重難點11碰撞中的守恒

1．如圖所示，質(zhì)量分別為m₁和m₂的小球A、B在光滑水平面上分別以速度v₁、v₂同向運動，并發(fā)生對心碰撞，碰后B被右側(cè)墻壁原速率彈回，又與A碰撞，再一次碰撞后兩球都靜止，則第一次碰后A速度的大小為(　　)
說明: figure

A．

B．

C．

D．

【答案】C
【詳解】
設(shè)小球A、B第一次碰后速度的大小分別為v₁′和v₂′，由動量守恒定律得
m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂′
兩個小球再一次碰撞時
m₁v₁′-m₂v₂′=0
得
v₁′=

故選C。
2．一機槍架在湖中小船上，船正以1 m/s的速度前進，小船及機槍總質(zhì)量M=200kg，每顆子彈質(zhì)量為m=20 g，在水平方向機槍以v=600 m/s的對地速度射出子彈，打出5顆子彈后船的速度可能為（　　）
A．1.4 m/s B．2 m/s C．0.8 m/s D．0.5 m/s
【答案】C
【詳解】
若子彈射出方向與船前進的方向在同一直線上，則子彈、機槍和小船組成的系統(tǒng)動量守恒，取船前進的方向為正方向，若子彈向船前進的方向射出，則有
Mv₀=（M－5m）v′+5mv
解得
v₁′=

=0.7 m/s
若子彈向船前進的反方向射出，則有
Mv₀=（M－5m）v′-5mv
解得
v₂′=

=1.3 m/s
當(dāng)子彈對地的速度方向與船原來的速度方向的夾角θ在0°<θ<180°內(nèi)，可見船速應(yīng)在0.7~1.3 m/s之間。
故選C。
3．如圖所示，光滑水平面上有質(zhì)量為

足夠長的木板，木板上放一質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點的小木塊。第一次使小木塊獲得向右的水平初速度

，木板靜止，第二次使木板獲得向右的水平初速度

。木塊靜止。兩次運動均在木板上留下完整劃痕，則兩次劃痕長度之比為（　　）
說明: figure

A．

B．

C．

D．

【答案】A
【詳解】
木塊從開始到相對長木板靜止的過程中，木塊和木板系統(tǒng)水平方向動量守恒，取向右為正方向，則有

解得

根據(jù)能量守恒定律有

解得劃痕長度

同理可求，當(dāng)木板的初速度為

時的劃痕長度。兩次劃痕長度之比為

。
故選A。
4．A、B兩物體在光滑水平面上沿同一直線運動，如圖所示為A追上B發(fā)生碰撞前后的

圖線，由圖線可以判斷碰撞前后A的動能改變量大小

與B的動能改變量大小

之比為（　　）

A．3：2 B．4：3 C．5：4 D．1：1
【答案】D
【詳解】
A追上B發(fā)生碰撞前后的

圖線，所以碰前

，

；碰后

，

，根據(jù)動量守恒定理

解得：

則

故選D。
5．如圖所示，光滑水平面上靜止放置著一輛平板車A，車上有兩個小滑塊B和C，A、B、C三者的質(zhì)量分別是3m、2m、m。B、C與車之間的動摩擦因數(shù)均為μ。開始時B、C分別從平板車的左、右兩端同時以大小相同的初速度v₀相向滑行。已知滑塊B、C沒有相碰且最后都沒有脫離平板車，則（　　）
說明: figure

A．當(dāng)滑塊C的速度為零時，滑塊B的速度也為零
B．最終車的速度大小為

C．整個運動過程中，系統(tǒng)產(chǎn)熱最多為

D．整個運動過程中，B的加速度不變
【答案】C
【詳解】
B．A、B、C組成的系統(tǒng)所受合外力為零，系統(tǒng)動量守恒，最終三者相對靜止，設(shè)最終系統(tǒng)的速度為v，以向右為正方向，由動量守恒定律得

解得

故B錯誤；
A．以水平向右為正方向，設(shè)A、B、C三者開始運動時的加速度分別為a₁、a₂、a₃，由牛頓第二定律得

，

開始A、B、C的速度分別為0、v₀、-v₀，①若A、B先共速，設(shè)A、B經(jīng)過時間t₁共速，則有

解得

②若B、C先共速，設(shè)B、C經(jīng)過時間t₂共速，則有

解得

從上面分析可以看出t₁＜t₂，所以①情況成立，即A、B先共速，A、B共速后一起向右做減速運動，C繼續(xù)向左做減速運動，C速度減為零后反向向右做加速運動，最終A、B、C速度相等，三者相對靜止一起向右做勻速直線運動，因此C速度為零時B的速度向右不為零，故A錯誤；
C．由能量守恒定律可知，系統(tǒng)損失的動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，則有

故C正確；
D．開始B相對A滑動時的加速度大小

AB共速后一起做減速運動，B的加速度大小

故D錯誤。
故選C。
6．小車靜止在光滑水平面上，站在車上的人練習(xí)打靶，靶裝在車上的另一端，如圖所示。已知車、人、槍和靶的總質(zhì)量為M（不含子彈），每顆子彈質(zhì)量為m，共n發(fā)，打靶時，槍口到靶的距離為d。若每發(fā)子彈打入靶中，就留在靶里，且待前一發(fā)打入靶中后，再打下一發(fā)。則以下說法正確的是（　　）
說明: figure

A．待打完n發(fā)子彈后，小車應(yīng)停在最初的位置
B．待打完n發(fā)子彈后，小車應(yīng)停在射擊之前位置的左方
C．在每一發(fā)子彈的射擊過程中，小車所發(fā)生的位移相同，大小均為

