度大小；
(3)滑塊A與彈簧接觸后的運動過程中彈簧最大彈性勢能。
說明: figure

【答案】(1)0.5；(2)4m/s；(3)6J
【詳解】
(1)滑塊A沿著斜面勻速下滑時受力如圖所示
說明: figure

由平衡條件得

又因為

聯立解得

代入已知數據解得：

(2)滑塊A沿斜面加速下滑時受力如圖所示
說明: figure

設滑塊A滑到斜面底端時速度為

，根據動能定理得

代入數據解得

(3)由分析可知，當A、B速度相同時，彈簧有最大彈性勢能。以A、B及彈簧為研究對象，設它們共同的速度為

，據動量守恒定律有

根據能量守恒有

代入數據解得：

17．如圖所示，一半徑為R的粗糙圓弧軌道固定在豎直面內，A、B兩點在同一條豎直線上，OA與豎直方向的夾角為

。一質量為m的小球以初速度v₀水平拋出，小球從A點沿切線方向進入圓弧軌道，且恰好能運動到B點。小球可視為質點，空氣阻力不計，重力加速度為g。求：
(1)小球在A點的速度v；
(2)小球拋出點距A點的高度h；
(3)小球從A點運動到B點的過程中，因與軌道摩擦產生的熱量Q。
說明: figure

【答案】(1)2v₀；(2)

；(3)

【詳解】
(1)在A點有

則

(2)設小球到達A點時的豎直速度為

，則

由運動學公式得

，聯立解得

(3)設小球到達A點時的速度為

，則

小球在B點，由牛頓第二定律得

小球從A點運動到B點的過程中，由能量守恒定律得

聯立解得

18．如圖所示，傾角

的光滑斜面底端固定一垂直于斜面的擋板，一質量M=3kg的木板A放置在斜面上，下端離擋板的距離d=10m，A的上端放置有一質量為m=1kg的小物塊B。現由靜止同時釋放A和B，A與擋板發生多次彈性碰撞，且每次碰撞時間均極短，在運動過程中，B始終沒有從A上滑落，且B未與擋板發生碰撞。A、B間的動摩擦因數μ=

，g為重力加速度。求：
(1)A與擋板第一次碰撞前瞬間的速度

；
(2)A與擋板從第一次碰撞后至第二次碰撞時所經歷的時間t；
(3)從開始釋放到最后的整個過程摩擦產生的熱量Q。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)

；(3)

【詳解】
(1)由

解得

(2)第一次碰撞后，A、B相對滑動，加速度大小分別為

和

，根據牛頓第二定律可得，對A有

解得

對B有

得

第一次碰撞后，經時間

，A、B達到相同的速度為

，A運動的位移為

，則A、B由運動學公式得，對A有

對B有

且

從A、B共速到第2次碰撞前，此過程所用時間為

，有

解得

，

A與擋板從第一次碰撞后到第二次碰撞時經歷時間

(3)從A、B從開始運動到最終靜止過程中，A相對B運動的位移為L，此過程中產生熱量為Q，由能量守恒得

解得

則

19．如圖所示，在距水平地面高h₁=1.2m的光滑水平臺面上，一個質量m=1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲存的彈性勢能E_p=2J。現打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度向右滑離平臺，并恰好從B點沿切線方向進入光滑豎直的圓弧軌道BC。已知B點距水平地面的高h₂=0.6m，圓弧軌道BC的圓心為O，C點的切線水平，并與水平地面上長為L=2.1m的粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運動并與右邊的豎直墻壁會發生碰撞，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力忽略不計。試求：
(1)小物塊運動到B的瞬時速度v_B大小；
(2)小物塊在圓弧軌道BC上滑到C時對軌道壓力N_c大小（保留一位小數）；
(3)若小物塊與墻壁只發生一次彈性碰撞，且不會從B點飛出，那么小物塊與軌道CD之間的動摩擦因數μ應該滿足怎樣的條件。
說明: figure

【答案】(1)4m/s；(2)33.3N；(3)

