重難點08簡潔的動能定理

1．有兩條雪道平行建造，左側相同而右側有差異，一條雪道的右側水平，另一條的右側是斜坡。某滑雪者保持一定姿勢坐在雪橇上不動，從h₁高處的A點由靜止開始沿傾角為θ的雪道下滑，最后停在與A點水平距離為s的水平雪道上。接著改用另一條雪道，還從與A點等高的位置由靜止開始下滑，結果能沖上另一條傾角為α的雪道上h₂高處的E點停下。若動摩擦因數處處相同，且不考慮雪橇在路徑轉折處的能量損失，則（　　）
說明: figure

A．動摩擦因數為tan θ B．動摩擦因數為

C．傾角α一定大于θ D．傾角α可以大于θ
【答案】B
【詳解】
AB．在AB段由靜止下滑，說明
μmgcos θ＜mgsin θ
則

第一次停在BC上的某點，由動能定理得

整理，可得

故A錯誤，B正確；
CD.第二次滑上BE在E點停下，則
μmgcos α≥mgsin α
故有

則
α<θ
故C、D錯誤。
故選B。
2．如圖所示，質量為m的小球，從離地面H高處由靜止釋放，落到地面，陷入泥中h深處后停止，不計空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．小球落地時的動能等于mg（H+h）
B．小球克服泥土阻力所做的功等于小球剛落到地面時的動能
C．泥土阻力對小球做的功mg（H+h）
D．小球在泥土中受到的平均阻力大小為mg（1+

）
【答案】D
【詳解】
A．根據機械能守恒定律可知，小球落地時的動能等于mgH，選項A正確；
B．從落地到落入泥土中h的過程，由動能定理

則

小球克服泥土阻力所做的功等于小球剛落到地面時的動能與重力勢能的減小量之和，選項B錯誤；
C．根據動能定理

泥土阻力對小球做的功
W_f=-mg（H+h）
選項C錯誤；
D．根據動能定理

小球在泥土中受到的平均阻力大小為
f=mg（1+

）
選項D正確。
故選D。
3．如圖所示，質量為

的電動小車（視為質點）在A點以恒定功率啟動，并駛上足夠長的水平軌道AB，經過一定時間后關閉電動機，然后沖上半徑為

的圓環，恰好經過圓環最高點C。回到圓環最低點B后，又沿水平軌道BE進入半徑亦為

的圓管最低點E（管的尺寸忽略不計），已知BE長為

，小車在AB、BE段所受阻力為車重的0.25倍，其余部分阻力均忽略不計，則（　　）
說明: figure

A．小車通過C點時對圓環的壓力為mg
B．小車能通過圓管的最高點F
C．電動小車輸出的機械功率不能小于

D．若僅把圓環和圓管位置互換，小車仍能通過圓環的最高點C
【答案】C
【詳解】
A．小車恰好過C點，則在C點時對圓環的壓力為零，故A錯誤；
B．小車從C點到E點過程，根據動能定理得

由于

則小車不能通過最高點

，故B錯誤；
C．小車在C點時的壓力為零，有

得

小車由B點到C點過程

解得

小車以恒定功率啟動

故C正確；
D．僅將圓環與圓管位置互換，小車不能通過圓環最高點，故D錯誤。
故選C。
4．如圖所示為地鐵站用于安全檢查的裝置，主要由水平傳送帶和X光透視系統兩部分組成，傳送過程傳送帶速度不變。假設乘客把物品輕放在傳送帶上之后，物品總會先、后經歷兩個階段的運動，用v表示傳送帶速率，用μ表示物品與傳送帶間的動摩擦因數，則（　　）
說明: figure

A．前階段，物品可能向傳送方向的相反方向運動
B．后階段，物品受到摩擦力的方向跟傳送方向相同
C．v相同時，μ不同的等質量物品與傳送帶摩擦產生的熱量相同
D．μ相同時，若v增大為原來的2倍，則同一物體前階段的對地位移也增大為原來的2倍
【答案】C
【分析】
物品放上傳送帶上時在摩擦力的作用下做勻加速直線運動，當速度達到傳送帶速度時，做勻速直線運動，根據牛頓第二定律和運動學公式進行分析。
【詳解】
A．物品輕放在傳送帶上，前階段，物品受到向前的滑動摩擦力，所以物品的運動方向一定與傳送帶方向相同，故A錯誤；
B．后階段，物品與傳送帶一起勻速運動，不受摩擦力，故B錯誤；
C．物品加速運動的加速度