D．在每一發(fā)子彈的射擊過程中，小車所發(fā)生的位移不相同
【答案】C
【詳解】
子彈、槍、人、車系統(tǒng)水平方向不受外力，水平方向動量一直守恒，子彈射擊前系統(tǒng)總動量為零，子彈射入靶后總動量也為零，故仍然是靜止的；設(shè)子彈出口速度為v，車向右運動速度大小為v′，根據(jù)動量守恒定律，有

子彈勻速前進的同時，車向右勻速運動，故

聯(lián)立解得

，

故車向右運動距離為

每顆子彈從發(fā)射到擊中靶過程，車均向右運動

，故n顆子彈發(fā)射完畢后，小車向右運動

由于整個系統(tǒng)動量守恒，初動量為零，故打完n發(fā)后，車靜止不動，故C正確，ABD錯誤。
故選C。
7．光滑圓弧軌道AB與水平軌道BC相切于B點，一質(zhì)量為m的物塊甲從圓弧軌道上的A點由靜止下滑，在水平軌道上滑行的最大距離為s。在B點放置另一質(zhì)量為3m的物塊乙后，再把質(zhì)量為m的物塊甲從A點由靜止釋放，已知甲，乙兩物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)相同，兩物塊均可視為質(zhì)點，則兩物塊碰撞后粘連在一起繼續(xù)向右運動的最大距離為（　　）
說明: figure

A．4s B．

C．

D．

【答案】D
【詳解】
由動能定理可知，對甲下滑的過程有

對甲在水平軌道上滑行時有

兩物塊碰撞時有

兩物塊粘連后在水平軌道上滑行時有

解得

故選D。
8．如圖所示，小球A質(zhì)量為m；B為

圓弧面的槽，質(zhì)量為M，半徑為R，其軌道末端與水平地面相切。水平地面有緊密相挨的若干個小球，質(zhì)量均為m，右邊有一固定的彈性擋板。現(xiàn)讓小球A從B的最高點的正上方距地面高為h處靜止釋放，經(jīng)B末端滑出，與水平面上的小球發(fā)生碰撞。設(shè)小球間、小球與擋板間的碰撞均為彈性正碰，所有接觸面均光滑，則（　　）
說明: figure

A．經(jīng)過足夠長的時間后，原來水平面上的小球都將靜止，而A和B向左做勻速運動
B．整個過程，小球A與B組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒
C．整個過程，小球A機械能守恒
D．經(jīng)過足夠長的時間后，所有小球和物體B都將靜止
【答案】A
【詳解】
C．從小球A和B開始接觸至滑到B末端的過程，A、B系統(tǒng)機械能守恒，故C錯誤；
B．小球A與地面若干小球的碰撞以及其他小球間的碰撞皆為彈性碰撞，因質(zhì)量相等，故速度交換。最終小球A動量等大反向，再去追B，而B在此過程中一直做勻速運動，故A、B系統(tǒng)水平方向動量不守恒，故B錯誤；
AD．每次和A作用后B都加速，而A減速，經(jīng)過足夠長的時間后，A球返回向左運動時速度小于B，不再能追上B，故最終A和B向左做勻速運動，原來水平面上的小球都將靜止在原處，故A正確，D錯誤。
故選A。
9．如圖所示，光滑水平面上A球向右運動與靜止的B球發(fā)生正碰，A球碰撞前后速率之比為4：1。碰后A、B球均向右運動滑上光滑斜面，沿斜面上升的最大高度之比為1：4，已知斜面與水平面平滑連接，兩球質(zhì)量分別為m_A、m_B，碰撞前后兩球總動能分別為E_k₁、E_k₂，則（　　）
說明: figure

A．m_A：m_B =4：3 B．m_A：m_B =2：3 C．E_k₁：E_k₂=16：7 D．E_k₁：E_k₂=16：13
【答案】BC
【詳解】
光滑水平面上A球向右運動與靜止的B球發(fā)生正碰，根據(jù)動量守恒和能量守恒有

，

碰撞前后兩球的總動能為

，

A球碰撞前后速率之比為4：1。沿斜面上升的最大高度之比為1：4，解得
m_A：m_B =2：3，E_k₁：E_k₂=16：7
故選BC。
10．如圖所示，水平光滑地面上停放著一輛質(zhì)量為M的小車，其左側(cè)有半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道AB，軌道最低點B與水平軌道BC相切，整個軌道處于同一豎直平面內(nèi)。將質(zhì)量為m的物塊(可視為質(zhì)點)從A點無初速釋放，物塊沿軌道滑行至軌道末端C處恰好沒有滑出。設(shè)重力加速度為g，氣阻力可忽略不計。關(guān)于物塊從A位置運動至C位置的過程中，下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．小車和物塊構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒
B．物塊與小車組成的系統(tǒng)機械能減少
C．物塊運動過程中的最大速度為

D．小車運動過程中的最大速度為

【答案】BD
【詳解】
A．物塊沿圓弧軌道AB下滑的過程中，系統(tǒng)處于失重狀態(tài)，加速度方向豎直向下，則系統(tǒng)在豎直方向受到的合外力不為零，則系統(tǒng)動量不守恒，A錯誤；
B．質(zhì)量為m的物塊從A點無初速釋放，物塊沿軌道滑行至軌道末端C處，水平軌道BC存在摩擦，物塊與小車組成的系統(tǒng)機械能減少，B正確；
C．如果小車固定不動，物塊到達水平軌道時速度最大，由機械能守恒定律得

解得

現(xiàn)在物塊下滑時，小車滑動，小車獲得了動能，則物塊的速度小于

，C錯誤；
D．物塊到達B點時小車速度最大，設(shè)為v₂，此時物塊的速度大小為v₁．小車與物塊組成的系統(tǒng)在水平方向動量守恒，物塊沿圓弧軌道AB下滑的過程中，以向右為正方向，由動量守恒定律得