【詳解】
（1）打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后將獲得速度v₀，由機械能守恒得

解得

小物塊由A運動到B的過程中做平拋運動，由機械能守恒得

解得

（2）根據圖中幾何關系可知

解得

根據能的轉化與守恒可知

解得

對小球在圓弧軌道C點應用牛頓運動定律

解得

(3)依據題意知，①μ的最大值對應的是物塊撞墻前瞬間的速度趨于零，根據能量關系有

代入數據解得

②對于μ的最小值求解，首先應判斷物塊第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點，設物塊碰前在D處的速度為v₂，由能量關系有

第一次碰墻后返回至C處的動能為

可知即使

有

小物塊不可能返滑至B點，故μ的最小值對應著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經C恰好至D點停止，因此有

聯立解得

綜上可知滿足題目條件的動摩擦因數μ值

20．如圖所示，質量為M=2kg的木板，靜止在光滑水平面上，木板左端固定著一根輕質彈簧，一質量m=1kg的木塊（可視為質點），從木板右端以某一初速度開始向左滑行，最終回到了木板右端剛好未從木板滑出。若在木塊壓縮彈簧的過程中，彈簧彈性勢能的最大值為6J，木塊與木板間滑動摩擦力大小保持不變。求：
(1)木塊初速度

的大小；
(2)木塊在木板上滑動的過程中系統損失的機械能。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)12J
【詳解】
(1)彈簧的彈性勢能最大，設此時的速度為

當木塊向左運動到和木板的速度相等時，由能量守恒

從初狀態到木塊又滑到木板右端，兩者相對靜止，共同的速度仍為

以上方程解得

(2)整個過程中，木塊的初速度為

，兩者的共同速度為

所以系統損失的機械能為

21．如圖所示為放置在豎直平面內游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌

與水平直軌

長均為

，圓弧形軌道

和

均光滑，

的半徑為

，

的半徑為R，

、

與兩圓弧形軌道相切，

、

與豎直方向的夾角均為

。現有一質量為

的小球穿在滑軌上，以

的初動能從B點開始沿

向上運動，小球與兩段直軌道間的動摩擦因數均為

，設小球經過軌道連接處均無能量損失。（

，

）求：
(1)要使小球完成一周運動回到B點，初動能

至少多大？
(2)若以第(1)問的初動能從B點開始運動，則小球第二次到達D點時的動能。
(3)若以第(1)問的初動能從B點開始運動，小球在

段上運動的總路程。

【答案】(1)

；(2)

；(3)

【詳解】
(1)由幾何關系可知

解得

動能最小時，應該沿著逆時針運動，首先恰好到達大圓弧最高點，此時

解得

再回到B點時的動能

解得

因此初動能至少為

(2)回到B點后繼續上升，不能到達圓弧最高點，設上滑的距離為x，則

解得

小球原路返回，再次回到D點時

解得

(3)小球通過D點后，沿圓弧上升到某高度，返回D點后再到達C點時的動能

不可能到達B點，從小圓弧返回后由從C向D運動，設運動的路程為s，則

解得

因此在CD上的總路程

22．如圖所示，傳送帶與水平面之間的夾角為

，其上A、B兩點間的距離為

，傳送帶在電動機的帶動下以

的速度勻速運動。現將一質量為

的小物體（可視為質點）輕放在傳送帶的A點，小物體與傳送帶之間的動摩擦因數

，在傳送帶將小物體從A點傳送到B點的過程中，求：（g取10m/s²）
(1)小物體做加速運動階段的位移

；
(2)小物體與傳送帶之間的摩擦力做功產生的熱量

；
(3)傳送帶對小物體做的功

。

【答案】(1)0.8m；(2) 60J；(3) 270J
【詳解】
(1)小物體做加速運動階段，由動能定理得

代入數值，得

(2)小物體加速運動的時間為t，對于小物體

對于傳送帶

所以

摩擦生熱

代入數值得

(3)由功能關系得

代入數值得

23．如圖所示，傾角為30°的光滑斜面的下端有一足夠長的水平傳送帶，傳送帶正以4m/s的速度順時針運動，一個質量為2kg的物體（可視為質點），從h=3.2m高處由靜止沿斜面下滑，物體經過A點，不管是從斜面到傳送帶還是從傳送帶到斜面，其速率都不發生變化。已知物體與傳送帶間的動摩擦力因數為0.5，取g=10m/s²，求：
（1）物體從第一次滑上傳送帶到第一次離開傳送帶所用的時間；
（2）物體從第一次滑上傳送帶到第一次離開傳送帶摩擦產生的熱量。
說明: figure