勻加速運動時間

位移為

傳送帶位移

物品相對傳送帶滑行的距離為

物品與傳送帶摩擦產生的熱量為

則

相同時，

不同的等質量物品與傳送帶摩擦產生的熱量相同，故C正確；
D．前階段物品的位移為

則知

相同時，

增大到原來的2倍，前階段物品的位移增大為原來的4倍，故D錯誤。
故選C。
【點睛】
抓住時間關系和位移關系列式進行分析。
5．在粗糙水平地面上豎直放置一如圖所示裝置該裝置上固定一光滑圓形軌道，總質量為M。一質量為m的小球在圓形軌道最低點A以水平初速度v₀向右運動，恰好能通過圓形軌道最高點B，該裝置始終處于靜止狀態，則在小球由A點到B點的過程中（重力加速度取g），下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．當小球運動與圓心等高處的C點時，裝置對地面的摩擦力方向向左
B．當小球運動到B點時，裝置對地面的壓力大小為Mg+mg
C．當小球在A點時，裝置對地面的壓力大小為Mg+6mg
D．小球運動到與圓心等高處的C點時，裝置對地面的壓力大小為Mg+mg
【答案】C
【詳解】
A．當小球運動到與圓心等高處的C點時，裝置受到小球的作用力方向水平向右，由平衡條件可知裝置受到地面的摩擦力方向向左，則裝置對地面的摩擦力方向向右，故A錯誤；
B．由于小球恰好能通過圓形軌道最高點B，則當小球運動到B點時，小球對裝置的作用力為0，此時裝置對地面的壓力大小為Mg，故B錯誤；
C．由于小球恰好能通過圓形軌道最高點B，則有

小球從B點到A點，由動能定理得

A點由牛頓第二定律有

聯立解得裝置對小球的作用力
N_A=6mg
方向豎直向上，由牛頓第三定律可知，小球對裝置的作用力大小為6mg，方向豎直向下，所以當小球在A點時裝置對地面的壓力大小為Mg+6mg，故C正確；
D．小球運動到與圓心等高處的C點時，裝置對地面的壓力為Mg，故D錯誤。
故選C。

6．質量為m的物體靜止在水平面上，用水平力拉物體，運動一段距離后撤去此力，最終物體停止運動。物體運動過程中的動能隨位移變化的

圖像如圖所示，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．水平拉力是物體所受摩擦力的2倍
B．物體與水平面間的動摩擦因數為

C．水平拉力做的功為

D．水平拉力的大小為

【答案】BD
【詳解】
AB．物體做勻加速運動時，由動能定理可得

勻減速運動時

可得拉力是摩擦力的3倍，動摩擦因數

A錯誤B正確；
CD．用全程的動能定理得

可得拉力做功為

，拉力大小為

，C錯誤D正確。
故選BD。
7．如圖所示，A、B是靜止在水平地面上完全相同的兩塊長木板。A的右端和B的左端相接但不粘連。兩板的質量均為m，長度皆為l；C是一質量為

的小物塊。現給它一初速度，使它從A板的左端開始向右滑動，恰能滑到B板的右端。已知C與A、B之間的動摩擦因數均為μ。地面與A、B之間的動摩擦因數均為

，取重力加速度g；從小物塊C開始運動到最終靜止的全過程，下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．木板A、B始終是靜止
B．木板B滑行的距離為

C．系統因摩擦產生的總熱量為

D．當小物塊C滑到木板B的右端時，木板B的速度最大
【答案】BCD
【詳解】
A．物塊C對A或B的摩擦力為

若C在A上滑動時，AB與地面間的最大靜摩擦力

則此時AB不動；當C在B上滑動時，B與地面之間的最大靜摩擦力

可知B將要滑動，選項A錯誤；
B．當C滑到木板A的右端時，因為AB不動，由動能定理

解得

當滑塊C在B上滑動時，B的加速度

C的加速度

設經過時間t物塊C到達最右端時的共同速度為v，則

解得

B運動的距離

然后BC一起減速運動，加速度為

最后停止時移動的距離

則B一共向右移動的距離

選項B正確；
C．物塊C在A上滑動時產生的熱

物塊C在B上滑動產生的熱

木板B在地面上滑動產生的熱

系統因摩擦產生的總熱量為

選項C正確；
D．當小物塊C滑到木板B時，木板B加速運動，當C到達B的右端時，木板B的速度最大，然后兩者一起減速，選項D正確。
故選BCD。
8．如圖所示，水平傳送帶順時針傳動速率始終為v，在其左端無初速釋放一小煤塊，小煤塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ，若小煤塊到達傳送帶右端時的速率恰好增大到v。下列說法正確的是（　　）

A．小煤塊在傳送帶上運動的時間為

B．小煤塊在傳送帶上留下的痕跡長度為

C．此過程產生的熱量為

D．傳送帶對小煤塊做功

【答案】AB
【詳解】
A．小煤塊在傳送帶上受到傳送帶的滑動摩擦力作用，設加速度為

，運動時間為

，由牛頓第二定律得

解得

恰運動到右端時速度為v,由運動學公式得

解得

，A正確；
B．小煤塊在傳送帶上一直做勻加速運動，由位移公式得運動距離為
eqIdb7db230501b948699bc79a89dde1443b

這段時間傳送帶的距離為

則小煤塊相對傳送帶的距離為

即為小煤塊在傳送帶上留下的痕跡長度，B正確；
C．此過程產生的熱量為

C錯誤；
D．小煤塊在運動過程中，只有滑動摩擦力對它做功，由動能定理得傳送帶對小煤塊做功為

D錯誤。
故選AB。
9．如圖所示，半徑為r的半圓弧軌道ABC固定在豎直平面內，直徑AC水平，一個質量為m的物塊從圓弧軌道A端正上方P點由靜止釋放，物塊剛好從A點無碰撞地進入圓弧軌道并在圓弧AB段做勻速圓周運動，到B點時對軌道的壓力大小等于物塊重力的2倍，重力加速度為g，不計空氣阻力，不計物塊的大小，則：（　　）
說明: figure