由機械能守恒定律得

聯(lián)立解得

D正確。
故選BD。
11．如圖，半徑為

的光滑曲面軌道固定在平面內(nèi)，下端出口處在水平方向上。一質(zhì)量為

的平板車靜止在光滑的水平地面上，右端緊靠曲面軌道，木板車上表面恰好與曲面軌道下端相平。一質(zhì)量為

的小物塊從曲面軌道上某點由靜止釋放，該點距曲面下端的高度為

，小物塊經(jīng)曲面軌道下滑后滑上木板車，最終恰好未從不板車的左端滑下。已知小物塊可視為質(zhì)點，與木板車間的動摩擦因數(shù)

，重力加速度

，則說法正確的是（　　）
說明: figure

A．小物塊滑到曲面軌道下端時對軌道的壓力大小為18N
B．木板車加速運動時的加速度為

C．木板車的長度為1m
D．小物塊與木板車間滑動過程中產(chǎn)生的熱量為6J
【答案】ACD
【詳解】
A．小物塊沿曲面下滑過程機械能守恒，則有

解得

在軌道最下端由牛頓第二定律得

解得

由牛頓第三定律知小物塊對軌道的壓力大小為

A項正確；
B．小物塊滑上平板車后對平板車后對平板車由牛頓第二定律得

解得

B項錯誤；
D．由動量守恒定律得

由能量守恒定律得

聯(lián)立解得小物塊與平板車間滑動過程中產(chǎn)生的熱量為

D項正確；
C．又

解得平板車的長度為

C項正確。
故選ACD。
12．如圖，質(zhì)量為M的小車靜止在光滑水平面上，小車AB段是半徑為R的四分之一圓弧光滑圓弧，BC較是長為

的水平粗糙軌道，兩段軌道相切于B點。一質(zhì)量為m的滑塊在小車從A總由靜止開始沿軌道滑下，然后滑人BC軌道，最后恰好停在C點，已知小車質(zhì)量M=m，滑塊與軌道BC間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，則（　　）

A．小車和滑塊組成的系統(tǒng)動量守恒
B．滑塊運動過程中，最大速度為

C．滑塊運動過程中對小車的最大壓力為mg
D．滑塊從B到C運動過程中，小車的位移為

【答案】BD
【詳解】
A．在水平方向上，小車和滑塊組成的系統(tǒng)所受合外力為零，因此在這一方向上，小車和滑塊動量守恒。故A錯誤；
B．滑塊剛滑到

點時速度最大，取水平向右為正方向，由動量守恒定律和機械能守恒分別得

解得

故B正確；
C．滑塊剛滑到

點時速度最大，對小車的壓力最大，由合力提供向心力得

解得

故C錯誤；
D．滑塊從B到C運動過程中，系統(tǒng)動量守恒，由人船模型得

又

解得

故D正確。
故選BD。
13．如圖所示，在光滑的水平面上放有兩個小球A和B，其質(zhì)量m_A>m_B，B球上固定一輕質(zhì)彈簧。A球以速率v去碰撞靜止的B球，則（　　）
說明: figure

A．A球的最小速率為零
B．B球的最大速率為

C．當(dāng)彈簧壓縮到最短時，B球的速率最大
D．兩球的動能最小值為 eqId37f60e80e0864cfcb89a9b775cfa920a

【答案】BD
【詳解】
ABC．A球與彈簧接觸后，彈簧被壓縮，彈簧對A球產(chǎn)生向左的彈力，對B球產(chǎn)生向右的彈力，故A球做減速運動，B球做加速運動，當(dāng)B球的速度等于A球的速度時彈簧的壓縮量最大，此后A球繼續(xù)減速，B球速度繼續(xù)增大，彈簧壓縮量減小，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時，B球速度最大，A球速度最小，此時滿足動量守恒和能量守恒

解得

，

因為

可知A球的最小速率不為零，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時，B球最大速率為

，故AC錯誤，B正確；
D．兩球共速時，彈簧壓縮最短，彈性勢能最大，故此時兩球動能最小，根據(jù)動量守恒和能量守恒有

聯(lián)立可得
eqId6bdd5ab2a899419c8fd59ff8765f750a

故D正確。
故選BD。
14．如圖甲所示，一滑塊隨足夠長的水平傳送帶一起向右勻速運動，滑塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)

。質(zhì)量

的子彈水平向左射入滑塊并留在其中（該過程時間極短），取水平向左的方向為正方向，子彈在整個運動過程中的

圖象如圖乙所示，已知傳送帶的速度始終保持不變，滑塊最后恰好能從傳送帶的右端水平飛出，

。下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．傳送帶的速度大小為

B．滑塊的質(zhì)量為

C．滑塊向右運動過程中與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量為

D．若滑塊可視為質(zhì)點且傳送帶與轉(zhuǎn)動輪間不打滑，則轉(zhuǎn)動輪的半徑R為

【答案】CD
【分析】
根據(jù)題中“子彈水平向左射入滑塊并留在其中”、“水平傳送帶”可知，本題考查動量守恒與傳送帶相結(jié)合問題，應(yīng)用動量守恒定律、牛頓第二定律、摩擦做功等知識分析計算。
【詳解】
A．子彈射入滑塊并留在其中，滑塊（含子彈）先向左做減速運動，然后向右加速，最后向右勻速，向右勻速運動的速度大小為

，則傳送帶的速度大小為

，故A錯誤；
B．子彈未射入滑塊前，滑塊向右的速度大小為

，子彈射入滑塊瞬間，子彈和滑塊的速度變?yōu)橄蜃蟮?img alt="eqId43e32deb66ec4de49ce96c1df761f9e4" height="19" src="file:///C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image260.gif" width="36" />；子彈射入滑塊瞬間，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)動量守恒，以向左為正，據(jù)動量守恒得