【答案】（1）3.6s；（2）144J
【詳解】
（1）物體下滑到A點，根據機械能守恒有
mgh=

解得v₁=8m/s
根據牛頓第二定律有
ma=mgsin30°
解得a₁=5m/s²
則運動時間為
t₁=

=1.6s
物體上傳送帶的速度大于傳送帶的速度所以物體以傳送帶的度v=4m/s返回，取向右為正
由

向右
v=v₁+a₂t₂
可得
t₂=2.4s
由

由
t₃=

得
t₃=1.2s
t_總=t₂+t₃=3.6s

（2）傳送帶的位移為
x_傳=vt₂=9.6m
則相對位移為
x_相=x_傳-x_物=9.6+4.8=14.4m
故產生的熱量為
Q=fx_相=144J
24．如圖所示，足夠長的光滑水平地面上并排靜置著靠在一起的兩相同長木板A、B，木板質量

，長度均為

，A、B之間用不可伸長的長度為

的輕質細線拴接（圖中未畫出）。質量

的小滑塊C以

的水平初速度自木板A的左端滑到上表面，已知小滑塊C與木板A、B間的動摩擦因數均為

，細線張緊后兩長木板能立即相對靜止，取

，求：
(1)小滑塊C在木板A上運動的時間t_A；
(2)木板B最終的速度大小v_B；
(3)整個運動過程中，A、B、C組成的系統因摩擦產生的熱量Q。
說明: figure

【答案】(1)1s；(2)2m/s；(3)

【詳解】
(1)C在A上滑動時，由牛頓第二定律得，C的加速度大小

AB整體的加速度大小

由運動學公式

得

解得

或

（舍）
(2)在

時由

知C的速度

AB整體的速度

假設C滑上B后，BC能達共速，由動量守恒得

解得

由

知：BC達共速的時間

由

知：在該過程中C和B的位移分別為

故C相對B的位移

即C未從B上滑落。有

知在

內，A運動的位移

B相對A運動的位移

故該過程中細線一直未被拉緊，即BC能先達共速。在細線被拉緊的過程中，由AB組成的系統動量守恒得

解得細線被拉緊后AB的共同速度

假設最終AB整體與C三者能達到共速，由三者組成的系統動量守恒得

解得

由

知：細繩張緊后，AB整體與C達共速的時間

該過程中C和AB整體的位移分別為

，

該過程中C相對AB的位移

故C始終未從B上滑落，即A、B、C三者能達共速。故木板B最終的速度大小

(3)由能量守恒得：整個過程中A、B、C三者組成的系統損失的機械能

細線張緊過程中，A、B組成的系統損失的機械能

故整個運動過程中，A、B、C組成的系統因摩擦產生的熱量

25．如圖所示，AB是傾角θ=45°的傾斜軌道，BCEF是一個水平軌道（物體經過B點時無機械能損失）豎直平面內的光滑圓形軌道最低點與水平面相切于C點，A端固定一輕質彈簧，B、C兩點間的距離d=2m，P點與B點的水平距離L=4m，圓形軌道的半徑R=2m。一質量m=2kg的小物體，從P點緊靠彈簧由靜止釋放，恰好能沿圓形軌道運動并到達C點右側。小物體與傾斜軌道AB、水平軌道BC間的動摩擦因數都是μ₁=0.1，C點右側軌道與小物體間的動摩擦因數為μ=μ₁+

x，其中

=0.05/m，x為物體在C點右側到C點的距離，E、F為水平右側軌道上的點，它們到C點的距離分別為x_E=10m，x_F=16m（提示∶可以用F-x圖像下的“面積”代表力F所做的功，g=10m/s²）
(1)求彈簧的彈性勢能；
(2)求小物體最終靜止的位置；
(3)若改用同材料的質量為m′的小物體從同一位置釋放，為使小物體能靜止在EF段范圍內，試求m′的取值范圍。
說明: figure