A．物塊在B點的速度為

B．物塊的釋放位置P距離A點的高度為r
C．物塊從A運動到B的時間為

D．物塊從A運動到B的過程中克服摩擦力做的功為mgr
【答案】AD
【詳解】
A．在B點時，由牛頓第二定律可得

解得

故A正確；
B．從釋放位置到A點，由動能定理可得

由題意可知

，解得

故B錯誤；
C．從A到B物塊做勻速圓周運動，故其運動時間為
eqId9a35327c5988469992562fa5a1a5ff74

故C錯誤；
D．從A到B，由動能定理可得

故

故D正確；
故選AD。
10．如圖所示，勁度系數為k的豎直輕彈簧的下端固定在水平面上，上端與物塊A連接，物塊B與物塊A之間用一繞過定滑輪O的輕繩連接，B放在固定斜面的上端（用外力控制B）。OA繩豎直，OB繩與傾角為

的足夠長的固定斜面平行，且輕繩恰好拉直而無作用力。A、B的質量均為m，A、B均視為質點，重力加速度大小為g，取

，

，不計一切摩擦。現將B由靜止釋放，B沿斜面下滑，彈簧始終處在彈性限度內。下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．釋放B后的瞬間，輕繩的彈力大小為

B．當A的速度最大時，彈簧處于拉伸狀態
C．A的最大速度為

D．當B處于最低點時，彈簧處于壓縮狀態
【答案】AC
【詳解】
A．設釋放B前彈簧的壓縮量為

，對A由物體的平衡條件有

設釋放B后的瞬間A的加速度大小為a，對A、B整體由牛頓第二定律有

解得

設釋放B后的瞬間輕繩的彈力大小為

，對A由牛頓第二定律有

解得

選項A正確；
B．經分析可知，當A的速度最大時，輕繩的彈力大小

因

，故此時彈簧處于壓縮狀態，選項B錯誤；
C．設當A的速度最大時，彈簧的壓縮量為

，對A由物體的平衡條件有

解得

對從釋放B到A的速度最大的過程，根據動能定理，對A、B整體有

解得A的最大速度

選項C正確；
D．假設當B處于最低點時彈簧處于壓縮狀態，且壓縮量為

，根據動能定理，對A、B整體有

解得

因

為負值，故假設不成立，選項D錯誤。
故選AC。
11．質量為2kg的物塊放在粗糙水平面上，在水平拉力的作用下由靜止開始運動，物塊動能E_k與其發生位移x之間的關系如圖所示。已知物塊與水平面間的動摩擦因數μ＝0.2，重力加速度g取10m/s²，則下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．x＝1m時物塊的速度大小為2m/s
B．x＝3m時物塊的加速度大小為2.5m/s²
C．在前4m位移過程中拉力對物塊做的功為25J
D．在前4m位移過程中物塊所經歷的時間為2.8s
【答案】CD
【分析】
由圖象可觀察

時動能為

，由動能的計算式此可求速度，

時物塊的加速度即為

的加速度，先求

、

時的速度大小，再以勻變速直線運動公式可求，先求全過程摩擦力的功，再由動能定理求拉力的功。分段求兩次勻變速直線運動的時間，再求和得到總時間。
【詳解】
A．由圖像可知，

時的動能為

由

得

故A正確；
B．同理，當

時動能為

解得

由動能定理得

得

可知

圖像的斜率等于合外力，因此物體在

內和

內都做勻加速直線運動，在

內，由

解得

內，加速度為

則

是物塊加速度為

，故B錯誤；
C．對物體運動全過程，由動能定理得

解得

故C正確；
D．

過程運動時間為

總時間

故D正確。
故選AD。
【點睛】
本題對動能定理、牛頓第二定律、運動學公式的綜合考查，關鍵要根據動能定理分析知道：E_k與x成線性關系，說明合外力恒定，即物體作勻變速運動。
12．如圖所示，靜置于水平地面的三輛手推車沿一直線排列，質量均為m，人在極短時間內給第一輛車一水平沖量使其運動，當車運動了距離L時與第二輛車相碰，兩車以共同速度繼續運動了距離L時與第三車相碰，三車以共同速度又運動了距離L時停止。車運動時受到的摩擦阻力恒為車所受重力的k倍，重力加速度為g，若車與車之間僅在碰撞時發生相互作用，碰撞時間很短，忽略空氣阻力，求：
(1)整個過程中摩擦阻力所做的總功；
(2)人給第一輛車水平沖量的大小；
(3)第一次碰撞系統功能的損失量。
說明: figure

【答案】(1) －6kmgL；(2)

；(3)

【詳解】
(1)設運動過程中摩擦阻力做的總功為W，則
W＝－kmgL－2kmgL－3kmgL＝－6kmgL
(2)設第一車的初速度為

，第一次碰前速度為

，碰后共同速度為

，第二次碰前速度為

，碰后共同速度為

，有

動量守恒

人給第一輛車水平沖量的大小

(3)根據以上公式解得

則第一次碰撞系統動能損失

13．如圖所示的裝置是由豎直擋板P及兩條帶狀軌道Ⅰ和Ⅱ組成。軌道Ⅰ由光滑軌道

與粗糙直軌道

連接而成，A、B兩點間的高度差為

。在軌道

上有一位置C，C點與B點的高度差為H、水平間距為

。光滑軌道Ⅱ由軌道

、半徑分別為

、

的半圓形螺旋軌道

和軌道

連接而成，且F點與A點等高。軌道Ⅰ、軌道Ⅱ與光滑水平軌道

在A處銜接，擋板P豎立在軌道

上，軌道上各連接點均為平滑連接。一質量為

的小滑塊（小滑塊可以看成質點）從C點靜止釋放，沿軌道Ⅰ下滑，與擋板P碰撞，碰撞后的動能為碰撞前動能的一半，且碰后小滑塊既可沿軌道Ⅰ返回，也可沿軌道Ⅱ返回。小滑塊與