即

解得滑塊的質(zhì)量

故B錯誤；
C．滑塊（含子彈）先向左做減速運動時，據(jù)牛頓第二定律可得

解得滑塊向左運動的加速度大小

滑塊（含子彈）先向左做減速運動，再向右做加速運動，滑塊向右加速的加速度大小

向右加速的時間為

滑塊（含子彈）相對傳送帶的位移

運動過程中與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量

故C正確；
D．滑塊最后恰好能從傳送帶的右端水平飛出，則

解得轉(zhuǎn)動輪的半徑

故D正確。
故選CD。
15．如圖所示，一質(zhì)量為M的長直木板放在光滑的水平地面上，木板左端放有一質(zhì)量為m的木塊，木塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ，在長直木板右方有一豎直的墻。使木板與木塊以共同的速度v₀向右運動，某時刻木板與墻發(fā)生彈性碰撞（碰撞時間極短），設(shè)木板足夠長，木塊始終在木板上，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
說明: figure

A．如果M=2m，木板只與墻壁碰撞一次，整個運動過程中摩擦生熱的大小為

B．如果M=m，木板只與墻壁碰撞一次，木塊相對木板的位移大小為

C．如果M=0.5m，木板第100次與墻壁發(fā)生碰撞前瞬間的速度大小為 eqId0ba6470aff584e26b764200ef28f929f

D．如果M=0.5m，木板最終停在墻的邊緣，在整個過程中墻對木板的沖量大小為1.5mv₀
【答案】ACD
【詳解】
A．木板與墻發(fā)生彈性碰撞，碰撞后速度等大反向，如果

，合動量方向向左，則木板只與墻壁碰撞一次，最后二者以速度v向左做勻速直線運動，
取向左為正，根據(jù)動量守恒定律可得

解得

整個運動過程中摩擦生熱的大小為

故A正確；
B．如果M=m，木板與墻壁碰撞后，二者的合動量為零，最后木板靜止時木塊也靜止，木板只與墻壁碰撞一次，
根據(jù)能量關(guān)系可得

解得木塊相對木板的位移大小為

；
故B錯誤；
C．如果

，木板與墻發(fā)生彈性碰撞，碰撞后速度等大反向，碰撞后二者的合動量方向向右，第一次共速后的速度為v₁，取向右為正，根據(jù)動量守恒定律可得

解得

所以共速前木板沒有與墻壁碰撞，二者以共同速度v₁勻速運動，木板第二次與墻壁碰撞時的速度為v₁；
同理可得，木板與墻壁第二次碰撞后達到共速的速度為

木板第3次與墻壁碰撞時的速度為

以此類推，木板第100次與墻壁碰撞的速度為

故C正確；
D．如果M=0.5m，木板最終停在墻的邊緣，全過程根據(jù)動量定理可得，在整個過程中墻對木板的沖量大小為

故D正確；
故選ACD。
16．如圖，長度l₀=0.9m的木板a靜止于光滑水平面上，左端與固定在墻面上的水平輕彈簧相連，彈簧的勁度系數(shù)k=15N/m；木板左端放有一質(zhì)量m₀=1.2kg的小物塊（可視為質(zhì)點），質(zhì)量m=0.4kg的足夠長木板b與a等高，靜止于水平面上a的右側(cè)，距離b右側(cè)x₀處固定有擋板c。某時刻小物塊以速度v₀=9 m/s向右開始運動，a向右運動到最遠(yuǎn)時恰好與b相遇但不相撞，在a某次到達最遠(yuǎn)處時，物塊剛好離開a滑到b上，此過程中物塊的速度始終大于木板a的速度，b與擋板c碰撞時無機械能損失，物塊與a、b之間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.5。不計空氣阻力，g=10m/s²。
(1)證明：物塊在木板a上滑動過程中，a做簡諧運動；
(2)若b與c碰撞前物塊和b已達共速，求x₀滿足的最小值；
(3)在b與c發(fā)生第5次碰撞后將c撤走，求b的最終速度。
說明: figure

【答案】(1)見解析；(2)

；(3)

【詳解】
(1)木板

受到的合外力，取向右為正方向

令

則有

即

在彈簧伸長

時處于平衡位置，在該位置附近做簡諧運動；
(2)可知木板

做簡諧運動的振幅

對物塊從開始運動至滑離木板

，根據(jù)動能定理則有

解得

物塊在長木板

滑動，根據(jù)動量守恒定律則有

解得

對長木板

，根據(jù)動能定理則有

解得

(3)

與

第一次碰撞后到第二次碰撞前，根據(jù)動量守恒定律則有

解得

與

第二次碰撞后到第三次碰撞前，根據(jù)動量守恒定律則有

解得

與

第五次碰撞后到物塊與

共速運動

即

最終以

的速度勻速向右運動
17．如圖所示，LMN是豎直平面內(nèi)固定的光滑軌道，MN水平且足夠長，LM下端與MN相切。質(zhì)量為2kg的小球B與一輕彈簧相連，并靜止在水平軌道上，質(zhì)量為4kg的小球A從LM上距水平軌道高為h=0.45m處由靜止釋放，在A球進入水平軌道之后與彈簧正碰并壓縮彈簧但不粘連．設(shè)小球A通過M點時沒有機械能損失，重力加速度為g（g取10m/s²）。求：
(1)A球與彈簧碰前瞬間的速度大小v₀；
(2)彈簧的最大彈性勢能E_P；
(3)A、B兩球最終的速度v_A、v_B的大小。
說明: figure