【答案】(1)32J；(2)12.3m；(3)

≤m′≤2kg
【詳解】
(1)小物體從P點到D點的過程

得
E_P=32J
(2)從D點到最后靜止,此時摩擦力隨x的變化而變化μ=μ₁+

x可知

其f-x圖像為一條直線，所以

得
2x+0.5x²=100
解得

(3)設小物體質量為m′，
條件1∶要能過D點，則：

得

條件2∶能過E點
因為恰好過D點后到x=12.3m靜止，故能過E點
條件3∶不能超過F點，從P到F點過程

得

所以m′的取值范圍是

26．如圖所示，水平傳送帶左端A處與傾角為

30°的光滑斜面平滑連接，右端B處與一水平面平滑連接，水平面上有一固定豎直擋板，擋板左側與一輕彈簧連接，彈簧處于自然狀態，彈簧左端剛好處在水平面上的C點，斜面長為

=2.5m，傳送帶長L=4.5m。BC段長

=0.5m，傳送帶以速度v=1m/s順時針轉動。一質量為m=2kg的物塊從斜面頂端由靜止釋放，已知物塊與傳送帶間及水平面BC段的動摩擦因數分別為

=0.1，

=0.35，水平面C點右側光滑，重力加速度取

=10m/s²，求：
(1)彈簧獲得的最大彈性勢能；
(2)物塊第三次到達B點時的速度大小；
(3)物塊與傳送帶由于相對滑動而產生的熱量。
說明: figure

【答案】(1)12.5J；(2) 1m/s；(3) 23J
【詳解】
(1)設物塊滑到斜面底端的速度為v₁，根據機械能守恒有

解得
v₁=5m/s
由于v₁>v，因此物塊滑上傳送帶后開始做勻減速運動，加速度大小

設物塊在傳送帶上先減速運動后勻速運動，則減速運動的位移

由于△x>L，因此假設不成立，物塊在傳送帶上一直做勻減速運動，根據功能關系

(2)設物塊第二次到達A點的速度大小為v₃，根據功能關系

解得
v₃=0
即物體到達到A點時，速度減為零，在傳送帶的帶動下又向左做勻加速運動，當物體與傳送帶剛好共速時發生的位移

因此物塊第三次在傳送帶上先做勻加速運動后做勻速運動，第三次到B點的速度為
v=1m/s
(3)設第一次在傳送帶上滑動經歷的時間為t₁，則有

則第一次在傳送帶由于相對滑動而產生的熱量

聯立兩式代入數據解得
Q₁=7J
設物塊第二次到B點時速度為v₂，第二次在傳送帶上滑動經歷的時間為t₂，則有

解得
v₂=3m/s

則第二次在傳送帶上由于相對滑動而產生的熱量

設物塊第三次在傳送帶上相對滑動時間為t₃，則

則第三次在傳送帶上由于相對滑動而產生的熱量

由于

因此物塊不會第四次滑上傳送帶，故物塊與傳送帶由于相對滑動而產生的熱量
Q=Q₁＋Q₂＋Q₃=23J
27．如圖所示，一長木板質量為M=4 kg，木板與地面的動摩擦因數μ₁=0.2，質量為m=2 kg的小滑塊放在木板的右端，小滑塊與木板間的動摩擦因數μ₂=0.4。開始時木板與滑塊都處于靜止狀態，木板的右端與右側豎直墻壁的距離L=2.7 m，現給木板一水平向右的初速度v₀＝6 m/s使木板向右運動，設木板與墻壁碰撞時間極短，且碰后以原速率彈回，g取10 m/s²，求：
(1)木板與墻壁碰撞時，木板和滑塊的瞬時速度各是多大。
(2)木板與墻壁碰撞后，經過多長時間小滑塊停在木板上。
(3)從開始運動到小滑塊停在木板上，小滑塊與木板之間、木板與地面之間因摩擦而產生的熱量分別為多少。
說明: figure