間的動摩擦因數

。重力加速度

。
（1）若小滑塊沿軌道Ⅰ返回，且恰好能到達B點，則H的大小為多少？
（2）若改變直軌道

的傾角，使小滑塊在直軌道上的下滑點與B點的水平距離L保持不變，小滑塊沿軌道Ⅱ返回（只考慮首次返回），求H的大小范圍。
（3）在滿足（2）問的條件下，請寫出小滑塊剛過F點（只考慮首次通過F點）時對軌道的壓力大小與H的關系。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)

；(3)

（其中

）
【詳解】
(1)從C點到B點，由動能定理

設滑塊碰前的速度為

，則有

滑塊與擋板碰撞后的動能

又因為

所以

(2)剛好能通過F點

則

從A到F點

得

能從C滑至B

即

綜上可得

(3) 小滑塊剛過F點時，有

又因為

所以

根據牛頓第三定律

（其中

）
14．如圖(a)所示，一質量為m的滑塊

可看成質點

沿某斜面頂端A由靜止滑下，已知滑塊與斜面間的動摩擦因數

和滑塊到斜面頂端的距離x的關系如圖(b)所示．斜面傾角為

，長為l，有一半徑為

的光滑豎直半圓軌道剛好與斜面底端B相接，且直徑BC與水平面垂直，假設滑塊經過B點時沒有能量損失．重力加速度為g，求：
(1)滑塊剛釋放瞬間的加速度大小；
(2)滑塊滑至斜面底端時的速度大小；
(3)滑塊滑至半圓軌道的最高點C時，對軌道的壓力大小。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)

；(3) 3mg
【詳解】
(1)滑塊剛釋放時，由圖(b)可知，

則對滑塊

代入數據解得

(2)滑塊由頂端滑至底端，由動能定理得

由圖(b)的物理意義得

解得

(3)設滑塊能運動到C點，則從B到C，由動能定理：

解得

當滑塊滑到C點時

解得

由牛頓第三定律得滑塊在C點時對軌道的壓力

15．如圖，水平放置做逆時針運動的傳送帶左側放置一個半徑為R的光滑

圓弧軌道，底端與傳送帶相切。傳送帶長也為R。傳送帶右端接光滑的水平面，水平面上靜止放置一質量為3m的小物塊B。一質量為m的小物塊A從圓弧軌道頂端由靜止釋放，經過傳送帶后與B發生碰撞，碰后A以碰前速率的一半反彈。A與B碰撞后馬上撤去圓弧軌道。已知物塊A與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.5，取重力加速度為g。求：
(1)物塊A與B碰撞前瞬間速度大小；
(2)若傳送帶速度取值范圍為

試討論傳送帶速度取不同值時，物塊A、B碰撞后傳送帶對物塊A做功的大小。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)見解析
【詳解】
(1)物體A下滑過程，根據動能定理有

解得

A從傳送帶左端滑至右端，根據動能定理有

解得

(2)A碰后從傳送帶右端往左運動，傳送帶速度為

有
①若傳送帶速度為

，物塊A勻速運動，傳送帶對物塊做功為W=0
②當傳送帶的速度為

時，物塊A滑上傳送帶后加速，物塊能一直加速，則物塊最終的速度為v_A′，根據動能定理有

解得

故當傳送帶的速度

時，物塊一直加速度，不會有共速，摩擦力一直存在，則傳送帶摩擦力做的功為
W=μm_AgR=0.5mgR
③若傳送帶的速度

時，物塊A先減速后與傳送帶達到共同速度，即A的末速度為傳送帶的速度v，由動能定理得

即

（

）
16．中國第三艘航母003號的建造已經接近尾聲，下水指日可待。據報道，該航母將用電磁彈射技術，相比于滑躍式起飛，電磁彈射的加速更均勻且力量可調控。若新型國產航母的起飛跑道由電磁彈射區域和非電磁彈射區域兩部分組成。在電磁彈射區域電磁彈射可以給飛機提供恒定的牽引力F₁=1.0×10⁶ N，非電磁彈射區域的長度L₁=90 m。某重型艦載飛機的質量m= 30 t，從跑道末端起飛速度v= 100 m/s，起飛過程噴氣發動機可以持續提供F₂=6.3× 10 ⁵N的恒定推力，其所受阻力恒定且所受阻力與其受到的重力大小之比k=0.1。取重力加速度大小g=10 m/s²求：
(1)飛機離開電磁彈射區域的速度大小v₁
(2)起飛跑道總長度L
【答案】(1)

；(2)