【答案】(1) v₀=3m/s；(2) E_P=6J；(3) v_A=1m/s，v_B=4m/s
【詳解】
(1)設(shè)A球質(zhì)量m₁，A球下滑的過程，由機械能守恒得

代入數(shù)據(jù)可解得v₁=3m/s。
(2)設(shè)B球的質(zhì)量為m₂，A球進入水平軌道之后與彈簧正碰并壓縮彈簧過程，A、B兩球組成的系統(tǒng)動量守恒，當(dāng)A、B相距最近時，兩球速度相等，彈簧的彈性勢能最大，設(shè)此時A、B的速度為v₁，由動量守恒得
m₁ v₀=( m₁+ m₂) v₁
由能量守恒可得彈簧的彈性勢能

聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)可解得

。
(3) 當(dāng)A、B相距最近時，兩球速度相等之后，由于彈力作用，B將加速，A將減速，它們將相互遠(yuǎn)離，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時，設(shè)A、B的速度分別為v_A、v_B，之后A、B分離，這也就是它們的最終速度，由動量守恒可得
m₁ v₀= m₁v_A+ m₂ v_B
再根據(jù)能量守恒可得

聯(lián)立兩式，代入數(shù)據(jù)可解得
v_A=1m/s，v_B=4m/s
18．如圖所示，用長為

的不可伸長的輕繩將質(zhì)量為

的小球C懸掛于O點，小球C靜止。質(zhì)量為

的物塊A放在質(zhì)量也為

的木板B的右端，以共同的速度的

，沿著光滑水平面向著小球滑去，小球與物塊發(fā)生彈性正碰，物塊與小球均可視為質(zhì)點，且小球C返回過程不會碰到物塊A，不計一切阻力，重力加速度

。求：
(1)碰后瞬間小球C的速度大小；
(2)若物塊與木板間的動摩擦因數(shù)為0.1，木板B至少要多長，物塊A才不會從長木板的上表面滑出。
說明: figure

【答案】(1)

；(2)

【詳解】
(1)設(shè)物塊質(zhì)量為

，小球質(zhì)量為

，由于發(fā)生彈性正碰，則由動量守恒得

由機械能守恒得

解得

，

(2)此后物塊加速，木板減速，物塊剛好和木板共速時，物塊運動到木板左端，設(shè)木板質(zhì)量為

，共速速度為

，由動量守恒得

由能量守恒得

解得

19．如圖所示，AB為足夠長的光滑斜面，斜面底端B處有一小段光滑圓弧與水平面BE平滑相連，水平面的CD部分粗糙，其長度L=1m，其余部分光滑，DE部分長度為1m，E點與半徑R=1m的豎直半圓形軌道相接，O為軌道圓心，E為最低點，F為最高點。將質(zhì)量m₁=0.5kg的物塊甲從斜面上由靜止釋放，如果物塊甲能夠穿過CD區(qū)域，它將與靜止在D點右側(cè)的質(zhì)量為m₂=1kg的物塊乙發(fā)生彈性正碰，已知物塊甲、乙與CD面間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.25，且物塊均可看成質(zhì)點，g取10m/s²。
(1)若物塊乙被碰后恰好能通過圓軌道最高點F，求其在水平面BE上的落點到E點的距離x；
(2)若物塊甲在斜面上釋放的高度h₀為11.5m，求物塊乙被碰后運動至圓心等高點時對軌道的壓力F_N大小；
(3)用質(zhì)量m₃=1kg的物塊丙取代物塊甲（甲和丙材料相同），為使物塊丙能夠與物塊乙碰撞，并且碰撞次數(shù)不超過2次，求物塊丙在斜面上釋放的高度h應(yīng)在什么范圍？（已知所有碰撞都是彈性正碰，且不考慮物塊乙脫離軌道后與物塊丙可能的碰撞）
說明: figure

【答案】(1)2m；(2)80N；(3)0.25m<h≤0.75m或h>1.25m
【詳解】
(1)物塊乙恰好過最高點，向心力完全由重力提供

得

物塊乙通過最高點后做平拋運動：豎直方向

水平方向

可得，物塊乙在水平軌道上的落點到E點的距離為

(2)設(shè)物塊甲與物塊乙碰前速度為v₀，由動能定理可知

得

物塊甲與乙發(fā)生完全彈性正碰，動量守恒并且機械能守恒

得

設(shè)乙物塊通過圓心等高點時的速度為v₃，根據(jù)機械能守恒，則

設(shè)物塊乙運動至圓心等高點時對軌道的壓力大小為F_N，得

根據(jù)牛頓第三定律，物塊乙對軌道的壓力

方向水平向右。即物塊乙對軌道的壓力大小為80N。
(3)要使物塊丙能夠與物塊乙碰撞

即

因為質(zhì)量相等的兩個物體發(fā)生彈性碰撞，丙和乙交換速度，物塊乙滑到圓弧上返回后，第2次與物塊丙發(fā)生彈性正碰，交換速度。要使物塊丙不再與物塊乙發(fā)生碰撞

即

如果物塊丙與物塊乙發(fā)生碰撞后，物塊乙獲得速度v₄，在半圓形軌道上運動高度超過O點等高點，則物塊乙將脫離圓軌道，不再與物塊丙發(fā)生碰撞

即

丙與乙碰前速度設(shè)為v₅，則有

在物塊丙下滑至與物塊乙碰前，由動能定理列式

得

綜上

或

20．如圖所示，一“U型槽”滑塊，由兩個光滑內(nèi)表面的

圓孤形槽

、

和粗糙水平面

組合而成，質(zhì)量

，置于光滑的水平面上，其左端有一固定擋板

，另一質(zhì)量

的物塊從

點正上方距離

水平面的高度

處自由下落，恰好從

相切進入槽內(nèi)，通過

部分進入圓弧槽

。已知“U型槽”圓弧的半徑

，水平軌道部分BC長

，物塊與“U型槽”水平軌道間的動摩擦因數(shù)