【答案】(1)3m/s，2.4m/s；(2)0.6s；(3)43.2J；28.8J；
【詳解】
(1)木板向右做勻減速直線運動，加速度為

滑塊向右做勻加速直線運動，加速度為

設木板與墻壁碰撞時木板的速度為v_M，滑塊的速度為v_m

解得

運動時間為

滑塊的速度為

木板與墻壁碰撞時，木板的瞬時速度為3m/s，滑塊的瞬時速度為2.4m/s
(2)設滑塊與木板共速的時間為t₂，共同速度為v

解得

(3)木板一直以相同的加速度做勻減速直線運動到靜止，木板與地面之間因摩擦而產生的熱量為

滑塊向右加速運動產生的熱量為

滑塊向右減速運動產生的熱量為

小滑塊與木板之間產生的總熱量為

28．如圖所示，傳送帶與地面傾角θ=37°，從A到B長度為L=14m，傳送帶以v₀=8m/s 的速率逆時針轉動，在傳送帶上端A無初速地放一個質量為m=0.5kg的黑色煤塊，它與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.25，煤塊在傳送帶上經過會留下黑色劃痕，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²。求∶
(1)煤塊從A到B的時間。
(2)煤塊從A到B的過程中傳送帶上形成劃痕的長度。
(3)系統因摩擦產生的熱量。
說明: figure

【答案】(1)2s；(2)4m；(3)6J
【詳解】
(1)煤塊剛放上時，受到沿傳送帶向下的摩擦力，由牛頓第二定律得

代入數據解得

煤塊達到和傳送帶速度相等時的時間為

煤塊達到和傳送帶速度相等過程中的位移為

煤塊速度到達v₀后，煤塊受到向上的摩擦了，由牛頓第二定律得

代入數據解得

煤塊第二次加速的位移為

解得

煤塊從A到B的時間為

(2)第一過程煤塊相對傳送帶向上移動，劃痕長為

第二過程中煤塊相對傳送帶向下移動，劃痕長為

兩部分重合，故劃痕總長為4m
(3)系統因摩擦產生的熱量為

29．如圖，風洞實驗室中有水平放置的長為20m的傳送帶，其線速度恒為8m/s，特殊形狀的小物塊在實驗室中會受到與其運動方向相反的大小恒為2N的風力作用。已知小物塊的質量為2kg，它和傳送帶之間的動摩擦因數為0.5，g=10m/s²。將小物塊從傳送帶的左端靜止釋放，求：
(1)小物塊加速過程中的加速度；
(2)小物塊運動到傳送帶的另一端的過程中，系統產生的熱量。
說明: figure

【答案】(1)

，方向水平向右；(2)

【詳解】
(1)選向右為正方向，對小物塊由牛頓第二定律得

代入數據解得

方向水平向右
(2)小物塊加速到與傳送帶速度相等需要的時間

此時小物塊的位移

此后小物塊相對傳送帶靜止一起勻速運動。
小物塊加速過程傳送帶的位移

滑塊與傳送帶間的相對位移

系統產生的熱量

30．如圖所示，是利用電力傳送帶裝運麻袋包的示意圖。傳送帶長l=20 m，傾角θ=37°，麻袋包與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.8，傳送帶的主動輪和從動輪半徑R相等，傳送帶不打滑，主動輪頂端與貨車車箱底板間的高度差為h=1.8 m，傳送帶勻速運動的速度為v=2 m/s。現在傳送帶底端（傳送帶與從動輪相切位置）由靜止釋放一只麻袋包（可視為質點），其質量為100 kg，麻袋包最終與傳送帶一起做勻速運動，到達主動輪時隨輪一起勻速轉動。如果麻袋包到達主動輪的最高點時，恰好水平拋出并落在貨車車箱底板中心，重力加速度g=10 m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
(1)主動輪軸與貨車車箱底板中心的水平距離x及主動輪的半徑R；
(2)麻袋包在傳送帶上運動的時間t；
(3)該裝運系統每傳送一只麻袋包需額外消耗的電能。
說明: figure