【詳解】
(1)飛機在非電磁彈射區域，在恒定推力和阻力的作用下做勻加速直線運動，有

解得

又

解得

(2)電磁彈射區域長度為L₂，由動能定理有

解得

起飛跑道總長度L

17．兒童樂園里的彈珠游戲不僅具有娛樂性還可以鍛煉兒童的手眼合一能力。某彈珠游戲可簡化成如圖所示的豎直平面內ABCDEFG透明玻璃軌道，其中C為BCD軌道的最低點，E為DEF管道的最高點，FG為動摩擦因數μ＝0.8的粗糙直軌道，在軌道首端A和末端G處均有一反彈膜，彈珠與其碰撞無能量損失。其余管道和軌道均光滑。各部分軌道在連接處均相切。一質量m＝100g，直徑略小于管道內徑的彈珠從A點靜止滑下，沿軌道ABCDEFG運動并彈回，已知H=0.8m，R=2m，L=0.5m，圓弧軌道BCD和管道EFG的圓心角為120°，g＝10m/s²，求：
(1)彈珠第一次運動到C點時對軌道的壓力；
(2)若給小球提供適當的初速度，可以讓小球在通過E點時對管道內外壁剛好沒有壓力，求初速度的大小；
(3)若游戲設置9次通過E點便獲得最高分，求要獲得最高分，小球在A點初速度的范圍。
說明: figure

【答案】(1)2.8N，豎直向下；(2)6m/s；(3)

【詳解】
(1) A到C：由動能定理

C點有

解得

由牛頓第三定律可得，彈珠對軌道的壓力大小為2.8N，方向豎直向下；
(2)彈珠剛好在E點對軌道無壓力時
eqId60d32162fee84e33aebadc72f4e47a21

攤主從A到E，由動能定理可得

解得

(3)當彈珠剛好第八次恰能回到E點時，

解得

當彈珠剛好第十次回到E點時

解得

所以要想獲得最高分，初速度的范圍

。
18．如圖所示，質量為m的小木塊甲以一定的初速度從O點沿粗糙的水平面向右運動，到P點時與質量為2m的靜止的小木塊乙相碰，與木塊乙碰撞后，木塊甲返回到0、P的中點停止，已知兩小木塊與水平面之間的動摩擦因數均為μ，

，木塊甲在O點的初動能為

，重力加速度大小為g。求：
(1)木塊甲從O點運動到P點與木塊乙碰撞前的時間（可用根式表示）；
(2)木塊乙停止的位置距離P點的距離。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)2L
【詳解】
(1)設木塊甲從O點運動到P點與木塊乙碰撞前的時間為t，甲從O點出發時初速度v₀，到達P點時速度為v，與乙碰撞后速度為v₁，乙的速度為v₂，甲從O點到P點。根據動能定理，得

設初速度方向為正方向，根據動量定理，得

依題意，得

解得

(2)設木塊乙停止的位置距離P點的距離為x，甲與乙碰撞時，由動量守恒定律，得

對甲，碰撞后到停止，根據動能定理有

對乙，碰撞后到停止，根據動能定理有

聯立，解得

19．如圖所示，水平面內的導軌與豎直面內的半圓形光滑導軌在B點相切。半圓形導軌的半徑為R，一個質量為m的滑塊（視為質點）從A點以某一初速度沿導軌向右運動，滑塊進入半圓形導軌后通過C點時受到軌道彈力的大小

（g為重力加速度大小）。并恰好落到A點。水平導軌與滑塊間的動摩擦因數

。不計空氣阻力。求：
(1)滑塊通過半圓形導軌的B點時對半圓形導軌的壓力大小；
(2)滑塊在A點時的動能E_k。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)

【詳解】
(1)設滑塊通過C點時的速度大小為

，受到導軌彈力的大小為F，有

設滑塊通過B點時的速度大小為v_B，受到導軌彈力的大小為N＇，有

對滑塊從B點運動到C點的過程，由動能定理有

由牛頓第三定律有

解得

(2)設滑塊從C點運動到A點的時間為t，有

水平面上A、B兩點間的距離為

對滑塊從A點運動到B點的過程，由能量守恒定律有

解得

20．如圖所示，某物塊(可看成質點)從A點沿豎直光滑的

圓弧軌道，由靜止開始滑下，圓弧軌道的半徑R＝0.25m，末端B點與水平傳送帶相切，物塊由B點滑上粗糙的傳送帶，若傳送帶靜止，物塊滑到傳送帶的末端C點后做平拋運動，落到水平地面上的D點，已知C點到地面的高度H＝5m，C點到D點的水平距離為x₁＝1 m，g＝10m/s²。求：
(1)物塊滑到B點時速度的大小；
(2)物塊滑到C點時速度的大小。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)1m/s
【詳解】
(1)物體從A點滑到B點，由動能定理可知

解得物塊滑到B點時速度的大小為

(2)設C點的速度為v₁，由平拋運動的公式可知
eqIdeb117a9706b04545a3ce77fa114b85f4

解得C點的速度為

21．如圖所示，AB為長L₀=2m的粗糙水平軌道，MD為光滑水平軌道，圓O為半徑R=0.45m的下端不閉合的豎直光滑圓軌道，它的入口和出口分別與AB和MD在B、M兩點水平平滑連接。D點右側有一寬x₀=0.9m的壕溝，壕溝右側的水平面EG比軌道MD低h=0.45m。質量m=0.2kg的小車（可視為質點）能在軌道上運動，空氣阻力不計，g取10m/s²。
(1)將小車置于D點出發，為使小車能越過壕溝，至少要使小車具有多大的水平初速度？
(2)將小車置于A點靜止，用F=1.9N的水平恒力向右拉小車，F作用的距離最大不超過2m，小車在AB軌道上受到的摩擦力恒為f=0.3N，為了使小車通過圓軌道完成圓周運動進入MD軌道后，能夠從D點越過壕溝，力F的作用時間應滿足什么條件？（本問結果可保留根號）
說明: figure