，重力加速度

。
(1)求物塊第一次經(jīng)過

點對“圓弧型槽

”的壓力

；
(2)求物塊從“型槽”

點分離后能到達的距離水平面的最大高度

；
(3)當(dāng)“U型槽”的速度最大時，求物塊的速度

，最終物塊的運動達到穩(wěn)定狀態(tài)，求物塊在

部分運動的總路程

。

【答案】(1)

；(2)

；(3)

；

【詳解】
(1)物塊由靜止到第一次過

點，槽靜止不動，對物塊由機械能守恒

在

點

對槽的壓力

(2)物塊從

點離開“U型槽”時“U型槽”的速度為

，對物塊和槽組成的系統(tǒng)，由水平方向的動量守恒

物塊從

點到離“U型槽”后的最高點，對物塊和槽組成的系統(tǒng)，由能量守恒

聯(lián)立解得

(3)當(dāng)物塊從“U型槽”

時的速度最大時，由水平方向的動量守恒和能量守恒

解得

方向水平向左

最終物塊與“U型槽”相對靜止，由能量守恒

物塊在

部分運動的總路程

21．如圖甲所示，半徑

的光滑

圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，B為軌道的最低點，B點右側(cè)的光滑水平面上緊挨B點有一靜止的小平板車，平板車質(zhì)量

，長度

，小車的上表面與B點等高，距地面高度

。質(zhì)量

的物塊（可視為質(zhì)點）從圓弧最高點A由靜止釋放。取

，試求：
(1)物塊滑到軌道上的B點時對軌道的壓力大小；
(2)若解除平板車的鎖定，物塊與平板車上表面間的動摩擦因數(shù)

，物塊仍從圓弧最高點A由靜止釋放，求物塊落地時距平板車右端的水平距離；
(3)若鎖定平板車并在上表面鋪上一種特殊材料，其動摩擦因數(shù)從左向右隨距離均勻變化，如圖乙所示，求物塊滑離平板車時的速率。
說明: figure

【答案】(1)30N；(2)0.2m；(3)1m/s
【詳解】
(1)頂端滑到B點，根據(jù)動能定理

在B點，根據(jù)牛頓第二定律

代入數(shù)據(jù)解得

由牛頓第三定律滑到軌道上的B點時對軌道的壓力

(2)物塊與平板車組成的系統(tǒng)動量守恒，物塊滑到平板車右端時

代入數(shù)據(jù)解得

物塊平拋運動的時間

物塊落地時距平板車右端的水平距離為

(3)物塊在平板車上滑行時摩擦力做功

根據(jù)動能定理

代入數(shù)據(jù)解得

22．如圖所示，水平地面上左側(cè)有一質(zhì)量為m_C=2kg的四分之一光滑圓弧斜槽C，斜槽末端切線水平，右側(cè)有一質(zhì)量為m_B=3kg的帶擋板P的木板B，木板上表面水平且光滑，木板與地面的動摩擦因數(shù)為μ=0.25，斜槽末端和木板左端平滑過渡但不粘連。某時刻一質(zhì)量為m_A=lkg的可視為質(zhì)點的光滑小球A從斜槽項端靜止?jié)L下，重力加速度為g=10m/s²，求：
(1)若光滑圓弧斜槽C不固定，圓弧半徑為R=3m，且不計斜槽C與地面的摩擦，求小球滾動到斜槽末端時斜槽的動能；
(2)若斜槽C固定在地面上，小球從斜槽末端滾上木板左端時的速度為v₀=lm/s，小球滾上木板上的同時，外界給木板施加大小為v₀=lm/s的水平向右初速度，并且同時分別在小球上和木板上施加水平向右的恒力F₁與F₂，且F₁=F₂=5N。當(dāng)小球運動到木板右端時(與擋板碰前的瞬間) ，木板的速度剛好減為零，之后小球與木板的擋板發(fā)生第1次相碰，以后會發(fā)生多次磁撞。已知小球與擋板的碰撞都是彈性碰撞且碰撞時間極短，小球始終在木板上運動。求：
①小球與擋板第1次碰撞后的瞬間，木板的速度大小；
②小球與擋板第1次碰撞后至第2020次碰撞后瞬間的過程中F₁與F₂做功之和。
說明: figure

【答案】(1)

；(2) ①

，②

【詳解】
(1)設(shè)小球滾動到斜槽末端時，

與

的速度大小分別為

、

，

與

水平方向動量守恒，則

與

系統(tǒng)機械能守恒，則

解得斜槽動能

(2) ①小球滾到木板上后，小球與木板的加速度大小分別為

與

，則有

木板開始運動到速度第一次減為零時用時為

，則有

小球第一次與擋板碰前瞬間速度為

另設(shè)第一次碰完后小球與木板的速度分別為

、

，

與

動量守恒，則

與

系統(tǒng)動能不變，則

聯(lián)立解得

②由題可知，第一次碰撞后，小球以

沿木板向左勻減速運動再反向勻加速，木板以

向右勻減速運動，木板速度再次減為零的時間

小球的速度

此時，小球的位移

木板的位移

即小球、木板第二次相碰前瞬間的速度與第一次相碰前瞬間的速度相同，以后小球、木板重復(fù)前面的運動過程；則第一次碰撞與第2020次碰撞后瞬間，小球與木板總位移相同，都為