【答案】(1)3m/s；(2)

【詳解】
(1)根據h=

gt²得

則小車具有的最小初速度

(2)小球通過最高點的最小速度

根據動能定理知
mg•2R＝

mv_M²−

mv₁²
代入數據解得

可知小球能夠通過最高點，則能通過壕溝，對A到C的過程運用動能定理得
Fx−fL₀−mg•2R＝

mv₁²−0
代入數據解得
x=1.5m
根據牛頓第二定律得

根據
x=

at′²
得力F作用的最短時間

力F作用的最長時間

則力F的作用時間應該滿足

22．如圖甲所示，游樂公園的回環過山車為避免游客因向心加速度過大而難以忍受，豎直面的回環被設計成“雨滴”形而不是圓形。圖乙為某興趣小組設計的回環過山車軌道模型，傾角

的傾斜軌道AB與地面水平軌道BC在B處平滑連接，“雨滴”形曲線軌道CDE左右對稱，D為最高點。對于一般曲線上的某點，若存在一個最接近該點附近曲線的圓，則這個圓叫做曲率圓，它的半徑叫做該點的曲率半徑。圖乙中圓1和圓2分別為C、D兩點的曲率圓，半徑分別為

、

。現將質量

的小滑塊（可視為質點）從軌道AB上某點由靜止釋放，滑塊在軌道CDE內側運動時的向心加速度恰好始終恒為

。已知曲線軌道CDE光滑，其余直軌道與滑塊之間的動摩擦因數均為

，BC段的長度

，重力加速度g取

，

。
(1)求滑塊在D點時對軌道的壓力；
(2)求曲線軌道CDE上高度

的P點的曲率半徑；
(3)要使滑塊能順利通過軌道CDE，運動時的向心加速度不超過3g。求滑塊在軌道AB上釋放點高度H的范圍。
說明: figure

【答案】(1)5N，方向豎直向上；(2)

；(3)

【詳解】
(1)設滑塊在D點所受的壓力為F，根據向心力公式

解得

由牛頓第三定律，滑塊對軌道壓力大小為5N，方向豎直向上
(2)滑塊在軌道CDE中，根據向心加速度公式

，則滑塊在C。D兩點的速度分別為

，

設P點的曲率半徑為R，速度為v，從C點到P點的過程中，由動能定理

且

則P點曲率半徑

(3)設C、D兩點高度差為

，從C點到D點的過程中，由動能定理

解得

設曲線軌道上高度為h某點的曲率半徑為R，由上題可知

從該點到D點，根據動能定理有：

該點向心加速度

①假設滑塊在D點剛好沒有脫離軌道，即向心加速度為g，設在D點的速度為

，則

解得

故當

時，

（僅在D點時取等號），因此，滑塊在軌道CDE上其他位置的加速都大于g，不會脫離軌道，設滑塊最低釋放點高度為

，從釋放到D點的過程中，由動能定理

解得

②假設滑塊在D點時的向心加速度為3g，則有

解得

根據

可知，當

時，

（僅在D點時取等號），因此滑塊在軌道CDE上的向心加速度在D點最大，其他位置的都小于3g，設滑塊最高釋放點高度為B，從釋放點到D點的過程中，由動能定理

解得

綜上可知

23．半徑

的

光滑圓弧軌道與水平放置的傳送帶左邊緣相切，傳送帶長為

，它順時針轉動的速度

，質量為

的小球被長為

的輕質細線懸掛在O點，球的左邊緣恰與傳送帶右端B對齊；細線所能承受的最大拉力為

，質量為

的物塊自光滑圓弧的頂端以初速度

的速度開始下滑，運動至B點與質量為

的球發生正碰，在極短的時間內反彈，細繩恰好被拉斷。已知物塊與傳送帶間的滑動摩擦因數為

，取重力加速度

。求：
(1)碰撞后瞬間，物塊的速度是多大？
(2)物塊在傳送帶上運動的整個過程中，與傳送帶間摩擦而產生的內能是多少？
說明: figure

【答案】(1)

；(2)

【詳解】
(1)設滑塊m滑至傳送帶后，與小球碰撞前一直做勻減速運動，對滑塊，設與小球碰前速度速率為v₁，則從開始下滑至與小球碰前，根據動能定理

，說明假設合理。設球碰后速率為

，對小球

得

滑塊與小球碰撞，設碰后物塊速度大小為

，由動量守恒定律

解得

(2)物塊由釋放到A點，根據動能定理有

解得

設滑塊與小球碰撞前的運動時間為

，則

在這過程中，傳送帶運行距離為

解得

滑塊與傳送帶的相對路程為

解得

設滑塊與小球碰撞后不能回到傳送帶左端，向左運動最長時間為

，則根據動量定理

解得

滑塊向左運動最大位移

解得

，說明假設成立，即滑塊最終從傳送帶的右端離開傳送帶，再考慮到滑塊與小球碰后的速度

，說明滑塊與小球碰后在傳送帶上的總時間為

，在滑塊與小球碰撞后的時間內，滑塊做類豎直上拋運動，回到碰撞點，傳送帶與滑塊間的相對路程等于傳送帶的對地位移

解得

因此，整個過程中，因摩擦而產生的內能是

24．一平臺如圖所示，物體A與水平面間的動摩擦因數µ=0.2，右角上固定一定滑輪，在水平面上放著一質量m=1.0kg、大小可忽略的物塊A，一輕繩繞過定滑輪，輕繩左端系在物塊A上，右端系住物塊B，物塊B質量M=2.0kg，開始兩物體都處于靜止狀態，繩被拉直，物體A距滑輪4.5m，B到地面的距離h=1m，忽略滑輪質量及其與軸之間的摩擦，g取10m/s²，將A、B無初速釋放后，求：
（1）輕繩中的最大拉力；
（2）物體A沿水平面運動的位移。
說明: figure

【答案】（1）8N；（2）4m
【詳解】
（1）設繩中拉力為

，對

由牛頓第二定律

對物體

解得

（2）勻加速運動的位移

；

運動位移為

，對

由動能定理

解得

25．某同學參照過山車情景設計了如下模型光滑的豎直圓軌道半徑R=2m，入口的平直軌道AC和出口的平直軌道CD均是粗糙的，質量為m=2kg的小滑塊與水平軌道之間的動摩擦因數均為μ=0.5，滑塊從A點由靜止開始受到水平拉力F=6N的作用，在B點撤去拉力，AB的長度為l=5m，不計空氣阻力。（g=10m/s²）
(1)若滑塊恰好通過圓軌道的最高點，求滑塊沿著出口的平直軌道CD能滑行多遠的距離？
(2)要使滑塊能進入圓軌道運動且不脫離軌道，求平直軌道BC段的長度范圍。
說明: figure

【答案】(1)10m；(2)[0，15m]或[21m，25m]
【詳解】
(1)滑塊恰好通過最高點，說明此時只有重力提供向心力，則有

解得

m/s
滑塊從C點到最高點過程由機械能守恒定律可得

解得
v_C=10m/s
滑塊從C點到最后停止過程有

=10m
即滑塊能沿著出口平直軌道CD滑行的距離為10m。
(2)要使滑塊不脫離軌道，有一下兩種可能：
①滑塊能通過最高點，即到達C點的速度大于10m/s，則對AC過程由動能定理可得

解得
x₁=15m
②滑塊無法通過最高點，但到達的高度為R時速度恰好為零，滑塊同樣不會脫離軌道，則對全程由動能定理可得

解得
x₂=21m
滑塊要能夠進入圓軌道運動，則至少能夠到達C點

解得
x₃=25m
因此，要使滑塊能進入圓軌道運動且不脫離軌道，BC長度范圍為[0，15m]或[21m，25m]。
26．如圖所示，質量為m=1kg的小物塊輕輕放在水平勻速運動的傳送帶上的P點，隨傳送帶運動到A點后水平拋出，小物塊恰好無碰撞的沿圓弧切線從B點進入豎直光滑圓弧軌道下滑。B、C為圓弧的兩端點，其連線水平。已知圓弧半徑R=1m，圓弧對應圓心角為θ=106°，軌道最低點為O，A點距水平地面的高度h=0.8m。小物塊離開C點后恰能無碰撞的沿固定斜面向上運動，上升能到達的最高點為D。物塊與傳送帶間的動摩擦因數為

，傳送帶的速度恒為5m/s，物塊與斜面間的滑動摩擦因數為

。（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）試求：
(1)小物塊離開A點的水平初速度v₁；
(2)小物塊經過O點時對軌道的壓力；
(3)PA間的距離；
(4)物塊由C上升到最高點D所需時間。
說明: figure