則此過程

與

做功之和

聯(lián)立解得

23．如圖所示，abc是光滑的軌道，其中ab水平，bc為與ab相切的位于豎直平面內(nèi)的半圓軌道，半徑R=0.30m。質(zhì)量m=0.20kg的小球A靜止在軌道上，另一質(zhì)量M=0.60kg、速度v₀=5.5m/s的小球B與小球A正碰。已知相碰后小球A經(jīng)過半圓的最高點c落到軌道上距b點為

處，重力加速度g取10m/s²，求：碰撞結(jié)束時，小球A和B的速度大小。
說明: figure

【答案】6m/s，3.5m/s
【分析】
根據(jù)平拋運動的規(guī)律可求得A球在c點的速度，根據(jù)機械能守恒可求得A球碰后的速度，再結(jié)合碰撞過程動量守恒求得B球碰后的速度。
【詳解】
小球A從軌道最高點飛出后做平拋運動，水平方向有
L＝v_ct
豎直方向有

聯(lián)立可得
v_c＝

設(shè)A球被碰后的速度為v_A，從b到c的過程，由機械能守恒可得

設(shè)B球碰后的速度為v_B，B球與A球碰撞過程，由動量守恒
Mv₀＝mv_A＋Mv_B
聯(lián)立上述各式，代入數(shù)據(jù)可解得A、B球碰后的速度分別為
v_A＝6m/s，v_B＝3.5m/s
24．如圖所示，一個由半徑

的

光滑圓弧軌道和長

的粗糙直軌道BC組成的物體ABC固定在水平面上，一可以自由滑動的長木板緊靠在C端處于靜止?fàn)顟B(tài)，長木板的上表面與軌道BC等高，滑塊P、

（可視為質(zhì)點

靜止在B處，滑塊P、Q間夾有少量炸藥，引爆后物體P恰好能上升到A點，物體Q向右運動滑上長木板。已知P質(zhì)量為

，Q質(zhì)量

，長木板質(zhì)量為

，物體Q與BC間動摩因數(shù)

，Q與長木板上表面間動摩擦因數(shù)為

，長木板下表面和地面光滑。求：
(1)炸藥引爆后P和Q獲得的總機械能；
(2)若要滑塊Q恰好不滑離木板，求長木板的長度L；
(3)當(dāng)木板的長度為第(2)問中的長度，若在距長木板右端s米處靜止停放一質(zhì)量

的小車M，小車上表面由一個半徑

光滑

圓弧曲面和光滑水平直軌道組成，直軌道與圓弧軌道相切且同長木板上表面等高，長木板碰到小車前瞬間被制動

木板的速度在極短時間內(nèi)減為零

，求滑塊Q滑上小車M后上升的最大高度。
說明: figure

【答案】(1)96J；(2)1.8m；(3)見解析
【詳解】
(1)對P由機械能守恒定律得

解得

炸藥爆炸瞬間系統(tǒng)動量守恒，則得

解得

則炸藥引爆后P和Q獲得的總機械能為

；
(2)Q從B到C，由運動學(xué)公式得

解得

Q與長木板作用過程中動量守恒，則

解得

由能量守恒得

木板的長度為

(3)①若在共速后撞上

，則

與

水平方向動量守恒，假設(shè)上升的最大高度不超過圓弧最高點，則有

由能量守恒定律得

解得

則剛好到達圓弧軌道最高點
②若還沒有共速前已經(jīng)撞上，則由動能定理得

解得

最終

、

水平方向動量守恒

解得

則由能量守恒定律得

解得

25．如圖所示，一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管固定在水平桌面上，環(huán)內(nèi)間距相等的三位置處，分別有靜止的小球A、B、C，質(zhì)量分別為

、m₂＝m₃＝m，大小相同，它們的直徑小于管的直徑，小球球心到圓環(huán)中心的距離為R，現(xiàn)讓A以初速度v₀沿管順時針運動，設(shè)各球之間的碰撞時間極短，A與B相碰沒有機械能損失，B與C相碰后結(jié)合在一起，稱為D。求：
（1）A和B第一次碰后各自的速度大小；
（2）B和C相碰結(jié)合在一起后對管沿水平方向的壓力大小（與A碰撞之前）；
（3）A和B第一次相碰后，到A和D第一次相碰經(jīng)過的時間。
說明: figure

【答案】（1）

（負(fù)號表示逆時針方向）；

；（2）

；（3）

【詳解】
(1)設(shè)A、B碰后速度分別為

、

，根據(jù)彈性碰撞雙守恒有

①

②
由①②得

（負(fù)號表示逆時針方向）③

④
(2)設(shè)B、C碰后結(jié)合為D的速度為

，則由動量守恒，有

⑤

⑥
在B、C碰撞后與A碰撞之前，管道對D水平方向上的支持力為

⑦
由牛頓第三定律知D對管道水平方向上的壓力為

⑧
(3)A、B碰撞后，B經(jīng)時間t₁與C相碰，再經(jīng)時間t₂，D與A相碰
eqId884ecda95a4c44e9abd98aa815f92791

⑨

⑩

由⑨⑩

得A和B第一次相碰后，到A和D第一次相碰經(jīng)過的時間

26．如圖所示，光滑平臺AB左端墻壁固定有一個輕彈簧，彈簧右側(cè)有一個質(zhì)量為m的小物塊。緊靠平臺右端放置一個帶擋板的木板，木板質(zhì)量m₁=1kg，上表面長度L=0.5m，物塊與木板上表面、木板與地面的動摩擦因數(shù)均為μ=0.2，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。已知彈簧被壓縮至O點時彈性勢能為E_p0=3J，重力加速度取10m/s²。物塊與木板右端擋板發(fā)生的碰撞為完全非彈性碰撞。
(1)若m=2kg，利用外力使物塊向左壓縮彈簧至O點，然后由靜止釋放，求最終木板向右滑行的距離x。
(2)若僅改變物塊質(zhì)量m，其他條件不變，仍舊將物塊壓縮到O點由靜止釋放，問m為多大時木板向右滑行的距離最大？求出這個最大距離。
說明: figure