【答案】(1)3m/s；(2)43N；(3)1.5m；(4)0.5s
【詳解】
(1)對小物塊，由A到B，作平拋運動，根據速度位移公式

在B點

所以

3m/s

所以

5m/s
(2)對小物塊，由B到O，由動能定理有

在O點，作圓周運動，由牛頓第二定律有

N＝43N
由牛頓第三定律知對軌道的壓力為43N。
(3)物塊在傳送帶上由P到A加速過程，由動能定理有

所以
s＝1.5m
(4)物塊沿斜面上滑，由牛頓第二定律有

由動能定理知

5m/s
小物塊由C上升到最高點D歷時

0.5s
27．如圖所示，光滑圓弧面

與水平面和傳送帶分別相切于B、C兩處，

垂直于

。圓弧所對的圓心角

，

圓弧半徑

，足夠長的傳送帶以恒定速率

順時針轉動，傳送帶

與水平面的夾角

。一質量

的小滑塊從A點以

的初速度向B點運動，A、B間的距離

。小滑塊與水平面、傳送帶之間的動摩擦因數均為

。重力加速度

，

。求：
(1)小滑塊第一次滑到C點時的速度；
(2)小滑塊到達的最高點離C點的距離；
(3)小滑塊最終停止運動時距離B點的距離。
說明: figure

【答案】(1)6m/s；(2)5m；(3)4.8m
【詳解】
(1)C離B的高度

小滑塊從A到C應用動能定律有

物塊第一次滑到C點時的速度

(2)物塊在傳送帶上上滑的加速度

由

得

由于

物塊在傳送帶上繼續減速上滑的加速度

物體到達的最高點離C點的距離

(3)滑塊沿傳動帶加速返回到C點

C到停止

代入數據解得

小滑塊最終停止運動時距離B點的距離為

。
28．如圖所示，質量m=0.4kg的小物塊，放在半徑R₁=2m的水平圓盤邊緣A處，小物塊與圓盤間的動摩擦因數

₁=0.8。圓心角為θ=37°，半徑R₂=2.5m的光滑圓弧軌道BC與水平軌道光滑連接于C點，小物塊與水平軌道間的動摩擦因數為

₂=0.5，開始圓盤靜止，在電動機的帶動下繞過圓心O₁的豎直軸緩慢加速轉動，某時刻小物塊沿紙面水平方向飛出（此時O₁與A連線垂直紙面）恰好沿切線進入圓弧軌道B處，經過圓弧BC進入水平軌道CD，在D處進入圓心為O₂、半徑R₃=0.5m的光滑豎直圓軌道，繞過圓軌道后沿水平軌道DF向右運動，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，不計空氣阻力，

，

，g取

。求：
(1)圓盤對小物塊m做的功；
(2)小物塊剛離開圓盤時A、B兩點間的水平距離；
(3)假設豎直圓軌道可以左右移動，要使小物塊能夠通過豎直圓軌道，求豎直圓軌道底端D與圓弧軌道底端C之間的距離范圍。
說明: figure

【答案】(1)3.2J；(2)1.2m；(3)不大于1m
【詳解】
(1)小物塊剛滑出圓盤時

得

由動能定理可得

得

(2)物塊正好切入圓弧軌道BC，由平拋運動知識可得，在B處物塊的豎直分速度為

運動時間

AB間的水平距離

聯立解得

(3)物塊剛好通過豎直完整團軌道最高點E處

由B到E點由動能定理得

又

可得

即DC之間距離不大于1m。
29．如圖所示，光滑斜面與半徑為R的光滑圓弧軌道平滑連接并固定在豎直面內。小球A、B質量分別為m、βm（β為待定系數）。A球從斜面上某點由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點的B球相撞，碰撞后A、B球能達到的最大高度均為

R，碰撞中無機械能損失。重力加速度為G。求：
(1)A球釋放點到軌道最低點的高度h；
(2)小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結束時各自的速度。
說明: figure

【答案】(1)2R；(2)見解析
【詳解】
(1)設A球到達軌道最低點與B碰撞前的速度大小為v₀，A、B碰撞后的速度分別為v₁、v₂，取向右為正方向，A、B球碰撞后沿光滑軌道上升到最高點的過程，只有重力做功，機械能守恒

又因碰撞過程中沒有機械能損失，則有

解得

方向向左

方向向右；
A、B球碰撞時，水平方向上外力為0，A、B系統動能守恒，即

解得
β=3

A球從釋放到最低點的過程中只有重力做功，機械能守恒

解得A球釋放點到最低點的高度
h=2R
(2)設A、B球第二次碰撞剛結束時的速度分別為V₁、V₂，則
eqIdadd455cc89694d85b51245e0c6efd1a9

解得

第二次碰后，B靜止，A將沿軌道上升到開始釋放時的位置，然后將重復前面的過程。
由此可得：
當n為奇數時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與第一次碰撞剛結束時相同。即A的速度大小為

，方向向左；B的速度大小為

，方向向右。
當n為偶數時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與第二次碰撞剛結束時相同。即A的速度大小為2

，方向向左；B的速度大小為零。
30．如圖所示，一工件置于光滑水平地面上，其AB段為一半徑R=0.5m的光滑圓弧軌道，BC段為一長度L=0.5m的粗糙水平軌道，二者相切于B點，整個軌道位于同一豎直平面內，P點為圓弧軌道上的一確定點。一可視為質點的物塊，其質量m=0.2kg，與BC間的動摩擦因數μ=0.4.工件質量M=0.8kg，取g=10m/s²。
（1）若工件固定不動，將物塊由P點無初速度釋放，滑至C點時恰好靜止，求P、C兩點間的高度差h；
（2）若工件可以在光滑水平地面自由滑動，將物塊由P點無初速度釋放，求工件停止運動時相對地面的位移。
說明: figure

【答案】（1）0.2m；（2）0.18m，方向向右
【詳解】
（1）物塊從P點下滑經B點至C點的整個過程根據能量守恒得:
mgh-μmgL=0
代入數據得
h=0.2m
（2）由幾何知識可以知道P點到B點的水平距離為
L₁=0.4m
設在BC段物塊相對于工件的位移為x，根據動能定理有
mgh-μmgx=0
計算得出
x=0.5m
在物塊與工件相對運動的過程中，設物塊向左的位移大小為x₁，工件向右的位移為x₂，則
x₁+x₂=x+L₁=0.9m
因為工件和物塊組成的系統在水平方向上不受力所以系統在水平方向上動量守恒，即
mx₁-Mx₂=0
則

可得x₂=0.18m，方向向右。

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重難點08簡潔的動能定理

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