【答案】(1)0.11m；(2)

時，

【詳解】
(1)物塊滑上木板時

，木板靜止，設(shè)物塊離開彈簧時的速度為v₀，與木板碰撞前的速度為v₁，碰后的速度為v₂

解得

對物塊和木板，由動能定理

解得

(2)由以上各式解得
eqIdb777154be9b442c380e2f417e243c168

令

當(dāng)

x最大
與

聯(lián)立，解得

，最大距離為

當(dāng)

時x有最大值，

27．如圖所示，光滑平臺與水平傳送帶

（

為傳送帶的左端，

為傳送帶的右端）相切于

點，質(zhì)量

的小滑塊

靜置于

點，傳送帶以速率

逆時針方向運行。現(xiàn)將質(zhì)量

的小滑塊

輕放在

的中點，

到達

處與

發(fā)生彈性碰撞（碰撞時間極短）。

碰撞后瞬間傳送帶改為以速率

順時針方向運行。已知

與傳送帶間的動摩擦因數(shù)

兩點間的距離

，取重力加速度大小

均視為質(zhì)點。
(1)證明

碰撞前瞬間

的速度大小即為

；
(2)求

碰撞后瞬間

的速度大小

和

的速度大小

；
(3)求

在傳送帶上滑動過程中系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的總熱量

。

【答案】(1)見解析；(2)2m/s，1m/s；(3)0.65J
【詳解】
(1)

被放在

的中點后，先在傳送帶上向左加速滑動，設(shè)

在傳送帶上滑動的加速度大小為

，根據(jù)牛頓第二定律有

設(shè)

到達

點前已經(jīng)與傳送帶達到共同速度，則

在傳送帶上向左加速滑動的時間為

在傳送帶上向左加速滑動的位移大小為

解得

因

假設(shè)成立，故

在傳送帶上向左加速滑動時間

后與傳送帶相對靜止以速率

水平向左做勻速直線運動，

碰撞前瞬間

的速度大小即為

。
(2)經(jīng)分析可知，碰撞后瞬間

的速度不為零、方向水平向左，設(shè)

碰撞后瞬間

的速度方向也水平向左，以水平向左為正方向，根據(jù)動量守恒定律有

根據(jù)能量守恒定律有

解得

即

碰撞后瞬間

的速度大小為

、方向水平向右。
(3)由(1)可得

碰撞前，傳送帶相對

的位移大小為

該過程中系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量為：

設(shè)

碰撞后，

在傳送帶上向右加速滑動至速率為

的過程中的位移大小為

，有

解得

因

假設(shè)成立，故

向右加速滑動至速率為

后與傳送帶相對靜止以速率

水平向右做勻速直線運動，

在傳送帶上向右加速滑動的時間為

碰撞后，傳送帶相對

的位移大小為

該過程中系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量為

又

解得

28．如圖所示，木塊A（可視為質(zhì)點）、木板B、C質(zhì)量都為

，木塊A與“L”型木板B右端的距離為

，A與B板右端碰撞時沒有機械能損失。其中AB間的動摩擦因數(shù)

，BC間的動摩擦因數(shù)

，地面光滑。

時刻木塊A以

初速度向右運動、同時木板B以

初速度向左運動、C的速度為零。木板B、C都足夠長，

。求：
（1）ABC因摩擦而產(chǎn)生熱量Q多少？
（2）AB碰前B板的速度

；
（3）從

時刻到ABC共速所需的時間t。
說明: figure

【答案】（1）

；（2）

，向左；（3）

【詳解】
（1）設(shè)向右為正方向，全過程，以ABC為系統(tǒng)，由動量守恒定律得

解得

ABC因摩擦而產(chǎn)生熱量

解得

（2）A向右減速運動與B碰前

解得

方向向左
B向左減速運動

解得

方向向右
C向左加速運動

解得

方向向左
BC達到共速，速度為

，時間為

解得

方向向左

假設(shè)AB碰撞前以

、

加速度做勻變速運動，到碰撞時間為

（舍）

假設(shè)正確，此時

故BC共速時恰好BA相碰，故AB碰前B的速度

方向向左
（3）AB碰

解得

碰后，B向右勻減速，加速度大小仍為

，方向向左，A、C都為：速度向左

，加速度向右大小仍為

，ABC同時達到共速，時間為

，共速時速度大小為

，向右

從開始到共速所需的時間

29．如圖所示，一平板小車靜止在光滑水平面上，質(zhì)量均為m的物體A、B分別以2v₀和v₀的初速度，沿同一直線同時同向水平滑上小車，剛開始滑上小車的瞬間，A位于小車的最左邊，B位于距小車左邊

處。設(shè)兩物體與小車間的動摩擦因數(shù)均為μ，小車的質(zhì)量也為m，最終物體A、B都停在小車上。求：
(l)最終小車的速度大小是多少?方向怎樣？
(2)若要使物體A、B在小車上不相碰，剛開始時A、B間的距離

至少多長？

【答案】(1) v₀，方向水平向右；(2)

【詳解】
(1)設(shè)小車最終的速度是v，由動量守恒可得

解得

方向水平向右
(2)A、B同時滑上小車后，它們均做勻減速直線運動。當(dāng)B減速到與小車的速度相同時，B與小車相對靜止，此后A繼續(xù)做勻減速直線運動，B與小車做勻加速直線運動，直至它們達到相同的速度v₀，設(shè)剛開始時A、B間的距離l， B與小車相對靜止時的共同速度是v_B1，此時A的速度是v_A1，由運動學(xué)知識和動量守恒可得